ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 234
Скачиваний: 5
Давление Р показывает манометр, у которого высота воды в открытом колене над точкой (в которой измеряется давление) равна Н, так что
P = g p H ,
следовательно, |
|
Фѵоі = gp(H + z). |
{ |
Масса элемента объема S As есть pS As, поэтому выполненную работу в рас
чете на единицу массы вычисляют так же, как в уравнении (Д14.5), однако до
полнительно вводят делитель р: |
{ |
|
|
|
|
|
|
Фm = w /pS As= Фѵоі/р = g (Я + z). |
|
(Д14.8) |
|
|
|
(9.2) |
|
|
|
|
|
Точно так же вес единицы объема равен gpSAs. Поэтому работа 0 wt, |
|||
выполненная в расчете на единицу веса, равна |
|
|
|
Owt = W7gpSAs = Ovoi/£P = -ö 4 z. |
{ |
(Д14.9) |
|
I |
|
(9.3) |
|
|
|
||
Дополнение 15. Тензорная форма закона Дарси для анизотропных материалов.
Пусть градиент потенциала grad Ф имеет величину Е и дирекционные коси нусы I, т и п по отношению к прямоугольным координатам х, у и z соответ ственно. Иначе говоря, I есть выражение для cos а, где а — угол между grad Ф и X , и т. и. Тогда
(grad Ф)Х=1Е,
(grad Ф)у — тЕ,
(grad Ф)г ~ п Е .
В векторном обозначении, где i, j я к — единичные векторы в направлениях
X , у и z соответственно, |
|
|
|
|
|
grad ф = Е (U + mj + nk). |
(Д15.1) |
||
Скалярное произведение |
из уравнения (9.17) |
|
|
|
|
|
р = —3?*grad Ф |
|
|
можно разложить, подставив |
для Ж выражение |
из уравнения |
(9.16), а для |
|
grad Ф — из уравнения |
(Д15.1). В результате получим |
|
||
|
К ХХШ •i + K yxlji •/ + K zxlki •i + |
|
||
ѵ = —Е |
+ K xymij'j -1- K yymjj- j + |
Kzym kj- j + |
(Д15.2) |
|
|
+ K xznik •Л -f- K yznj k ‘fc+ |
K zznkk’k + S |
|
|
Символ 2 обозначает сумму членов типа Кххтіі • j , в которых скалярное
произведение есть произведение взаимно перпендикулярных единичных векто ров, в данном случае і и j. Скалярное произведение двух векторов, например а и Ь, направления которых различаются на угол Ѳ, по определению, равно
а-Ь = аЪ cos Ѳ,
где а и Ь — величины векторов. Вектор і имеет единичную величину, так что
І'І = 1,
поскольку угол между сомножителями равен нулю. Точно так же я j - j и к ■к
равны единице. С другой стороны,
і «у = О,
поскольку эти единичные |
векторы взаимно перпендикулярны То же |
верно |
|||||
для любой пары единичных векторов, кроме і • і, j |
• / и к - к . |
Поэтому 1 ^ |
равно |
||||
нулю и уравнение (Д15.2) принимает вид |
|
|
|
|
|||
|
|
I (К ххі + К yxj + K zxk) + |
|
|
|||
v = - E |
+ т ( К xyi |
К yyj -f Kzyk) + |
|
(Д15.3) |
|||
|
|
+ re ( K x z i K yzj K |
zzk) |
|
|
||
Уравнения (9.13)—(9.15) |
также |
можно |
представить в |
векторной |
форме: |
||
ѵ — і (.ѵхх~ \~ ѵх у + v x z ) |
Jr j ( v y x Jr v y y + |
v y z ) + |
k ( v z x - \ - v Zy - \ - v i Z ) — |
|
|||
|
|
* {Kxxl-\~KXym-\-Kxzri)-\- |
|
|
|||
= —E |
~\~j(Kyxl-{-Kyym-{-Kyzn)-\- . |
|
(Д15.4) |
||||
Jrk{KZxlJrKZym-\-Kzzn) ,
Уравнения (Д15.3) и (Д15.4) идентичны по содержанию, только записаны по-разному, поэтому уравнение (9.17) и уравнения (9.13)—(9.15), из которых выведены соответственно уравнения (Д15.3) и (Д15.4), также идентичны по со держанию. Таким образом, уравнение (9.17) кратко выражает закон Дарси для анизотропных материалов, как и девять уравнений (9.13)—(9.15).
Дополнение 16. Самосопряженность анизотропной проводимости.
