Файл: Чайлдс Э. Физические основы гидрологии почв.pdf

Желая выразить D непосредственно как функцию определяющей «го влажности, используем уравнение (12.31), чтобы исключить % из уравнения (12.37), и получим

Таким образом, если D увеличивается с увеличением с, согласно уравнению (12.38), то форма профиля влажности будет подчиняться

ние dc/d% к нулю при стремлении %к бесконечности, где с равно с0, уравнение (12.39) можно переписать так:

(12.40) равна заштрихованной площади PQRS рис. 12.10, которую можно измерить, поэтому коэффициент диффузии Dc вычисляют,

ления для достаточного числа точек, подобных Q, можно проследить всю зависимость D от с. Легко показать, что приведенное выше урав­ нение (12.38) также можно вывести как частный случай уравне­ ния (12.40).

Обратную процедуру — расчет профиля влажности по известной зависимости D от с — нельзя выполнить непосредственно. Поэтому Филип [124] предложил собирать библиотеку пар, состоящих из профилей влажности и соответствующих этим профилям зависи­ мостей D от с, вычисленных аналитически по методу Матано, и для начала привел несколько подобных пар. Имея достаточно большую библиотеку такого рода, можно надеяться Подобрать с ее помощью ту функцию коэффициента диффузии, которая соответствует усло­ виям задачи, и найти отвечающий ей профиль влажности. Вычисле­ ние профиля влажности для данной зависимости D от с сводится в общем к интегрированию конечно-разностных эквивалентов соот­ ветствующих дифференциальных уравнений с помощью итеративных приближений.

Крэнк и Генри [50, 51] разработали подобную методику примени­ тельно к задачам, не связанным с почвами, Клют [97] применил ее к движению влаги в пористом материале, для которого зависимость коэффициента диффузии от влажности вычислена по методу Чайлдса и Коллис-Джорджа [38]. Эспериментальных данных, подтвержда­ ющих результаты, не приводилось. Теория предсказывает суще­ ствование четко выраженного фронта смачивания, связанного с за­ метным уменьшением коэффициента диффузии при понижении влаж­ ности. Такой фронт действительно наблюдается в опытах.

Филип [120] предложил более быстрый и менее трудоемкий метод, по существу обратный методу Матано, основанному на использова­ нии уравнения (12.40). Возвращаясь к рис. 12.10 и уравнению (12.40), видим, что если площадь PQRS и коэффициент диффузии Dc при влажности с известны, можно вычислить величину dcjd% и, следова­ тельно, приближенно определить изменение Д%, соответствующее изменению Ас. Поэтому если известно %для с, можно вычислить его

для с + —-Ас и для с — —Ас, и эти дополнительные точки нанести

на профиль. Поскольку ясно, что цель расчета состоит в вычислении самого профиля влажности только на основании данных о зависи­ мости D от с и о влажности С на входной поверхности, где, как изве­ стно, X равно нулю, площади под кривой вначале не известны, и труд­ ность состоит в том, как приступить к вычислению.

Методика, излагаемая ниже, несколько отличается от той, кото­ рая предложена Филипом, однако в своей основе аналогична ей. Интервал влажности от с0 до С разбивают на равные интервалы Ас, число которых выбирают настолько большим, насколько позволяют практические сообраяшния. Затем уравнение (12.40) переписывают в конечно-разностной форме:

где индексы обозначают соответствующие влажности, а

C - l U A c

Интегрирование начинают с входной поверхности, где влаж­ ность равна С, а %с равно нулю. Величиной А с~>/,дс задаются предположительно. Неудачный выбор удлиняет процедуру итераций; указания относительно принципов подбора удачной начальной

Теперь можно определить площадь под линией графика между

которые были получены на предыдущем этапе. Так находят Х с -і1/ 2дс и следующую точку профиляС

Эти операции продолжают до тех пор, пока не будет исчерпан весь интервал влажностей, и если исходная оценка была сделана правильно, на последнем этапе, при достижении влажности с0, площадь под линией графика становится равной нулю. Если этого не происходит, значит начальная оценка была неверной, и нужно повторить расчет, задаваясь новой величиной А С- ч 2а с , значение которой выбирают с учетом полученных расхождений. Методика дальнейшего подбора также освещена в статье Филипа, куда мы и адресуем читателя, интересующегося деталями. При хорошей сходимости аппроксимаций подходящий профиль получают за не­ сколько итераций.

12.7.Вертикальное впитывание воды

вбесконечно глубокую однородную почву

а.Однородный профилъ.

Вкачестве введения рассмотрим однородный профиль влажности, где влажность равна с0 на всех глубинах. Следовательно, влагопро­ водность всюду равна К 0. Считая, что предшествующая история также была одной и той же для всех точек профиля, можно выразить закон Дарси в форме уравнения (11.10), которое для случая, когда градиент влажности равен нулю, примет вид

где ѵг — скорость вертикального потока влаги, положительная кверху. Согласно уравнениям (11.8), (11.9), движение влаги в других

1 Существуют программы для выполнения подобных расчетов на основе явных и неявных конечно-разностных схем с помощью ЭВМ. Такими програм­ мами располагает, в частности, библиотека Вычислительного центра Агрофизи­ ческого института. — Прим. ред.

