ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 235
Скачиваний: 5
другой роли Фиг)) меняются местами. Проиллюстрируем сказанное некоторыми примерами, детали же читатель найдет в трудах Маскета [110] и Полубариновой-Кочиной [127].
Случай а
Используем здесь горизонтальные координаты х и у, а не х и вер тикальную координату z. Исследуем функцию W, где
W —Ф + іф = А In (х г іу) — А In (геІѲ) = А ln г -f- г^4Ѳ;
здесь А — постоянная.
Поскольку действительные и мнимые части обеих сторон соответ-
ФГ=АЪті г |
ственно равны, |
найдем |
|
Ф = И In г, |
(14.7) |
|
г|) = ИѲ. |
(14.8) |
Рис. 14.7. Концентрические круговые эквипотенциали и радиальные линии тока. Поток воды к скважине.
Следовательно, если Ф обозначает потенциал, а г|) — функцию тока, то эквипотенциаль Фй предста вляет собой окружность радиуса R, определяемого уравнением
R = e°R/A.
Функция тока г|>я есть прямая, выходящая из на чала координат и описы ваемая уравнением
Ѳ= фа/И.
Решение изображено на рис. 14.7.
Итак, поскольку предполагалось, что изменений по вертикали z не происходит, а линии тока лежат на плоскостях, исходящих из общей оси, эквипотенциали представляют собой группу коакси альных цилиндров. Это решение описывает, таким образом, поток влаги к цилиндрической скважине, пройденной в ограниченном водоносном пласте (ограниченном потому, что, по условию, поток должен быть горизонтальным, в свободном же водоносном пласте под уровнем грунтовых вод вблизи скважины образовался бы конус
депрессии). |
свойства почвы |
Величину постоянной А можно выразить через |
|
и характеристики скважины. Из уравнения (14.7) |
|
сІФ/dr = А/г, |
|
и, согласно закону Дарси, |
|
V --=—КсІФ/dr = —КА/г. |
(14.9) |
Постоянная скорость Q единиц объема в единицу времени, с ко торой откачивается скважина, равна также скорости притока к сква-
жине со всех направлений, исходящих от нее (т. е. в отрицательном направлении г), через цилиндрическую поверхность радиуса г и длиной I, концентричную скважине, причем I — толщина огра ниченного водоносного пласта, полностью пройденного скважиной^ Следовательно,
а из уравнения |
(14.9) |
Q = —2лгІѵ, |
|
Q = 2піАК. |
|
||
|
|
|
|
Таким образом, константа |
определяется выражением |
|
|
|
|
A = QßnlK. |
(14.10) |
Окончательнуюформу решения для скважины получаем из |
|||
уравнений (14.7), |
(14.8) и |
(14.10): |
|
|
Ф-={(Ц2пІК)\ъг, |
(14.11) |
|
|
|
ф = (<?/2я/Х)Ѳ, |
(14.12) |
откуда следует, что максимум функции тока соответствует макси муму Ѳ, т. е. 2л, так что поток на единицу длины скважины равен
Q/l=Kilpmax. (14.13)
Если уровень воды в скважине, радиус которой равен rw , ниже, чем в скважине, отстоящей на расстояние г, на величину D, которая
называется сработкой, то |
|
Ф — <DrW = D -- (Q ßnlK ) ln (r/rw). |
(14.14) |
Эта формула лежит в основе измерения К методом Тима |
[157] |
путем откачки скважины до квазистационарного уровня. |
Хотя |
этот метод, строго говоря, справедлив только для ограниченного водоносного пласта, его, тем не менее, применяют и для откачки грунтовых вод со свободным уровнем. Возникающая ошибка неве лика, если сработка, или в данном случае депрессия, мала по сравне нию с эффективной глубиной скважины. Однако этот метод следует использовать критически, предварительно оценив его применимость,
в |
данных условиях. |
ф |
Решение остается пригодным также, если приписать величину |
потенциалу, а Ф — функции тока. Тогда эквипотенциали будут |
плоскостями, исходящими из осей концентрических цилиндрических поверхностей, содержащих линии тока. Решение опишет поток между плоскими радиальными сторонами сегмента цилиндрического кольцевого канала.
Случай б
В приводимых далее решениях важную роль играет уровень. грунтовых вод. Поскольку потенциал Ф равен сумме высоты z и гидро статического напора Н , который на уровне грунтовых вод равен нулю, сам этот уровень определяется равенством Ф и z, которое теперь обозначим Z. Рассмотрим решение
W — Ф Т гф = (Xф- гг) е~ІѲsin Ѳ+ h cos Ѳ,
где h и Ѳ — постоянные, физический смысл которых еще надо выяс
нить. Представляя экспоненциальный член в форме (cos Ѳ + |
і sin Ѳ) |
||||
и |
приравнивая |
по отдельности |
соответствующие |
действительные |
|
и мнимые части, |
получаем пару уравнений |
|
|
||
|
|
Ф = (х cos Ѳ+ z sin Ѳ) sin Ѳ+ h cos Ѳ, |
|
(14.15) |
|
|
|
ф -= (z cos Ѳ— Xsin Ѳ)sin Ѳ. |
|
(14.16) |
|
с |
Из уравнения |
(14.16) следует, |
что линия тока |
фй есть |
прямая |
наклоном Ѳ, определяемым из |
уравнения |
|
|
||
|
|
z = X tg Ѳ-t- фй/(віп Ѳcos Ѳ), |
|
(14.17) |
|
Рис. 14.8. Равномерный поток воды между водоупором с постоянным на клоном (1) и параллель
ным ему уровнем грун товых вод (2).
