Файл: Электричество и магнетизм. Колебания и волны. Курс лекций.pdf

Ускорение

по направлению совпадает с направлением силы F , а по фазе отличается от скорости

(4) наp 2 , и от смещения (2) – на p . Максимальное ускорение a м = Aw02 .

В колебательном контуре аналогом скорости выступает сила токаi = dq/dt, аналогом ускорения – напряжение UL = –Ldi/dt.

Пространство ( x, x& ) называют фазовым пространством, а совокупность точек в нем– фазовой траекторией тела.

Установим изменение потенциальной и кинетической энергий колеблющейся

остается величиной постоянной в полном соответствии с условием консервативности системы, и для пружинного маятника она определяется работой, совершенной внешней силой по сжатию или растяжению пружины.

В колебательном контуре аналогом потенциальной энергиивыступает энергия электрического поля в конденсаторе CU2/2, аналогом кинетической энергииэнергия магнитного поля LI2/2.

7.3. Сложение колебаний

Сложение одинаково и взаимно перпендикулярно направленных колебани

нахождения результирующего колебания.

Если складываются два гармонических колебаний одинаковой частоты, смещения

т.е. результирующее колебание не будет гармоническим. Если колебания мало

48

неконсервативные силы типа трения, из-за чего свободные колебания переходят в

49

Анализируя (10), можно видеть, что:

1) при b >> w0 x = A0 exp(- 2bt ),

т.е. движение получается непериодическим, рис.4а; его называют апериодическим, т.к. тело монотонно стремится к положению равновесия.

Из (13) следует, что затухающие колебания не являются строго гармоническими, их амплитуда A(t) уменьшается с течением времени и тем быстрее, чем больше коэффициент затухания b (рис. 4б).

Натуральный логарифм отношения отклонения системы в моменты времениt и t + T называется логарифмическим декрементом затухания:

d = ln[x(t ) x t(+ T )]= ln[A0e-bt A0e-b (t +T )]= bT = 2pb b 2 - w02 = 2pb w .(14)

Величина, обратная d , показывает число колебаний, совершаемых за время, в

называется добротностью колебательной системы.

7.5. . Вынужденные колебания

Они возникают при действии на систему внешней периодически изменяющейся

Таким образом, получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Решением такого уравнения будет

50

x = x0 + x част, где x0 – общее решение однородного уравнения (17), (т. е. уравнения (23) с правой частью, равной нулю). Согласно (11)

x0 = A0 exp[(- b - b 2 -w02 )t ]

и с течением времени x0 ® 0 . Поэтому x → x част.

Из анализа (19) следует, что хотя амплитуда вынуждающей силыFm, остается постоянной, амплитуда А вынужденных колебаний зависит от частотыW вынуждающей силы (рис.5).

Это явление называется резонансом.

При W ® ¥ имеем A ® ¥, что объясняется инерционностью колебательной системы). Явление резонанса, состоящее в резком увеличении амплитуды колебаний при

кораблей, самолетов и т.д. Необходимо, чтобы их резонансные частоты не совпадали с частотой вынуждающих внешних воздействий.

Лекция 8 ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ

8.1. Упругие среды. Продольные и поперечные волны

Процесс распространения колебаний в среде называется . волИначеой, возмущение, распространяющееся в пространстве (среде), называется волной.

Волновые процессы, также как колебания, обладают одинаковыми характеристиками и одинаковыми свойствами, поэтому целесообразно начать их изучение с механических волн. Будем полагать, что имеем сплошную упругую среду, например, твердое тело, жидкости, газы. Для упругой среды характерно возникновение упругих деформаций при небольшом внешнем воздействии на нее. Эти деформации полностью исчезают после прекращения внешних воздействий.

51