Файл: Райзер Ю.П. Лазерная искра и распространение разрядов.pdf

верхних уровней падает. Уменьшается она не беспредельно, так как одновременно с ионизацией идут столь же быстро протекаю­ щие обратные процессы захвата электронов ионами на верхние уровни при тройных столкновениях с участием электронов в ка­ честве третьих частиц. Устанавливается новое квазиравновесное состояние, в котором имеется приближенное равновесие между свободными электронами и возбужденными атомами, но нет рав­ новесия между возбужденными и невозбужденными атомами. В этом новом состоянии концентрация возбужденных атомов, ко­ торые и являются главными поглотителями света, становится меньше начальной, что и приводит к уменьшению поглощения света.

Исчезновению возбужденных атомов способствует и процесс фотоэлектрического поглощения световых квантов. В самом на­ чале области просветления он играет второстепенную роль. Од­ нако при дальнейшем увеличении интенсивности света роль его становится значительной. Заметим, что наряду с фотоиониза­ цией под действием света быстро протекает процесс вынужденной фоторекомбинации, при котором в поле лазерного света происхо­ дит захват электронов ионами с испусканием квантов тех же час­ тот и направлений.

При больших интенсивностях начинается другой эффект — потемнение плазмы. В этой области интенсивностей света элект­ ронный газ нагревается весьма сильно, что способствует росту скорости возбуждения (и ионизации) атомов из основного состоя­ ния. Это приводит к нарастанию степени ионизации и плотности свободных электронов и в результате — к увеличению поглощатель­ ной способности плазмы.

На основе изложенного качественного объяснения механизмов возникновения просветления и потемнения плазмы в работе [52] построена количественная теория нелинейного поглощения. Она базируется на рассмотрении кинетики неравновесных состояний плазмы при воздействии на нее лазерного излучения. Результаты расчетов хорошо согласуются с опытом.

Нелинейные эффекты при поглощении света плазмой могут существенно изменить экранировку лазерного излучения иони­ зованными парами при облучении твердых мишеней. Их необхо­ димо учитывать и при лазерной диагностике плазмы, которая по самой своей идее требует того, чтобы свойства плазмы не менялись под действием лазерного света. Ведь при лазерной диагностике всегда стараются применять как можно более интенсивное излу­ чение, чтобы легче было зарегистрировать очень слабый рассеян­ ный свет, который и несет информацию о свойствах плазмы. Как видим, возможности увеличения интенсивности ограничены, так как при больших интенсивностях свет существенным образом воз­ действует на плазму и меняет ее состояние.

86

Г л а в а 3

КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЭЛЕКТРОНОВ

ВПОЛЕ

12.Уравнение Больцмана для электронного газа

12.1.Функция распределения электронов. В элементарной теории ионизованного газа в поле электромагнитной волны, ко­ торая излагалась в гл. 1 , все внимание сосредоточено на одном отдельном электроне. Рассматривая движение электрона в поле при одновременном воздействии столкновений и считая, что все электроны в среднем ведут себя одинаково, можно приближенно вычислять многие важные величины: электропроводность и ди­ электрическую постоянную ионизованного газа, коэффициент поглощения электромагнитной волны, скорость нарастания энер­

гии электрона — и на этой основе выяснить некоторые законо­ мерности развития электронной лавины и пробоя. Однако такой подход, весьма привлекательный благодаря своей простоте и на­ глядности, все же является весьма несовершенным. Например, в рамках элементарной теории довольно трудно вычислить ве­ роятность электрону проскочить через «опасную» энергетическую зону между потенциалами возбуждения и ионизации, т. е. рас­ смотреть эффект, имеющий первостепенное значение для вопроса о пробое.

Наиболее полное и детальное описание различных эффектов взаимодействия ионизованного газа с электромагнитной волной можно дать лишь при помощи функции распределения электро­ нов. Функция распределения электронов по скоростям / (t, г, v) определяется таким образом, что / (t, г, v) drdv представляет со­ бой число электронов, находящихся в момент времени t в элемен­ тарном объеме dr = dxdydz и обладающих компонентами скоро­ стей от vx, vy, vz до vx + dvx, vv + dvy, vz + dvz. Символом dv

обозначается элемент объема в пространстве скоростей dv =

— dvxdvydvz. В условиях, когда в пространстве есть выделенное направление, как в интересующем нас случае (направление элект­ рического поля), вектор v удобнее выражать не в декартовых, а

всферических координатах. Он определяется величиной скорости

vи углом наклона ее й к полярной оси, а в общем случае еще ази­ мутальным углом ф (рис. 3.1, на котором показаны координатные орты ес, е#). Элемент объема dv = v2dvdQ, где dQ = sin ■Qd'Qdap — элемент телесного угла направлений вектора скорости.

Интеграл по скоростям от функции распределения дает плот­ ность электронов

(3.1)

87

От функции распределения по векторам скорости легко перейти к распределению по абсолютным значениям скорости ф (v) dv или по энергиям п (е) de:

Зная функцию распределения электронов, можно вычислить любую величину, относящуюся к электронному газу, напри­ мер частоту ионизации по формуле (1.48)

или плотность полного электронного тока

С помощью этого выражения можно будет определить высокочастотные проводимость и диэлектрическую постоянную плазмы.

