По мере усложнения систем регулирования на возникновение отказов точности начинают существенно влиять внезапные устой чивые и самоустраняющиеся отказы элементов. Источники подоб ных отказов изучены еще недостаточно, хотя их проявление осо бенно опасно, так как приводит к резким нарушениям точности по лучения размеров. Проявление тех или иных причин отказов точно сти, особенно самоустраняющихся, тесно связано с режимом эксплу атации систем регулирования. Поэтому важное значение для обес печения заданной точности получения размеров приобретает задача изыскания рациональных методов и средств обнаружения (опти мального поиска) действительных источников отказов точности систем регулирования в эксплуатационном режиме. Для высоко производительных систем эти методы должны быть автоматиче скими.
§ 44. О П Р Е Д Е Л Е Н И Е ПОКАЗАТЕЛЕЙ ТОЧНОСТНОЙ Н А Д Е Ж Н О С Т И СИСТЕМ Р Е Г У Л И Р О В А Н И Я И Н Е К О Т О Р Ы Е МЕТОДЫ ИХ О Ц Е Н О К ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ИСПЫТАНИЙ
Все перечисленные выше показатели надежности с точки зре ния теории вероятностей представляют собой либо математическое ожидание случайной величины, либо квантиль какого-нибудь рас пределения, либо самую функцию распределения или ее дополнение до единицы. Все они выражаются через параметры функций рас пределения. Поэтому задача оценки показателей надежности по результатам испытаний сводится к определению параметров рас пределения по этим данным.
Статистическая обработка результатов испытаний преследует обычно одну из следующих задач или их совокупность: определе ние вида закона распределения случайного времени безотказной работы и вычисление его параметров; определение числовых ха рактеристик случайного времени безотказной работы — математи ческого ожидания и дисперсии; оценку точности параметров, най денных по результатам опыта.
Для определения вида закона распределения можно руководст воваться следующим соображением. Результаты измерений группи
руются по классам |
(интервалам) так, чтобы объем каждого был не |
менее 5 измерений, |
а число классов — не менее 10. Тем самым |
предопределено, что число испытуемых систем должно быть не ме нее 50. По результатам испытаний строится гистограмма времен безотказной работы, и по виду ее выдвигается гипотеза о виде зако на распределения. После определения параметров закона прове ряется согласие с помощью критерия Пирсона гипотетического распределения с опытным.
Как установлено проведенными исследованиями, основные па раметры автоматических систем регулирования размеров, в том чис ле показатели их точности, случайным образом изменяются в про цессе эксплуатации или испытаний. В связи с этим их можно рас-
сматривать как случайные функции времени. При оценке надежно сти таких систем к некоторым случайным функциям может быть применена теория выбросов, теория марковских процессов, метод статистических испытаний (метод Монте-Карло) и др.
Рассмотрим несколько примеров применения этих методов. Если изменение уровня настройки системы регулирования раз
меров X(t) можно представить в виде случайной функции времени
|
X(t)=at |
+ d + Xb(t), |
(376) |
где and |
— постоянные, неслучайные величины; |
|
Х0 (t)—непрерывная, |
стационарная, |
дифференцируемая, |
нор |
|
мальная случайная |
функция |
с математическим ожида |
|
нием, равным |
нулю, |
|
|
|
то для |
оценки точностной |
надежности такой системы может |
быть |
применена теория выбросов случайных |
функций [133]. |
|
В этом случае система считается работоспособной, если выпол
нено условие |
Xti^X(t) |
=£; Хв, и находится в состоянии отказа, |
если X(t) > Хв |
или X(t) |
< Хц. |
Момент наступления отказа точности совпадает либо с моментом пересечения уровнем настройки X(t) верхнего допустимого преде ла Хв снизу вверх, либо с момента пересечения нижнего допусти мого предела Хц сверху вниз, т. е. отказ точности эквивалентен выбросу случайной функции уровня настройки за допустимые пре делы. Это дает возможность характеризовать точностную надеж ность системы показлтелем п (ія) —средним числом выбросов слу чайной функции уровня настройки X(t) за выбранные допустимые пределы на протяжении установленного времени испытаний /и -
Если для функции X(t) выполняются указанные выше условия, показатель n(tu) может быть вычислен с помощью простых формул после того, как в результате испытаний системы регулирования на надежность будут определены основные статистические характери стики.