Анизотропность почвы обычно связана с особенностями сложения, такими как трещины в более или менее определенных направлениях. Рассмотрим группу таких трещин, вклад которых в проводимость обозначим Жг,
|
ГК ХХІІ + rKyxji + rKzxki + |
|
|||
г |
+ fKxyij + гК yyjJ + r^zyki + |
(Д16.1) |
|||
|
+ rKxzik-'~ fKyzjk + rKzzkk |
|
|||
Полная проводимость, связанная со |
всеми группами таких трещин, есть |
||||
сумма 2 г№ всех составляющих, где п — число групп. Тогда |
|
||||
Г=1 |
( |
К ххіі -f- К yxj і -f- Kzxki -j- |
|
||
г=п |
|
||||
Ж — У іГЖ = j |
+ Kxyij + |
К yyjj + KZyRj |
(Д16.2) |
||
где |
( |
K xzik-\- K yzj k + Kzzkk |
|
||
|
r=n |
, |
|
||
|
|
|
|||
|
|
K XX— ^J rKXX |
|
|
|
|
|
r = 1 |
|
(Д16.3) |
|
|
|
r=n |
|
|
|
|
|
K y x ~ ^ j |
rKyx |
|
|
|
|
r-= 1 |
д. |
|
|
о:: |
|
и T . |
|
|
|
Можно заключить, что поскольку каждая компонента влагопроводности |
|||||
самосопряжена, сопряжена и суммарная проводимость, так как если |
|
||||
(;. |
|
f K y x ~ |
К ху |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
И Т , |
д , |
|
|
1 Автор пользуется здесь соотношением (jk) • k = j (к • к) — j . — Прим.
ред.
/■=*71 |
/ в П |
2 Г % у х — 2
г-1 Г=1
ит. д„
аиз уравнения (Д16.3) и вышеприведенного
Кух —К ху
ит. д.
Далее, плоская параллельная трещина имеет, очевидно, три взаимно пер пендикулярные главные оси, одну — перпендикулярную к плоскости трещины —
снулевой проводимостью, и две — в любых перпендикулярных направлениях
вплоскости трещины — с равными проводимостями. Цилиндрические каналы также имеют три взаимно перпендикулярные главные оси, одну — в направлении канала — с конечной проводимостью, и две — во взаимно перпендикулярных
направлениях под прямыми углами к оси канала — с нулевой проводимостью. Все системы таких трещин и каналов имеют, таким образом, самосопряженную проводимость, а потому и общая проводимость, т. е. сумма компонент, также является самосопряженной. Итак, полная система должна иметь три взаимно перпендикулярные оси.
Здесь ничего не говорилось об определении направлений этих осей по направлениям осей компонент, но легко показать, что в почвах, где в результате процессов выветривания трещины ориентированы главным образом вертикально и горизонтально, основные направления, в которых следует выделять главные проводимости по типу уравнений (9.12), тоже вертикальные и горизонтальные.
Дополнение 17. Применение уравнений Навье—Стокса к течению жидкостей в пористых телах.
Чтобы не смешивать компоненты эффективной скорости потока, встреча ющиеся в законе Дарси, а именно ѵх , ѵу и ѵг , с компонентами истинной скорости потока в точке норового пространства, обозначим последние а , ß и у. Тогда
для относительно несжимаемой жидкости (вроде воды) сила, приходящаяся на единичное количество воды, используется для преодоления вязкого трения, для ускорения в данной точке, если течение не стационарно, и для ускорения, связанного с переходом данного количества воды из широкого канала, где скорость мала, в узкий, где она велика (или наоборот). Это равновесие сил выражается системой трех уравнений, известных как уравнения Навье — Стокса
gp д Ф /д х - \ - р |
(д а [d t + а д а / д х + ß да/ д у + у д а / dz) =rj у2а 1 |
|
|||
gpd<t>/dy-\-p (d ß /d t + a d ß / d x - { - ß |
d ß / d y - j - y |
d ß /d z ) = ri V2ß |
1 |
(Д17.1 ) |
|
gp д Ф /д г - \ - р |
( d y / d t - \ - a d y / d x - { - ß |
d y jd y - \ - у |
д у /d z ) = K]V2Y |
J |
|
где у2 — оператор Лапласа, определяемый выражением
у2и— д^ѵ/дх^ -\-д%и/ду~ + d^vjdz^ |
(Д17.2) |
Уменьшение локальной скорости в N раз, кроме того, уменьшает в N раз каждую из компонент а , ß и у , а также производные каждой компоненты. Следо вательно, каждый член типа а d a /d x , являющийся произведением двух умень шенных величин, сам уменьшается в N 2 раз. Поэтому достаточным уменьшением
локальной скорости можно довести все члены такого типа до пренебрежимо малых долей по сравнению с оставшимися, которые уменьшатся только в N раз.
В результате для достаточно медленного течения уравнения примут форму
gp д Ф /д х - \- р д а / d t = |
Г) у2а |
' |
gp д ф / д у -(-р d fi/d t = Г] y2ß |
(Д17.3) |
|
gp дФ/dz-J-p d y / d t = |
t] y2ß |
|
Далее следует, что если уравнения Навье — Стокса выполняются при некотором распределении потенциала Ф и локальных скоростей, они должны выполняться и тогда, когда потенциал и локальная скорость изменятся в одно и то же число раз, скажем, в М раз, при условии, что скорость останется
достаточно малой и потому каждый член уравнений умножится на ту же постоян ную М . Измеренный приход или расход на входном или выходном концах изме нится во столько же раз М , во сколько и локальная скорость в любой точке.
