Файл: Райзер Ю.П. Лазерная искра и распространение разрядов.pdf

упругих и неупругих потерь энергии, причем упругие потери дают­

Рассмотрим второе из уравнений (3.17). Слагаемое, пропор­ циональное / 2, в левой части опускаем. В интеграле Lx слагаемые подынтегральной функции cos й / а и cos й Q при интегрировании

Старший член в этом интеграле, который мы только и оста­ вим, пропорционален / х, так как / 0 (П) = const. Тогда

Li = -g^fi (у) vc(v) ^cos й dQ ^ (cos й' — cos й) q (0 ) dQ'.

£2 £2'

cos й' = cos й cos 0 + sin й sin 0 cos ф',

найдем

^ (cos й' — cos й) q (0 ) dtp’ sin 0d0 = cos й (cos 0 — 1 ).

Заметим, что до сих пор мы еще нигде не оговаривали харак­ тер зависимости поля от времени. Уравнения (3.21), (3.22) опре­ деляют асимметричную функцию распределения электронов (3.19)

95

в любом достаточно слабом однородном поле Е (t) постоянного направления, в частности в случае постоянного поля.

Применим уравнения (3.21), (3.22) к случаю монохромати­ ческого поля. Для наглядности представим поле в действительной форме Е — Ео sin соt. Временная зависимость симметричной ча­ сти распределения / 0 или распределения по энергиям складывает­ ся из двух частей. Это, во-первых, возможная медленная зависи­ мость, вызванная упругими и неупругими потерями энергии при столкновениях или рождением (исчезновением), она определяется слагаемыми / 0 и Q (/0) в (3.21). На это медленное изменение / 0 налагается вызванная переменным полем высокочастотная сос­ тавляющая порядка Efx — Ег. Ясно, что физический интерес представляет энергетический спектр электронов, усредненный по периоду колебаний поля. При интегрировании (3.22) мы в правую часть подставим усредненную за период колебаний функцию <д/0/дг;> (высокочастотная составляющая дала бы в fx (t) член высшего порядка по Е). Интегрируя (3.22), получим

Подставим (3.23) и (3.20) в (3.21) и усредним уравнение по вре­ мени за период колебаний поля, выделяя только «медленную» вре­ менную зависимость/0. При этом <cos wf sin a>t} = 0, a <sin2w£} = = 1/2. Опуская знак усреднения < ) у / 0, получим уравнение для функции /о (t, v)

Переходя от функции / 0 к функции распределения по энер­ гиям с помощью формулы (3.16) (напоминаем, что п (г) de = = 4ju?f0dv), представим (3.24) в виде уравнения для энергетиче­ ского спектра

13.2. Параметр разложения и пределы применимости. Пределы применимости уравнения (3.25) фактически определяются допу­ стимостью пренебрежения членами порядка / 2 и выше в разло­ жении (3.15), т. е. возможностью представить асимметричную функцию распределения в простейшей форме (3.19). Рассмотрим

случай высоких частот, когда co2 ^>VmКак видно из равенства (3.22), по порядку величины

96

где и — еЕ0/ты — амплитуда скорости колебаний электронов в поле. Далее, из третьего уравнения (3.17) следует, что по поряд­ ку величины

Точно так же, рассматривая последующие уравнения, мы убе­ дились бы в том, что каждый следующий член разложения (3.15) отличается от предыдущего множителем порядка u/v. Таким образом, параметром разложения (3.15) является величина eE0/ma>v = u/v — отношение скорости колебаний электронов в по­ ле к характерной скорости хаотического движения. Параметр этот пропорционален полю, и условие справедливости приближе­ ния заключается в том, чтобы параметр этот был малым: и v. В большинстве случаев, представляющих практический интерес, это условие выполняется (см. оценки в разделе 4), так что урав­ нением (3.25) пользоваться можно.

В низкочастотном случае co2<^Vm, который по существу соот­ ветствует пределу постоянного электрического поля, как видно из (3.22) или (3.23),

, еЕ /о мс ,

где ис — eE/mvm = еЕ хт/т — дополнительная скорость, кото­ рую приобретает электрон, ускоряясь в постоянном поле Е, в течение времени хт между двумя столкновениями. Характерным масштабом времени для изменения высших составляющих в раз­ ложении (3.15) является именно время между столкновениями, так что из третьего уравнения (3.17) следует, что / 2/хт ~ (еЕ/m) (fi/v), т. е. в этом случае параметром разложения является вели­ чина ujv. Для справедливости приближения нужно, чтобы элект­

В случае действительно постоянного электрического поля сле­ дует положить dfjdt = 0 и (3.22) дает f1 — (еЕхт/т) (дf 0/dv). Эта формула была выведена еще Лорентцом, который решал ки­ нетическое уравнение для свободных электронов в металле с целью определения проводимости (см. подраздел 13.4), решал его в сущности тем методом, о котором говорилось выше. Уравнения для энергетического спектра (3.24) или (3.25) сохраняются в силе

идля этого случая, если положить в них со = 0 и E\i 2 = Е2.