ланта [3], особенно детально в книге Мак­ Доналда [4]. Тем не менее мы здесь также остановимся на выводе классического кинетического уравнения

для электронов и, главное, преобразовании его к уравнению для функции распределения по энергиям, поскольку последнее лежит в основе лавинной теории пробоя. При этом, кое-где поступаясь математической строгостью и полнотой, мы постараемся изло­ жить этот в общем не простой раздел по возможности доступнее и в той мере, в какой это необходимо, для того чтобы оперировать уравнением в задачах о пробое с полным пониманием физического существа дела.

Проследим за совокупностью электронов, занимающих в дан­ ный момент t некоторый элементарный фазовый объем drdv около точки г, v. Этот элемент движется во времени, так как электроны переходят из одной точки обычного пространства в соседнюю и под действием внешних сил ускоряются, т. е. скорости их также меняются. Полная производная от функции распределения, ко­ торую, следовательно, надо рассматривать как сложную функцию

88

где точкой обозначено дифференцирование по времени. В ком­ пактной векторной форме это выражение запишется в виде

df/dt — df/dt -; v df/dr -}- w df/dv,

где символы d/dr и d/dv обозначают градиенты в обычном про­ странстве и в пространстве скоростей, a w — v — вектор ускоре­ ния. Если F — внешняя сила, которая действует на электрон, то w = F/т.

Число электронов в перемещающемся элементе фазового объе­ ма изменяется за счет столкновений, а также в результате рожде­ ния или исчезновения электронов. Одни электроны уходят из данного элемента dv вследствие изменения скорости при рассея­ нии, другие приходят после последнего столкновения. Акты рож­ дения и исчезновения электронов в общем также связаны с теми или иными процессами столкновений.

Обозначим изменение функции распределения вследствие всех

Если полная производная df/dt связана с совокупностью ча­ стиц, перемещающихся в фазовом пространстве, то частная произ­ водная df/dt характеризует изменение числа электронов в дан­ ной покоящейся точке фазового пространства. Это локальное из­ менение связано не только со столкновениями, но и с втеканием (вытеканием) частиц в покоящийся элемент объема. Уравнение (3.5) можно вывести и таким путем, рассматривая протекание частиц через поверхности покоящегося объема. При этом, есте­ ственно, получается то же самое уравнение (3.5).

Теперь конкретизируем уравнение применительно к интере­ сующему нас случаю электронов, находящихся в поле монохрома­ тической электромагнитной волны. При этом введем ряд упро­ щающих допущений. Будем пренебрегать действием магнитного поля волны и считать электрическое поле однородным в простран­ стве. Первое допущение предполагает, что скорости нереляти­ вистские: v<^ с. Второе — что путь, проходимый электроном за период колебаний поля, и амплитуда колебаний электрона в поле

89

Зависимость функции распределения от пространственных ко­ ординат связана не только с возможной зависимостью от коор­ динат электрических сил, но и с существованием градиентов, скажем градиента плотности электронов. Это приводит в конеч­ ном счете к диффузионному потоку частиц. Нас здесь главным образом будет интересовать распределение электронов не в обыч­ ном пространстве, а по скоростям и энергиям. Диффузионные по­ тери можно учесть стандартными методами и сейчас, при исследо­ вании распределения по скоростям, мы ими заниматься не будем. Положим, следовательно, что функция распределения в той же мере однородна в пространстве, что и поле, и -опустим в (3.5) сла­ гаемое vdf/dr. Раскроем символ градиента в пространстве ско­ ростей, воспользовавшись сферическими координатами:

(см. рис. 3.1).

Принимая во внимание перечисленные упрощения и допущения и имея в виду осевую симметричность распределения скоростей относительно направления поля, запишем исходное кинетическое уравнение для функции f(t, v, й) в виде

12.3. Интеграл столкновений. Займемся теперь правой частью уравнения (3.6). Будем считать газ ионизованным слабо и пренеб­ регать столкновениями электронов с другими электронами и ио­ нами, учитывая только столкновения с нейтральными атомами. В задаче о пробое это вполне оправданно, так как вопрос о том, разовьется ли лавина или затухнет, решается на самой ранней стадии размножения, когда электронов еще мало. Вклады столк­ новений каждого рода в изменение функции распределения просто суммируются. Разделим все столкновения на упругие и неупру­ гие:

К группе неупругих столкновений помимо процессов возбуж­ дения и ионизации атомов отнесем рождение новых электронов при ионизации, возможные процессы исчезновения и т. д.

Неупругие столкновения часто играют большую роль в форми­ ровании энергетического спектра электронов, но случаются они гораздо реже, чем упругие, и потому практически не влияют на взаимодействие электронов с полем и на изменения скорости и энергии электронов под действием поля. Неупругие процессы не влияют, следовательно, на установление асимметричной части функции распределения, которая связана с направленным дей­ ствием поля и частыми упругими столкновениями. Поэтому пока мы не будем раскрывать выражения Q (/) = (df/dt)ueупр и сделаем

90