Файл: Егоров Н.И. Физическая океанография.pdf

Для вычисления гармонических постоянных необходимо вна­ чале преобразовать основную формулу высоты прилива (8.19).

В общем виде расчетную формулу высоты прилива можно пред­ ставить следующим образом:

Ежечасные высоты уровня h определяются из наблюдений. Уг­ ловые скорости q каждой волны известны из теории гармониче­ ского анализа (табл. 31). Поэтому в формуле (8.22) неизвестными оказываются только коэффициенты А и В каждой волны. Для определения этих коэффициентов необходимо иметь число уравне­ ний не меньше, чем число неизвестных. Если вычисляются гармо­ нические постоянные 8 волн, то число уравнений должно быть не меньше 16, а при вычислении гармонических постоянных 11 волн — не менее 22 уравнений.

Однако при вычислении коэффициентов Л и В из минимально необходимого числа уравнений точность оказывается недостаточ­ ной. Поэтому составляется число уравнений значительно большее, чем число неизвестных, из которых и определяются коэффициенты А и В способом наименьших квадратов. В частности, для определе­ ния коэффициентов основных волн составляется число уравнений в 12 раз больше числа неизвестных.

317

Как известно, для определения коэффициентов способом наи­ меньших квадратов необходимо составлять нормальные уравне­ ния, требующие довольно кропотливых и трудоемких вычислений. С целью упрощения вычислений Дарвин предложил прием, позво­ ляющий выделить из суммарной наблюденной высоты прилива со­ ставляющие отдельных волн.

Сущность этого приема заключается в следующем. Предполо­ жим, что суммарная высота прилива ht определяется только двумя составляющими волнами: М2 и S2, которые близки по периоду и имеют различные амплитуды И и фазы g, т. е.

ht= h f ‘+hst- = Нмгcos (qMit — gM2)+ # s2 cos (qsJ — gs2).

Условимся называть часом волны одну двадцатьчетвертую часть суток волны. Тогда сутками волны для суточных волн будет их пе­ риод, для полусуточных волн— удвоенный период, для четвертьсуточных волн — учетверенный период и т. д. Так как периоды волн различны, то и часы волн будут также неодинаковы. Так, напри­ мер, для волны S2, период которой равен 12 средним часам, сутки будут равны 24 средним часам, и ее час будет равен среднему часу.

Для волны ЛГ2, период которой равен 12,42 средних часа, сутки волны будут равны 24,84 часа, а ее час— 1,035 средних часа, кото­ рый принимается для волны М2 за единицу.

Вследствие неравенства периодов волн и соответственно их угловых скоростей разность фаз между любой парой волн будет возрастать. Если в первые сутки разность фаз выбранных нами волн S2 и М.о была равна цп (рис.8.11), то во вторые сутки она равна фг, в третьи — срз и т. д. Через определенное число суток (пе­ риодов) эта разность достигнет 360°. Можно рассчитать это число

вателыю, за один период волны М2 разность фаз между обеими волнами

318

Подставив условие, чтобы разность фаз была 360°, можно опре­ делить число суток (периодов) волны М2, когда это произойдет. Так как необходимо, чтобы

Чм2-- CjSz

Воспользуемся найденным уравнением для выделения из суммар­ ной высоты прилива

h t = h™2 + h st! = H mz cos ( q M z i — Ц м г ) + H s 2 cos ( q s j — g s z )

ее составляющих:

Af2= НМг cos (qMit —gMl),

h f = ^ S2 cos (qs2t — g s 2) ■

Для этого просуммируем ежечасные высоты уровня ht, взятые на один и тот же час волны Л12 в каждые сутки. Если принять для суммирования число суток п, определяемое формулой (8.23), то за этот промежуток времени волна So сместится по фазе относительно волны М2 на 360° и, следовательно, пройдет через все возможные

положения относительно волны М2- Как видно на рис. 8.11, ординаты волны М2 на один и тот же

час этой волны в различные сутки равны между собой. Ординаты волны S2, взятые для того же часа волны М2, в разные сутки будут различны по величине и по знаку. Можно доказать, что сумма орди­ нат волны S2, взятых на один и тот же час волны М2, за п суток, определяемых формулой (8.23), равна нулю.

Следовательно, для любого часа волны М2 равенство

2 > = i;A f > + z ;A f 1 1 1

переходит в другое

2 A i = i;A f 2,

2 Z h f= 0.

1

Так как на данный час Г'волны М2 ее высота остается в каждые сутки неизменной, то можно записать

2 ht= nhM>,

1

откуда

П

h T = T ^ h t -

320

Выведенная формула будет справедлива для любого часа волны М2 и поэтому позволяет выделить 24 средних ежечасных ординат волны М ч из общих ежечасных ординат hi.

Если производить аналогичное суммирование ординат ht через период волны S2, то исключается волна М 2 и определяются сред­ ние ежечасные ординаты волны S2.

Следовательно, для каждой волны можно составить двадцать четыре уравнения вида

h^2= Нм* cos (qM2t — §м2) ■

Раскрывая косинус разности и обозначая произведения

Нмгcos Ям2—АЛ1г и Нм2$т Ум2= Вм2,

получим выражения для определения ежечасных высот волны М 2 в виде

h ^ 2 — А м 2 cos q M zt + В м 2 sin q M 2t.

Таких уравнений можно составить 24 для каждого часа t волны М2 от 0 до 23 часов. В них будут только два неизвестных — коэф­ фициенты А Мг и В Мг .которые и определяются способом наимень­

ших квадратов. Из теории способа наименьших квадратов изве­ стно, что если аргумент (в нашем случае t) взят через равные от­

Для определения коэффициентов А М2 и BMl достаточно было

бы двух уравнений, если бы ежечасные ординаты отдельных волн выделялись из суммарной ординаты прилива в чистом виде. Од­ нако этого сделать нельзя, так как высота прилива представляет сумму не двух, а значительно большего числа волн. Поэтому при указанном способе суммирования исключается полностью только одна волна. Другие волны искажают истинные значения средних ежечасных ординат выделяемой волны М 2. Для уменьшения оши­ бок при расчете коэффициентов Лм. и BMl берется не два урав­

нения, а 24, и по формуле (8.24) рассчитываются неизвестные ко­ эффициенты А м 3 и ВМ2. Аналогичным образом определяются ко­

эффициенты А и В остальных составляющих волн. В соответствии с изложенными принципами разработаны специальные бланки, на которых и выполняется весь расчет.

Формула (8.23) определяет необходимое минимальное число периодов (суток), за которые должны быть проведены наблюде­ ния над колебаниями уровня. Минимально необходимое число