Файл: Чайлдс Э. Физические основы гидрологии почв.pdf

12.6.Горизонтальная диффузия воды

вполубесконечную колонку с постоянной исходной влажностью

Рассматриваемый здесь случай сам по себе не представляет боль­ шого интереса, но его можно считать введением к более важному, но и более трудному случаю развития вертикального профиля влаж­ ности. Кроме того, как указывалось в параграфе 11.2, уравнения, описывающие горизонтальное движение влаги, приблизительно верны и для вертикального передвижения, если мала влагопровод­ ность, свойственная почве, как у тяжелых глин, или, что является более общим условием, если мала влажность почвы на всем рас­ сматриваемом участке профиля.

Конкретно мы рассмотрим следующую задачу. Имеется горизон­ тальная колонка пористого материала, ось которой совпадает с на­ правлением оси X, берущей начало на торце колонки. В направлении положительных значений х колонка считается бесконечной. Сначала влажность во всех точках колонки одинакова и равна с0. В некото­ рый момент t, который можно принять за нуль при отсчете времени, на торце колонки создается другая влажность С, которая и под­ держивается в дальнейшем. Этого можно добиться, например, за­ топлением свободной поверхности колонки сухой почвы и поддер­ жанием состояния насыщенности на этой поверхности. Можно под­ держать и другую постоянную влажность, хотя это связано с техническими трудностями, о которых мы здесь не будем говорить, но которые вполне преодолимы. Обсуждаемая задача состоит в том, чтобы рассчитать распределение влажности в колонке для любого момента времени.

Соответствующим уравнением неразрывности, решение которого содержит необходимую нам информацию, является уравнение (11.29)

в том, что концентрация (влажность) с для всех значений х, отличных от а:0, в нулевой момент времени равна с0; при х, равном нулю, влаж­ ность равна С для любых t. Интуитивно можно понять, что после внезапного затопления поверхности требуется бесконечно большое время для того, чобы затопление ощутилось на бесконечно большом расстоянии от начала колонки; понятно также, что через бесконечно большой срок все точки, находящиеся на конечном расстоянии от начала колонки, будут иметь одну и ту же влажность С. Следова­ тельно, мы знаем, что при х, равном бесконечности, с равно с0 для всех конечных отрезков времени, а также что при бесконечно боль­ шом t с равно С для всех конечных х. Эти граничные условия можно сформулировать следующим образом:

Математическая эквивалентность нулевого расстояния и беско­ нечного времени, нулевого времени и бесконечно большого рас­ стояния настолько бросается в глаза, что это побудило Больцмана объединить обе независимые переменные х и t в единую перемен­ ную % соотношением

1

Подстановка этой переменной позволяет преобразовать дифферен­ циальное уравнение в частных производных (12.25) в обыкновенное дифференциальное уравнение. Из уравнения (12.26) следует, что

1

dxldx --=l/t2

(12.27)

д% /dt =

Теперь уравнение (12.25) можно переписать следующим образом:

{d%/dt) (dc/dx) = (дхідх)* d [D (dc/d%)]/dx.

Подставив соответствующие выражения для частных производ­ ных из уравнений (12.27), получим

—( Y x/t 2 ] dc/dx = d [D(dc/dx)]/dx.

Инаконец, используя уравнение (12.26), найдем

Данное уравнение имеет только одну независимую переменную % и зависимую переменную с. Это означает, что его решением, если такое существует, является кривая или математическое выражение, представляющее с в виде функции переменной %. Рассматривая уравнение (12.26), можно заметить, что для данного фиксированного момента времени кривую зависимости с от х можно считать кривой зависимости с от х, где масштаб х зависит от выбранного момента времени; чем больше отрезок времени, тем больше расстояние х при данных значениях р с, т. е. тем глубже проникновение в ко­ лонку данной влажности с. Точно так же для фиксированного х

кривую можно рассматривать как график зависимости с от t i/2, где масштаб зависит от выбранного значения х.

В опытах по исследованию развития профиля влажности в раз­ личные моменты времени одна и та же влажность обнаруживается на различных расстояниях от начала колонки, однако если движение влаги соответствует уравнению (12.28), то отношение пройденного расстояния к корню квадратному из времени будет постоянным. Отсюда следует, что если такая инвариантность действительно наблюдается, она служит доказательством, что движение влаги находится в соответствии с уравнением диффузии, безотносительно

Решение же уравнения (12.28), очевидно, зависит от характера связи между D и влажностью, и пока эта связь не уточнена, решение не может быть получено. Однако природу этого решения до некото­ рой степени можно пояснить хотя бы в самом общем виде. Прежде всего развернем уравнение (12.28) и запишем

стоянным, то рис. 1 2 .8 можно рассматривать как график зависи­ мости между влажностью и расстоянием от поверхности для данной длительности процесса и данного значения D, величиной которых определяется масштаб оси абсцисс. Выбранный на рисунке масштаб