ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 6
Скачиваний: 0
1
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
|
|
|
|
Задания на повторение |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1. |
Найти длины элементов |
p(t) t 1, q(t) 2t 1 |
евклидова пространства |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
( p, q) |
|
p(t)q(t)dt . Найти угол |
|
всех многочленов |
P [t] |
|
со скалярным произведением |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
между этими элементами. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2. Найти длины элементов |
p(t) 1 t t 2 , |
q(t) 1 2t |
евклидова простран- |
||||||||
ства |
|
|
всех |
|
многочленов |
|
P2[t] |
со |
скалярным |
произведением |
|||||
( p, q) p( 1)q( 1) p(0)q(0) p(1)q(1) . Найти угол между этими элементами. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
3. В базисе {e1,e2,e3} |
пространства E3 скалярное произведение задано матрицей |
||||||||||
|
|
|
3 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Грама |
Г |
1 |
1 |
1 |
|
. Найти |
длины базисных векторов и угол между ними. Найти |
||||||||
|
|
|
|
2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
длины векторов x и y пространства E3 , если x e2 2e3 , y 2e1 e3 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
МЕТОД ОРТОГОНАЛИЗАЦИИ ГРАМА - ШМИДТА |
|||||||||
|
|
|
|
Определение 1. Два вектора x и y называются ортогональными, если их ска- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
лярное произведение равно 0, т.е. (x, y) 0 . |
|||||||
|
|
|
|
Определение 2. Система векторов |
x1, x2,..., xn называется ортогональной, ес- |
||||||||||
ли все векторы системы попарно ортогональны, т.е. |
(xi , x j ) 0 при i j |
||||||||||||||
|
|
|
|
Определение 3. Вектор x |
называется нормированным или единичным, если |
||||||||||
|
x |
|
1 |
Нахождение для данного вектора нормированного ему вектора называется нор- |
|||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
мированием вектора. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
Определение 4. Система векторов |
x1, x2,..., xn называется ортонормирован- |
||||||||||
ной, если все векторы этой системы попарно ортогональны и длина (норма) каждого |
|||||||||||||||
вектора системы равна единице, т.е. |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
1, |
i j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(xi , x j ) |
|
i j |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
2
Определение 5. Базис e1, e2 ,..., en евклидова пространства называется орто-
нормированным, если все его векторы попарно ортогональны и длина каждого из них равна единице, т.е.
1, |
i j |
(ei , e j ) |
i j |
0, |
Теорема. Метод Грама-Шмидта. В конечномерном n-мерном евклидовом про-
странстве существует ортонормированный базис.
Доказательство. Пусть e1, e2,..., en - некоторый базис данного евклидова про-
странства En .
Сначала сформируем новый ортогональный базис f1, f2,..., fn .
Составим ортогональную систему векторов следующим образом:
1.Пусть f1 e1
2.f2 зададим, как f2 e2 21 f1 .