Для вывода этих формул воспользуемся общим выражением для плотности выбросов стационарной случайной функции
|
оо |
к; t)dX+ |
О |
|
|
P{t)= |
[Xf(X^ |
j Xf(XH] |
X; t)dX, |
(377) |
|
Ô |
|
—со |
|
|
где f(X; |
X; t) |
—совместная |
плотность |
вероятности |
случайного |
|
|
уровня настройки X(t) |
и скорости его |
изменения |
|
|
X(t) в момент времени t [133]. |
|
Зная |
P(t), |
легко получить /г(/и ) по формуле |
|
|
|
n(Q |
= ^ P(t) |
dt. |
(378) |
|
|
|
ô |
|
|
Д ля рассматриваемого |
случая |
|
|
|
|
|
|
|
X(t)^a |
+ |
|
X0(t); |
|
|
|
/ (Х0 ; X; t) = |
— 1 |
exp |
1 ^ |
• K L M |
(379) |
где сг^ |
— среднее квадратическое |
отклонение |
центрированной |
слу |
|
чайной функции уровня |
настройки; |
|
|
о х а |
— среднее квадратическое |
отклонение |
производной |
этой |
|
функции. |
|
|
|
|
|
|
Для упрощения вычислений поместим начало отсчета уровня на стройки в точку, где прямая X = at + d пересекает ось ординат. Примем также допустимые пределы Хв и Хн симметричными относи тельно оси абсцисс: Х в = —Хн = Ъ.
Тогда для показателя точностной надежности |
n(tn) |
справедлива |
следующая формула [76]: |
|
|
|
|
|
|
|
= c W - * ± ^ \ - < V I > |
(±z**-\ |
+ ф |
I J - |
\ |
(380) |
Х „ |
/ |
V " А ' . / |
|
\ |
3 Х о |
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
С: |
|
|
|
|
|
|
|
Ф ( Х ) |
|
|
|
|
|
|
|
Необходимые для вычисления n(tB) |
по этой |
формуле |
статисти |
ческие характеристики а, |
о х с и а х 0 определяются |
опытным |
путем |
по результатам длительного испытания системы регулирования. |
Коэффициент а вычисляется по способу наименьших |
квадратов, |
как уклон средней линии реализации функции уровня настройки,
полученной |
при |
длительном |
испытании. Среднее |
квадратическое |
отклонение |
О х о |
центрированной |
функции |
уровня |
настройки |
Xo(t) |
определяется также по данным |
этой реализации: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(381) |
где |
п — число опорных точек |
реализации. |
|
|
|
Среднее |
квадратическое отклонение ojf0 |
производной функции |
X (t) |
вычисляется по опытным даннь'м по формуле |
[133] |
|
где |
N0 — среднее число нулей |
центрированной |
функции |
Х 0 Н ) |
|
в единицу времени, которое определяется |
подсчетом |
числа |
пересечений графика реализации со средней |
прямой |
X = at и делением этого числа на длительность |
испыта |
ния. |
|
Выражение для показателя n(tn) значительно упрошается для случая а = О, когда систематическое смещение настройки отсутст вует.
Тогда |
i |
nUn) = N 0 V 2 ^ ( ^ - y n . |
(382) |
Так же и для коэффициента точностной готовности при а = 0:
|
К т . т = |
2ф(—\. |
|
|
(383) |
|
|
*0 |
|
|
|
В этом |
случае коэффициент |
Кг.т равен |
вероятности |
того, |
что |
в любой момент времени испытаний уровень |
настройки системы |
на |
ходится в допустимых пределах —Ь -^Х |
+Ь. |
|
|
Следует |
отметить, что с увеличением пределов ±Ь |
относитель |
ная точность опытных значений показателя точностной надежности n(tn), полученного непосредственным подсчетом числа выбросов, падает. Это связано с уменьшением числа выбросов и, следова тельно, с увеличением ошибки его определения.