где отсекаемая часть на оси z равна фа/sin Ѳcos Ѳ. Таким образом, все линии тока параллельны между собой и отсекают тем большие части, чем больше значение функции тока. Нулевая функция тока, соответствующая нулевому ф, лежит вдоль водоупора, изображаемого прямой с наклоном Ѳ, проходящей через начало координат. Задача, таким образом, касается течения грунтовых вод по водоупору, что показано на рис. 14.8.
Уровень грунтовых вод изобразится линией нулевого давления,
где потенциал уровня грунтовых вод Фу. г. в |
равен Z, т. е. отметке |
уровня грунтовых вод. Тогда из уравнения (14.15) |
|
Фу г в = Z ■= (х cos Ѳ-}-Z sin Ѳ)sin Ѳ+ h cos Ѳ, |
|
где |
(14.18) |
Z = аг tg Ѳ+ /і/cos Ѳ. |
|
Поскольку эта линия также прямая с наклоном Ѳ, параллельная водоупору, она является линией тока с отсечкой на оси z, равной h]cos Ѳ. Если предположить, что капиллярная кайма отсутствует, уровень грунтовых вод явится ограничивающей верхней поверх ностью зоны течения, где функция тока равна фтах, а толщина зоны течения, измеренная по перпендикуляру к линиям тока, равна h. Сравнивая уравнения (14.17) и (14.18), найдем, что
Фтах/^ІИ Ѳ COS Ѳ) = А/COS Ѳ,
или
фтах = h Sm0. |
(14.19) |
Пусть Q есть величина потока на единицу ширины зоны течения, т. е. величина потока, измеренная в направлении, перпендикулярном плоскости X, г. Тогда по закону Дарси
Ç -.-Â Â 'grad Ф, |
(14.20) |
где отрицательный знак, как обычно, показывает, что поток напра влен по уклону, а потенциал возрастает в противоположном на правлении. Абсолютная величина grad Ф, | grad Ф | , равна
I grad ФI - {(дф/дх)2+ (дФ/dz)2}2 .
Значения частных производных можно найти из уравнения (14.15), откуда следует
I |
(14.21) |
I grad ФI = {(cos Ѳsin Ѳ)2 -J-sin4 Ѳ} 2 = sin Ѳ, |
|
и с учетом уравнений (14.20)—(14.21) |
|
Q = —hK sin Ѳ- -А ф тах. |
(14.22) |
Случай в
Теперь рассмотрим параболическую форму
W 2 —(ф + іф)2 = А (х -j- iz),
или
ф 2 — ф2 -f- 2іФф —- А (я -f- iz).
Приравнивая соответствующие действительные и мнимые части, получим
аг«(ф*_ф«)/А, |
(14.23) |
|
z = 2Фф/А. |
(14.24) |
|
Нулевая линия тока (ф = |
0), совпадающая |
с поверхностью |
водоупора, есть линия, для которой |
|
|
z = 0; |
х — ф2/А, |
|
т. е. положительная ось х.
Уровень грунтовых вод, на котором гидростатический напор равен нулю, а Z и Ф в уравнении (14.24) становятся синонимами описывается условиями:
Ф у . Г . В . ------
(14.25)
ф — А/2 = фтахі
а поскольку эти величины постоянны, уровень грунтовых вод также является линией тока, ограничивающей зону течения. Форму огра ничивающей поверхности можно получить, подставив величины фтах и Ф из уравнения (14.25) в уравнение (14.23):
Z2 — А х — А2/4 = 0.
Это уравнение описывает параболу, осью симметрии которой
служит ось X , а фокусом — начало |
координат, |
как показано на |
рис. 14.9. Парабола пересекает ось |
х в точке |
—И/4. |
Условие равенства нулю z, определяющее ось х, может выпол
няться также для уравнений (14.23) —(14.24), |
когда |
Ф - 0 , |
(14.26) |
х = - ^ / А . |
(14.27) |
Иначе говоря, отрицательная ось х является нулевой эквипотенциалью, вдоль которой функция тока возрастает до максимума при пересечении с уровнем грунтовых вод в точке —А]4. На этой оси равны нулю как полный потенциал, так и его высотная составляющая,
Рис. 14.9. Течение при точных вод по горизон тальному водоупору (1)
к горизонтальной при мыкающей поверхности высачивания (2).
з — уровень грунтовых вод.
а потому должен быть равен нулю и гидростатический напор. Таким образом, отрицательная ось х обозначает поверхность высачивания, на которой вода находится под нулевым давлением.
Следовательно, полученное решение относится к движению грунтовых вод по горизонтальному ложу от источника, расположен ного выше по течению, к горизонтальной поверхности стока, или высачивания. Подобным стоком может служить заполненная щебнем канава.
Поток Q в расчете на единицу ширины зоны течения, измеренный по перпендикуляру к плоскости диаграммы, можно вычислить следующим образом. На поверхности высачивания, являющейся эквипотенциальной, градиент потенциала вертикален. Поэтому, дифференцируя уравнение (14.24) по z, найдем
g r a d ® -дФ/0г = И/(2ф). |
(14.28) |
Градиент потенциала, а потому и величина потока уменьшаются по мере того, как ф возрастает в направлении отрицательных х. Суммарный поток можно найти, интегрируя доли dQ, поступающие с элементарных полос dx поверхности высачивания. Используя закон Дарси и уравнение (14.28), имеем
с Q = —Kdx grad Ф = —KAdx/(2ф). |
(14.29) |