Измеренная разность потенциалов между входом и выходом изменится также в М раз, как и потенциал в любой точке норового пространства, поскольку
эти пункты просто две конкретные точки в общем распределении потенциала. Следовательно, отношение измеренного прихода к измеренной разности потен циалов при большей скорости потока то же, что и при меньшей скорости, или, иначе говоря, расход пропорционален разности потенциалов. А это и есть форму лировка закона Дарси, связывающего скорость потока и разность потенциалов.
ГЛАВА 10
Гидравлическая проводимость почвы
10Л. Зависимость проводимости от размера пор
Хотя пока еще нельзя рассчитать абсолютную величину гидра влической проводимости пористого тела, за исключением некоторых идеализированных моделей, есть возможность сравнить проводи мости двух тел, поровые пространства которых геометрически по добны и отличаются только размерами соответствующих пор. Если обозначить эти тела В х и В 2, причем В 2просто увеличенная копия В г, так что любой линейный размер В 2 есть увеличенный в N раз размер В х, то соответствующие проводимости К г и К 2 связаны следующим соотношением:
К2/К1 = N 2. |
(10.1) |
Вывод этого соотношения из уравнений Навье—Стокса дан в До полнении 18.
10.2. Зависимость проводимости от пористости
В отличие от анализа, содержащегося в Дополнении 18, вывести зависимость между проводимостью и пористостью в общем случае невозможно, поэтому приходится довольствоваться рассмотрением частных идеализированных моделей проводящего тела. Большинство моделей такого рода основано на использовании законов движения текучих субстраций — флюидов в цилиндрических трубках или между плоскопараллельными поверхностями. Если QJt есть объем жидкости, протекающей за секунду через трубку радиуса г, вдоль которой существует градиент потенциала grad Ф, то, как показано в Дополнении 19, поток описывается следующим уравнением:
Q/t = (gpn/8) (r4/r])grad Ф. |
(10.2) |
Согласно Дополнению 20, соответствующее уравнение для по тока через плоскую щель единичной ширины между поверхностями, отстоящими друг от друга на расстояние D, имеет вид
Qjt - (gpß3/12ц) grad Ф. |
(10.3) |
Тело, которое обладает гидравлической проводимостью благо даря тому, что оно пронизано параллельными трубками радиуса г, число которых на единицу площади поперечного сечения равно п, характеризуется сильной анизотропностью, поскольку только одной из главных осей свойственна ненулевая проводимость. В направле нии осей трубок имеем из уравнения (10.2)
V — п (Q/t) — (gprm/8) (г4/т]) grad ф.
Поскольку для этой модели пористость / равна площади прово дящих каналов, приходящейся на единицу площади поперечного сечения, т. е. штг2, вышеприведенное уравнение можно переписать после перестановки
|
|
|
ѵ — (gpfr2fô4) grad Ф- |
(10.4) |
||
Сравнивая результат с уравнением (9.6), найдем, что в этом слу |
||||||
чае |
проводимость |
тела |
равна |
|
|
|
|
|
|
|
K T = gpfr2/8T\. |
(10.5) |
|
Рассматривая тело, насчитывающее ппараллельных |
щелей |
|||||
толщиной Dна единицу толщины тела и потомуобладающее по |
||||||
ристостью nD, получим |
для его |
проводимости Ks |
|
|||
|
|
|
|
Ks = gpfD2jl2i\, |
(10.6) |
|
причем это |
будет |
проводимость |
в любом направлении, |
лежащем |
||
в плоскости, |
параллельной щелям. |
|
||||
В |
уравнениях |
(10.5)—(10.6) |
пропорциональность между К т |
|||
и г2 в одном случае и между Ks и D 2в другом есть частное проявле ние более общего закона, описанного в параграфе 10.1. В обоих случаях проводимость пропорциональна пористости, но этот ре зультат следует считать относящимся только к конкретным разоб ранным моделям, если не вести дальнейший анализ.
Допустим теперь, что к любой из рассмотренных выше моделей, проводящих жидкость в направлении главной оси, добавлена группа плоских щелей, плоскость каждой из которых перпендикулярна направлению градиента потенциала. Каждая из этих щелей лежит на эквипотенциальной плоскости и потому не способствует движе нию жидкости, за исключением мест пересечения щелей, в которых у проводящих щелей возникают локальные расширения, несколько увеличивающие проводимость. В целом, однако, та часть пористо сти, которая связана с эквипотенциальными щелями, бесполезна для потока, и при рассмотрении проводимости ее можно считать мертвым пространством. Однако при любом статическом определе нии пористости это мертвое пространство не отличимо от эффективно проводящих каналов, и потому гидравлическая проводимость будет пропорциональна общей пористости лишь в том частном случае, когда мертвое пространство увеличивается пропорционально эффек тивному пространству.