Поэтому применение теории выбросов к оценке надежности си
стемы по параметру (уровню настройки) |
возможно только при |
зна |
чительных ограничениях, накладываемых |
на |
случайную |
функцию, |
характеризующую |
изменение |
параметра |
(уровня |
настройки) |
во |
времени, и на величину среднего числа |
выбросов |
за время испы |
таний. |
|
|
|
|
|
|
|
Для некоторых частных видов изменения параметра во времени |
можно вычислить |
вероятность |
безотказной |
работы по |
параметру |
с помощью формул, построенных на иных принципах, в |
частности, |
с применением теории марковских процессов и методов статистиче ских испытаний (метод Монте-Карло).
Если параметр системы регулирования размеров |
(уровень на |
стройки) характеризуется случайной функцией X(t) |
с |
математиче |
ским ожиданием, равным нулю, и корреляционнрй |
функцией вида |
К х { і ) _о»е-<"*', |
|
(384) |
то такой случайный процесс, имеющий, в частности, место при авто матизированной обработке с активным контролем внутреннего диа метра колец карданных подшипников на 1-ом ГПЗ, является недифференцируемым, а потому к нему ранее изложенная теория выбросов неприменима. В этом случае задача нахождения искомой вероятности работы системы за время Т без отказов параметра (уровня настройки) может быть решена на основе применения урав нения Колмогорова с помощью математического моделирования на ЭЦВМ [133].
Рассмотрим другой случай, когда основной параметр системы имеет характер случайной функции вида
Y{t) = y(t) + X(.t), |
(385) |
где |
y(t) |
—неслучайная |
функция |
времени, представляемая |
обычно |
|
|
с достаточной для практики точностью полиномом вто |
|
|
рой степени, т. е. |
|
|
|
|
|
y(t)=ai'* |
+ bt |
-с, |
(386) |
где |
а, Ъ, с — постоянные |
величины; |
|
|
|
X(t) |
—стационарная случайная |
функция с нулевым |
матема |
|
|
тическим |
ожиданием и с корреляционной функцией |
|
|
вида |
|
|
|
|
|
|
Кх (т) = Л — w ^ cos |
+ — sin ш hl j . |
(387 ) |
|
Величины а, а и to могут быть определены статистической обра |
боткой результатов достаточно продолжительных испытаний одной системы, если только имеет место эргодическая гипотеза.
Подобная корреляционная функция имеет место при автоматизи рованной обработке «на проход» изделий типа колец и роликов подшипников на двусторонних торцешлифовальных автоматах СА-3 с подналадчиком ОКБ-1180М и на бесцентрово-шлифовальных стан ках типа 6С-133 на 1-ом ГПЗ.
Из теории случайных функций известно [67, 123], что при про хождении белого шума Z(t), имеющего нулевое математическое ожидание и постоянную спектральную плотность Sz (w) = с, через линейную динамическую систему, описываемую дифференциальным
уравнением второго порядка |
вида |
|
|
X(t) |
+ 2hX |
(I) + |
k*X(t) = Z (t) |
(388) |
(/г и & —постоянные), |
на выходе |
получается случайная |
функция, |
которая после окончания переходного процесса превращается в ста ционарную случайную функцию, имеющую корреляционную функ
цию вида (387). При этом параметры а, а и со выражаются |
через |
с, h и k с помощью формул: |
|
a = h; ш = / А 2 — А2; а2 = — . |
(389) |
Ihm |
ѵ ' |
В этом случае для нахождения вероятности сохранения парамет ра системы в заданном интервале за заданное время можно исполь зовать метод Монте-Карло [109]. С этой целью на ЭЦВМ модели руется прохождение реализации белого шума Zi(t) через динами ческую систему (388). Так как реализация белого шума — неслучай ная ступенчатая функция, то это сведется к решению линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и с переменной правой частью в виде ступенчатой функции. Началь ные условия определяются значением параметра системы в началь-