Подберем 21 таким образом, чтобы векторы |
f1 и |
f2 были ортогональны: |
|||
( f1, f2 ) ( f1, e2 |
21 f1) 0 ( f , e ) ( f , f ) 0 |
||||
|
|
1 2 |
21 |
1 |
1 |
e1 |
e1 |
|
|
|
|
|
|
( f1, e2 ) |
( f1, e2 ) |
||||||
21 |
|
( f1, f1) |
|
|
f |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3. |
f3 зададим следующим образом: f3 e3 31 f1 32 f2 , где 31 , |
которые коэффициенты, подобранные таким образом, чтобы векторы f3 и
f2 |
были ортогональны: ( f3, f1) 0 , |
( f3, f2 ) 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
( f1, f3) ( f1, e3 31 f1 32 f2 ) 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
( f , e ) ( f , f ) ( f , f |
|
) |
0 |
( f1, e3 ) |
|
|
( f1, e3 ) |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1 |
3 |
31 |
1 |
1 |
32 |
1 |
2 |
|
31 |
|
( f1, f1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
2 |
|
|
|
|||||||
e1 |
|
|
e1 |
e1 1 |
|
0 т.к. f1 f 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
( f2, f3) ( f2, e3 31 f1 32 f2 ) 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
( f2 |
, e3 ) 31 ( f1, f2 ) |
32 ( f2 , f2 ) 0 32 |
|
|
( f2 , e3 ) |
|
|
( f2 , e3 ) |
|||||||||||||||||
|
( f2 , f2 ) |
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
0 т.к. f1 f 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 - не-
f1 , f3 и
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
k. Пусть уже найдены взаимно ортогональные векторы f1, f2,..., fk 1 . Вектор |
||||||||||||||||||||||
fk |
выберем таким образом, чтобы он был ортогонален каждому из векторов уже по- |
||||||||||||||||||||||
строенной |
системы |
|
f1, f2,..., fk 1 . |
В качестве |
|
|
|
fk |
возьмем |
вектор |
|||||||||||||
fk |
ek k1 f1 k 2 f2 |
... k,k 1 fk 1. Рассуждая, как и ранее, получаем, |
что век- |
||||||||||||||||||||
тор |
fk 0 при любых значениях |
|
k1, k 2 ,..., k,k 1 . |
Из условий ортогональности |
|||||||||||||||||||
( fk , f j ) 0 |
находим последовательно |
kj |
( f j , ek ) |
|
|
( f j , ek ) |
, j 1,2,..., k 1. |
||||||||||||||||
( f j , f j ) |
|
|
f j |
|
2 |
||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Продолжая |
этот |
|
процесс, |
мы |
построим новую |
ортогональную |
систему |
|||||||||||||||
f1, f2 ,..., fn . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Делением каждого элемента |
|
fk |
на его длину, получаем ортонормированную |
|||||||||||||||||||
систему векторов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
h1 |
|
|
f1 |
, h2 |
|
|
f2 |
, …, hn |
|
fn |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
f1 |
|
|
|
fn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
f2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Процесс построения по данному базису ортонормированного базиса называется
ортогонализацией данного базиса.
Описанный при доказательстве метод носит название метода Грама-Шмидта.
Пример 1. В пространстве R3 задан базис e1 (1, 1,1) , |
e2 (2, 3,4) , |
e2 (2,2,6) . Скалярное произведение задается формулой (x, y) x1y1 x2 y2 x3 y3 .
Ортогонализировать систему векторов {e1, e2 , e3}.
Решение.
Сформируем новый ортогональный базис f1, f2, f3 .
1.Пусть f1 e1 (1, 1,1)
2.f2 зададим, как f2 e2 21 f1 , где 21 - некоторый коэффициент.
