Файл: Чайлдс Э. Физические основы гидрологии почв.pdf

действительного числа z также, очевидно, является числом мнимым. Число, состоящее из действительной части х и мнимой части iz, называется комплексным. Таким образом, если

р = X - f - iz,

то р есть комплексное число; его действительная часть есть х, а мни­ мая часть iz.

Поскольку действительное число нельзя приравнять мнимому, то если два комплексных числа равны, равны соответственно их

Благодаря этому соотношению комплексное число можно показать на диаграмме типа векторной как сумму действительного числа, изображенного отрезком на оси действительных величин х, и мнимого числа, представленного отрезком на перпендикулярной оси z. Это и показано на рис. 14.5, где точка (х, z) находится на расстоянии г от начала координат О, а радиус г образует угол Ѳ с осью х.

Если бы г было вектором, мы написали бы

г = іх -I jz,

где i n j — единичные векторы в направлениях х и z соответственно, и

X = г cos Ѳ,

z = rs in 0 .

Условившись изображать таким же образом комплексные вели­ чины, запишем

а из уравнения (14.1)

Таким образом, уравнение (14.5), определяющее комплексное число р с помощью радиуса-вектора г и аргумента 0 , полностью эквивалентно уравнению в декартовых координатах (14.4). Пред­ ставление комплексного числа по типу вектора называется диаграм­ мой Арганда.

14.5. Сопряженные функции как решения уравнения Лапласа

Уравнение Лапласа, нередко используемое в теории инфильтра­ ции, при рассмотрении двухмерных задач относительно горизон­ тального направления х и вертикального направления z принимает форму

Независимым изменением координат х и z можно определить любую точку в плоскости X, z, причем каждой точке соответствует определенная величина потенциала Ф. Решение уравнения выражает Ф как функцию переменных х и z, или, другими словами, пред­ ставляет собой распределение потенциала Ф на плоскости.

Как показано в Дополнении 34, любая1 функция комплексной переменной р, или х + iz, является решением уравнения (14.6). Более того, такая функция, например W (р), должна в общем случае сама быть комплексной и иметь действительную часть Ф и мнимую часть ф, каждая из которых является функцией х и z; эти функции являются отдельными решениями уравнения (14.5). Итак, если

W (р) = Ф + гф,

где

Р= - « + iz,

1Здесь и при чтении Дополнения 34 следует иметь в виду, что решением уравнения Лапласа является любая аналитическая, т. е. имеющая производную, функция. — Прим. ред.

то

d*W/dx* + d2W/dz2= О,

d’O/ôz2 ; d20 /oz2 = 0 ,

<92ijijdx2-І- d2\\'/dz‘ = 0 .

Обе группы решений Ф и ф связаны следующим образом. Распре­ деление Ф можно показать на диаграмме х, z с помощью третьей оси, перпендикулярной плоскости координат. При этом распреде­ ление изобразится поверхностью, которая располагается над этой плоскостью. На плоскости диаграммы поверхность Ф можно обозна-

кривых называются ортогональными.

В уравнении (14.6), как оно было выведено в параграфе 11.3, переменная Ф обозначает гидравлический потенциал, а линии Ф представляют эквипотенциали. В параграфе 9.1 мы установили, что градиент потенциала в направлении потока всюду перпендику­ лярен эквипотенциалям, поэтому кривые равных ф всюду изображают направление силы, действующей на поток. Линии равных ф назы­ ваются линиями тока, а само ф называется функцией тока. Две эти функции называются сопряженными. Сеть, состоящая из ячеек, образуемых ортогональными семействами эквипотенциалей и линий тока, называется гидродинамической сеткой. Если интервалы между соседними эквипотенциалями и линиями тока достаточно малы, элементарные ячейки гидродинамической сетки прямоугольны. Не­ редко их считают прямоугольными даже когда ячейки не так малы, а их стороны более или менее криволинейны.