13.3.Неупругие столкновения и диффузионные потери. Для того чтобы сделать уравнение (3.25) вполне определенным, необ­ ходимо еще* раскрыть выражение^ Q, описывающее неупругие процессы. Уход электронов в 1 сек из энергетического интервала de, связанный с процессами возбуждения и ионизации атомов,

равен п (е) de v* (е) и п (б) dev, (е), где v* (е) и v* (е) — частоты воз­ буждения и ионизации, v* (е) = Navo*, vt (е) = Navat, а о*, аг — сечения соответствующих процессов. В акте возбуждения элект­ рон, обладающий начальной энергией е', теряет энергию /* , рав­ ную потенциалу возбуждения, плюс еще небольшую энергию еа, которая, как и при упругом соударении, идет на сообщение ато­ му такой скорости va, чтобы суммарный импульс электрона и ато­

на, величиной еа практически можно пренебречь. Следовательно, обладая вначале энергией е' в интервале de', электроны после акта возбуждения остаются с энергией е ж е ' — I* в таком же интервале de — de'. Таким образом, сколько электронов уходит

слагаемое, связанное с актами ионизации. В результате акта йот

нии электрона с энергией е' энергия одного из электронов после ионизации будет равна е и попадет в интервал de. Вероятность q

2 перед интегралом появляется из-за того, что любой из двух «рождающихся» электронов попадает в интервал от е до е + de с вероятностью q. Если электроны прилипают к тяжелым частицам с частотой vnj>, <?Пр — — пхпр. Так же можно учесть и рекомби­ нацию; впрочем, в условиях развития лавины рекомбинация

98

обычно несущественна (для этого электрон должен встретиться с ионом, а последних, так же как и электронов, мало).

Пространственную диффузию электронов можно было бы стро­ го учесть, если бы мы сохранили в исходном кинетическом уравне­ нии (3.5) член с пространственным градиентом v df/dv. Это, конеч­ но, усложняет, вернее, загромождает, вычисления (см. [4]), и мы сознательно обходим этот момент, ибо главное внимание должно быть сосредоточено на вопросе о распределении по скоростям. В приближении (3.19) выражение для диффузионного потока элект­ ронов имеет обычную форму. Условие справедливости такого при­ ближения, т. е. условие, обеспечивающее возможность пренебре­ жения членами высших порядков в угловом разложении функции распределения, состоит в малости пространственных градиентов функции. Плотность электронов должна слабо меняться на рас­ стоянии порядка длины пробега электрона, т. е. размеры области, в которой действует поле, должны быть гораздо больше, чем про­ бег электрона. Фактически в расчетах лавины и пробоя диффу­ зионный уход электронов учитывается просто путем добавления к правой части уравнения (3.25) слагаемого

— «частота» диффузии, т. e. величина, обратная времени диффу­ зионного ухода электрона из области действия поля (см. подраз­ дел 6.2). Функция п (е) при этом считается не зависящей от коор­ динат. Пространственное распределение электронов приближенно учитывается путем соответствующего определения характерной диффузионной длины А, которая для каждой геометрии опреде­ ленным образом связана с размерами области. Формально это получается, если сохранить в кинетическом уравнении член с пространственным градиентом, но в дальнейшем разделить пере­ менные, представив функцию распределения в виде произведения функций от пространственных координат и скорости [4].

Итак, в уравнении (3.25)

где соответствующие слагаемые определяются формулами (3.26)— (3.30). Заметим, что в молекулярных газах необходимо учитывать

вQ и столкновения, сопровождающиеся возбуждением колебаний

вмолекулах. Они описываются слагаемыми типа (3.26).

13.4.Проводимость и диэлектрическая постоянная. Одним из

важных результатов, который немедленно следует из приближен­ ного представления функции распределения в виде (3.19) и уста­ новления связи (3.23) f1 с / 0, является уточнение элементарных формул (1.14), (1.21) для проводимости и диэлектрической по­ стоянной ионизованного газа [2]. Подставим (3.19) в общее вы-