|
|
Подберем 21 |
таким образом, чтобы векторы f1 |
и |
f2 были ортогональны: |
|||||||||
|
|
( f1, f2 ) ( f1, e2 21 f1) 0 ( f , e ) ( f , f ) 0 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
21 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
e1 |
|
|
|
|
e1 |
|
|
|
|
|
|
21 |
( f1,e2 ) ( f1,e2 ) |
|
|
|
|
||||||||
|
|
( f1, f1) |
|
|
|
f |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( f1, e2 ) = (e1, e2 ) 1 2 ( 1) ( 3) 1 4 9 |
|
|
|
4
( f1, f1) = (e1,e1) 1 1 ( 1) ( 1) 1 1 3
|
|
|
|
9 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
21 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
f2 e2 |
|
3 f1 |
e2 3e1 (2; 3;4) 3(1; 1;1) ( 1;0;1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
3. |
|
f3 e3 31 f1 32 f2 , где 31 , 32 |
- некоторые коэффициенты, подобран- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ные таким образом, чтобы векторы f3 и |
f1 , f3 |
и f2 были ортогональны: ( f3, f1) 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
, ( f3, f2 ) 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
( f1, f3) ( f1, e3 31 f1 32 f2 ) 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
( f , e ) ( f , f ) |
( f , f |
|
) 0 |
( f1, e3 ) |
|
( f1, e3 ) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
1 |
3 |
|
|
|
|
31 |
1 |
1 |
32 |
1 |
2 |
|
31 |
|
|
( f1, f1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
e1 |
|
|
|
|
|
|
e1 |
e1 |
|
0 т.к. f1 f 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
( f1, e3 ) = (e1,e3 ) 1 2 ( 1) 2 1 6 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
( f1, f1) = (e1,e1) 1 1 ( 1) ( 1) 1 1 3 |
|
|
f1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
6 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
31 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
( f2, f3) ( f2, e3 31 f1 32 f2 ) 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
( f2 , e3 ) 31 |
( f1, f2 ) 32 ( f2 , f2 ) |
0 32 |
|
|
( f2 , e3 ) |
|
( f2 , e3 ) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( f2 , f2 ) |
|
|
|
|
|
|
f |
2 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 т.к. f1 f 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
( f2 , e3) = ( f2 ,e3 ) ( 1) 2 0 2 1 6 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
( f2 , f2 ) ( 1) ( 1) 0 0 1 1 2 |
|
|
|
|
f2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
32 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
f3 e3 2 f1 2 f2 |
(2;2;6) 2(1; 1;1) 2( 1;0;1) (2;4;2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
( f3, f3 ) 2 2 4 4 2 2 24 |
|
|
|
|
f3 |
2 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, построена новая ортогональная система f1, f2, f3 .
Нормируем эту систему векторов, поделив каждый элемента fi на его длину,
получим ортонормированную систему векторов h1, h2 , h3
|
|
f |
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
||||
h1 |
|
1 |
|
|
|
|
; |
|
|
|
; |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
f1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
3 |
|
3 |
|
3 |
|
|
5
|
|
|
f |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
h2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
;0; |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
||||||
|
f2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
f |
3 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
||||||||
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3 |
|
|
f3 |
|
|
6 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
6 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2. Ортогонализировать базис {e1, e2}, матрица Грама в котором имеет
|
1 |
1 |
||
вид |
Г |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
Решение.
Пусть новый ортогональный базис f1, f2 .
Из матрицы Грама: (e1, e1) 1, (e1, e2 ) 1 , (e2 , e2 ) 2
|
|
1. Пусть f |
e , |
h |
|
e1 |
|
|
e1 |
e |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
e1 |
|
1 |
1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2. f2 зададим, как |
f2 e2 21 f1 , |
где 21 - некоторый коэффициент, подоб- |
||||||||||||||
ранный таким образом, чтобы векторы f1 и |
f2 |
были ортогональны: |
||||||||||||||||
|
|
( f1, f2 ) ( f1, e2 |
21 f1) 0 ( f , e ) ( f , f ) 0 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
21 1 1 |
|||
|
|
|
|
|
e1 |
|
|
|
|
e1 |
|
|
|
|
|
|||
|
21 |
( f1,e2 ) ( f1,e2 ) |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
( f1, f1) |
|
|
|
f |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( f1, e2 ) = (e1,e2 ) 1 (следует из матрицы Грама) ( f1, f1) = (e1,e1) 1 (следует из матрицы Грама)
1
21 1
1
f2 e2 f1 e2 e1
h |
f2 |
|
|
f2 |
|
|
|
|
|
||
2 |
f2 |
|
|
( f2 ; f2 ) |
|
|
|
|
|
( f2 , f2 ) (e2 e1, e2 e1) (e2 , e2 ) 2(e2 , e1) (e1, e1) 2 2 1 1
f |
2 |
|
1 h |
|
f2 |
|
(e e ) |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
f2 |
1 |
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, новый ортонормированный базис {e1, e1 e2}