направлениях отсутствует. Из уравнения (12.41) следует, что ѵг оди­ наково по всему профилю, а поскольку это означает, что величина притока воды в любой элемент профиля в точности равна величине оттока, скорость изменения влагозапаса равна нулю, и влажность остается постоянной. Формально этот результат выражается урав­ нением (1 1 .2 0 ), в котором для данного случая правая часть равна нулю, поскольку все дифференцируемые величины либо равны нулю, либо постоянны.

Следовательно, профиль с постоянной влажностью является стационарным, но условие сохранения стационарности состоит в том, чтобы ѵг имело величину, которая определяется уравнением (12.41), в том числе и на самой граничной поверхности за счет соответству­ ющей величины скорости впитывания на этой поверхности. Необ­ ходимо еще доказать, что такой профиль устойчив, т. е. что неболь­ шое возмущение не только не влечет за собой еще большее, но на­ оборот, стремится исчезнуть под действием компенсирующих эффектов, автоматически возникающих при появлении самого воз­ мущения.

Такое локальное возмущение профиля повлекло бы за собой возникновение максимума или минимума влажности в некоторой точке. Недостаточно показать, что возмущение ликвидируется в той точке z, в которой его ввели, поскольку это может явиться просто результатом миграции возмущения от места возникновения без уменьшения величины самого возмущения. Следует доказать, что в ходе миграции возмущение исчезает. Пусть скорость движения профиля влажности такова, что скорость некоторой рассматриваемой его точки, характеризуемой влажностью с, равна (dzjdt)c. Обозна­ чим через (dc]dt)c скорость изменения влажности в этой точке влаж­ ностного профиля в ходе движения, а через (dc]dz)c градиент влаж­ ности. Тогда при прохождении влажностным профилем некоторой точки почвенного профиля, обладающей постоянным z, влажность

вэтой точке должна изменяться со скоростью, которая является суммой двух компонент: первой — связанной с изменением влаж­ ности в данной точке влажностного профиля по мере его движения,

т.е. (dcjdt)c, и второй — связанной с движением всего профиля через рассматриваемую точку почвенной толщи, благодаря чему более высокая влажность сменяется более низкой в этой точке, что пони­ жает градиент. Таким образом, скорость изменения влажности (dc]dt)z

вфиксированной точке z выражается уравнением

В рассматриваемом случае интерес представляет та точка про­ филя, которая соответствует максимуму наведенного возмущения; в этой точке профиля влажности (дс]д£)с равно нулю. Следовательно, для этого случая уравнение (12.42) примет вид

Таким образом, в точке максимального возмущения нет раз­ ницы между скоростью изменения влажности в фиксированной точке

почвенного профиля и скоростью изменения влажности в фиксиро­ ванной точке профиля влажности. Поэтому индексы при производных в дальнейшем можно опустить.

Ограничиваясь рассмотрением максимума возмущения, мы имеем право применять уравнение (11.3) вне зависимости от наличия ги­ стерезиса, а потому можем использовать также и уравнение (1 1 .20). Одномерной формой последнего для направления ъ служит уравне­ ние (11.31), а именно

Здесь опять обнаруживается тот факт, что на максимуме возму­ щения dc/dz равно нулю. Это позволяет упростить уравнение (12.45):

Поскольку возмущение связано с максимальной влажностью,

d2c/dz*<0,

поэтому из уравнения (12.46) следует, что

dcjdt < 0 ,

т. е. максимум стремится уменьшиться. Обратно, с помощью таких же рассуждений можно показать, что возмущение в форме минимума стремится возрастать, а прямолинейные участки профиля по обе стороны от возмущения остаются устойчивыми. Малейшее возму­ щение сразу влечет за собой компенсирующую реакцию, так что в действительности никаких возмущений профиля не развивается1. Поэтому мы избавлены от трудности аналогичных доказательств в отношении областей, граничащих с большим возмущением, где отклонения влажности значительны и где в то же время нельзя ис­ пользовать аргументы, справедливые для максимума или минимума.

б. Качественная характеристика развития профиля влажности

Предположим, что в профиле с постоянной влажностью, рас­ смотренном выше, внезапно возникло нарушение. Примем этот мо­ мент времени за начало отсчета при анализе последующих процессов.

В параграфе 12.6 уже упоминалось о технических трудностях под­ держивания такой влажности С, которая равна влажности насы­

1Из отрицательности производной еще не следует, что максимум стремится

кнулю. Поэтому приведенные выше рассуждения не являются строгим доказа­ тельством устойчивости. — Прим. ред.