Файл: Электричество и магнетизм. Курс лекций. Задерновский.pdf

71

Чем меньше β, тем выше и острее максимум соответствующей кривой, и тем ближе резонансная частота к ω0. При 0 напряжение на конденсаторе становится равным Um для любого контура, поскольку источник дает в этом случае практически постоянное напряжение.

Несколько иначе выглядят резонансные кривые для максимальных значений тока в контуре Im. Дифференцируя выражение для заряда (7.20) получаем

стоте. Соответствующие резонансные кривые приведены на рисунке 7.6. Здесь, так же, как и на рис. 7.5, чем меньше β (т.е., чем меньше R, и чем больше L), тем выше и острее резонансный пик. Теоретически при R = 0, амплитуда колебаний стремится к бесконечности.

При ω → 0, т.е. при постоянном напряжении источника, ток в контуре не течет, и все кривые сходятся в начале координат (то есть Im = 0).

Отметим, что при малом затухании максимальный заряд конденсатора при

резонансе равен qm Um , как это вытекает из формулы (7.22) при ωL = 1/ωC .

0 R

Соответственно, максимальное значение напряжения на конденсаторе будет равно

означает, что добротность колебательного контура показывает, во сколько раз напряжение на конденсаторе может превысить приложенное напряжение.

Явление резонанса в колебательном контуре используется в радиоприемных устройствах для выделения в эфире сигнала определенной радиостанции. При этом приемный контур настраивается так, чтобы его собственная частота

72

совпадала с частотой, на которой работает данная станция. Тогда, благодаря резонансу, сигнал именно этой радиостанции будет усиливаться в Q раз. Если добротность контура велика, резонансная кривая имеет очень малую ширину, и сигналы других радиостанций восприниматься практически не будут.

ЛЕКЦИЯ 8. СЛОЖЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ. ВОЛНЫ

8.1.Сложение гармонических колебаний одного направления

иодинаковой частоты. Векторная диаграмма

Гармонические колебания удобно представлять с помощью векторных диаграмм. Попробуем изобразить колебание x = Acos(ωt+φ). Для этого из про-

извольной точки О на оси х под углом φ, равным начальной фазе, отложим век-

тор А , равный по модулю амплитуде данного колебания A . Его проекция на ось будет равна х0=Аcosφ (рис. 8.1).

Приведем этот вектор во вращение с постоянной угловой скоростью ω, равной циклической частоте рассматриваемого колебания. К моменту времени t он повернется на угол ωt от

шать колебания вдоль оси х по закону

x(t) = Acos(ωt+φ),

принимая значения от –А до +А. то есть будет представлять собой изображаемое на диаграмме гармоническое колебание.

Описанный метод позволяет легко складывать колебания одинакового направления. Сложим, например, два колебания:

x1 = A1 cos (φt + φ1) и x2 = A2 cos (φt + φ2)

73

Оба колебания имеют направление вдоль оси x, одинаковую частоту ω, но разные амплитуды A1 и A2 и начальные фазы φ1 и φ2. Изобразим на векторной диа-

(рис. 8.2). Построим по правилу сложения векторов результирующий вектор А

Таким образом, при сложении двух колебаний одинакового направления и одинаковой частоты получается колебание той же частоты и того же направления.

Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз складываемых колебаний. Если 2— 1 = ±2m , (т=0, 1, 2, ...), то колебания происходят в одинаковой фазе. В этом случае cos( 2— 1) = 1, и A=A1+A2, т. е. амплитуда результирующего колебания А равна сумме амплитуд складываемых колебаний. При этом, на диаграмме оба вектора направлены в одну сторону.

Если 2— 1 = ±(2m+1) , (т=0, 1, 2, ...), то колебания происходят в противофазе. Теперь cos( 2— 1) = -1, и A=|A1–A2|, т. е. амплитуда результирующего колебания равна разности амплитуд складываемых колебаний. При этом, на

74

диаграмме векторы амплитуд противоположны друг другу, и, если, например, А1 = А2, то суммарная амплитуда равна нулю.

8.2. Биения

Особый интерес представляет сложение двух гармонических колебаний с одинаковыми амплитудами, одинаковыми начальными фазами и мало отлича-

Полученное выражение можно рассматривать как гармоническое колебание с периодически изменяющейся амплитудой равной 2Acos( 2)t . Такие колебания называются биениями. График функции (8.4) показан на рисунке

8.3.

Таким образом, результирующее колебание будет практически гармони-

8.3. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Пусть два гармонических колебания одинаковой частоты ω происходят во взаимно перпендикулярных направлениях: одно вдоль оси x, другое вдоль оси y. Выберем начало отсчета времени так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю, тогда

x = Acosωt ,

y = Bcos(ωt + φ),

75

Записанные уравнения представляют собой заданное в параметрической форме уравнение траектории, которую описывает тело, участвующее одновременно в обоих колебаниях. Исключив из этих уравнений параметр t, найдём, что результирующий процесс движения точки, может быть представлен кривой, уравнение которой имеет вид

ствует нулю и четным значениям т (рис. 8.4а), а знак минус — нечетным значениям т (рис. 8.4б). Результирующее колебание является гармоническим с ча-

Оси данного эллипса совпадают с осями координат, а его полуоси равны соответствующим амплитудам (рис. 8.4в). В частном случае, когда А=В, эллипс (8.6) вырождается в окружность.