Файл: Семинар 14.pdf

6

Пример 3. Даны векторы

p (x) 1,

p

2

(x) x ,

p (x) x2

пространства

1

3

1

С[ 1;1] со скалярным произведением

( f , g) f (x)g(x)dx .

Выполнить ортогонализа-

2.

f2 зададим,

как

f2 p2 (x) f1 . Из условия

ортогональности

( f , f

) 0 ( f , f

) ( f , p

) ( f , f ) 0

( f1, p2 )

( f1, p2 )

1

2

1

2

1

2

1

1

( f1, f1)

f

2

1

3.

f3(x) p3(x) f1(x) f2 (x) . Из условий ортогональности векторов f3 и

f1 , f3 и

f2 найдем коэффициенты , :

( f

, p ) ( f

, f ) ( f

, f

) 0

( f2 , p3 )

( f2 , p3 )

2

3

2

1

2

2

( f2

, f2 )

f

2

0

1

1

1

x

4

1

( f2 , p3) f2 (x) p3(x)dx x x2dx

0

1

1

4

1

0

f

(x) p (x)

1

f (x) 0 f

(x) x2

1

3

3

3

1

2

3

Таким образом, новый ортогонализированный базис {1, x, x2

1

} .

3

Нормируем его:

1

1

1 1 2

( f1, f1) 1 1dx 1dx x

f1

2

1

1

1

1

3

1

x

2

2

( f2 , f2 ) x xdx x2dx

f2

1

1

3

1

3

3

1

1 2

1

2

1

( f3, f3 )

x2

dx

x4

x2

dx

1

3

1

3

9

x5

1

2x3

1

1

x

2

4

2

2

2

8

f3

2 2

5

1

9

1

9

1

5 9 9 5 9 45

3 5

h (x)

f

1(x)

1

1

f1

2

h2 (x)

f2 (x)

3

x

f2

2