Файл: Райзер Ю.П. Лазерная искра и распространение разрядов.pdf

это лишь после того, как перейдем от функции распределения по векторам скоростей к распределению по энергиям электронов.

Рассмотрим слагаемое I (/) — так называемый интеграл столк­ новений. Будем считать атомы до столкновения покоящимися, что вполне оправданно, так как они гораздо тяжелее электронов и температура атомного газа в начале пробоя почти не отличается от комнатной. Тогда из законов сохранения энергии и импульса следует, что скорость электрона v после упругого рассеяния на угол 0 с точностью до величины второго порядка малости по а — т/М равна

v = v' ( 1 — а), а = ~М( 1 — cos в)* (3-8)

где г/ — скорость до столкновения \ Теперь, принимая во внимание, что

величина скорости электрона после столк­ новения однозначно определяется углом рассеяния, составим выражение для ин­ теграла столкновений. Обозначим £2 — вектор направления скорости, гй2 — интер­

вал (телесный угол) направлений. Функ- Рис. 3.2. Угол рассеяния

ция распределения21 является функцией

от величины и направления скорости / (v) = / (гг, £2). Из данного элементарного объема в пространстве скоростей v2dvdQ. около конца вектора v (гг, £2 ) в единицу времени вследствие столкнове­ ний уходит / (гг, £2 ) v2dv di2 v,. (гг) электронов, где vc (v) — частота столкновений. В эту величину вносят свой вклад акты рассеяния на всевозможные углы (рис. 3.2). Пусть q (гг, £2, £2') dQ,' — вероят­ ность того, что при рассеянии электрон со скоростью v (гг, £2 ) приобретает направление £2' в интервале направлений с2£2'. Ве­ роятность того, что электрон приобретет любое направление, рав­

на 1, т. е. § g (у, £2, £2') di2' = 1. Число уходящих электронов можно подробно расписать в виде

лучается (3.8).

2Вообще говоря, / = / ( » , 0-), но для последующих рассуждении направле­ ние скорости является существенным, поэтому мы оставляем более общую

|форму / (гг, й).

91

электронов. Начальные значения скорости v' и интервалы dv при данном угле рассеяния связаны с конечными v, dv уравнением (3 .8 ), в котором 0 — угол между векторами £2 ' и {2 .

Результирующее изменение числа электронов в рассматривае­ мом интервале I If (v, £2)] v2dv dQ равно разности выражений (3.10) и (3.9). Выразим v'4v' в (3.10) через v*dv с помощью урав­ нения (3.8): v,2dv' да v2dv (1 + За) (здесь произведено разложение с учетом того, что а 1). Это соотношение выражает тот факт, что из-за небольшой потери в скорости электроны приходят в данный элемент объема в пространстве скоростей из несколько

большего объема.

Далее, величина, характеризующая вероятность перехода при столкновении из одного направления в другое, q (£2 ' £2 ), зави­ сит не от самих направлений £2 ' и £2 , а лишь от угла 0 между^ними, поэтому в выражении (3.10) величину q (г/, £2', £2) = q (г/, 0) с равным успехом можно интегрировать как по конечным направ­ лениям £2, так и по начальным £2\ Составляя теперь разность (3.10) и (3.9), вынося дифференциал объема v*dv dQ и сокращая

где направления £2 ' и £2 отклонены друг от друга на угол 0 и интегрирование ведется по всем направлениям £2 '.

Имея в виду, что скорость v' отличается от v лишь на очень малую величину av, разложим первое слагаемое под знаком ин­ теграла около значения скорости v и пренебрежем величинами второго порядка малости по а. В результате простого вычисления интеграл столкновений (3.11) представляется в виде суммы двух слагаемых:

Этот член, пропорциональный m/M, как мы увидим ниже, характеризует роль упругих потерь энергии электронов.

92

13. Классическое уравнение для энергетического спектра электронов

13.1 Вывод уравнения из кинетического. Кинетическое урав­ нение (3.6) с правой частью, определяемой формулами (3.7), (3.12), (3.13), (3.14), в математическом отношении очень сложно, так как оно является интегродифференциальным по углу "O'. Стандартный метод решения кинетических уравнений состоит в том, чтобы превратить интегродифференциальное уравнение в дифференциальные путем приближенного описания угловой за­ висимости распределения по скоростям. Представим решение урав­ нения в виде разложения по полиномам Лежандра Рк (cos -ft):

1 , cos ft,...,

/ ( г ,V, ft) = l/o (f, у) -f cos ft/i (f, 17) + ~ (3 cos2 ft — 1) f 2{t, v)-\- ...

(3.15)

ипоставим задачу отыскания функций / 0, Д, / 2... Главный член разложения / 0 определяет функцию распределения электронов по энергиям, так как в силу ортогональности полиномов Лежандра

исогласно формулам (3.2), (3.3)

1

§ / dQ, =з 2тс § P0fd (cos ft) — 4зт/ 0 — ф(г?)/у2 = m*!tn (&)/ Y 2е. (3.16)

—1

Для многих задач знания угловой зависимости функции рас­ пределения вообще не требуется и единственной целью решения кинетического уравнения является отыскание одной лишь ее изотропной составляющей /„.

Представление функции распределения в виде ряда (3.15) облегчает задачу решения кинетического уравнения лишь в том случае, если в разложении можно оставить небольшое число чле­ нов, скажем два, а остальные отбросить. Поскольку причиной, вызывающей угловую зависимость функции Д является поле, то, очевидно, такой способ решения имеет смысл в случае небольших полей. В отсутствие поля решение уравнения (3.6) от направления скорости не зависит. Следовательно, разложение (3.15) можно рассматривать как разложение по малому параметру, который пропорционален величине поля: Д — Е, Д ~ Е2 и т. д. Что на са­ мом деле представляет собой этот малый параметр, который, ко­ нечно, является безразмерным, станет ясно из дальнейшего.

Для того чтобы вывести уравнения, которым подчиняются новые функции /„, Д, Д ,..., будем умножать кинетическое урав­ нение (3.6) на Р т и интегрировать по углам с учетом ортогональ­ ности и других свойств полиномов Лежандра [2]. Получающиеся в результате вычислений первые три уравнения имеют вид

93

dh_eE_ dt m

CTdQ. (3.18)

Выражения в квадратных скобках слева легко получить путем непосредственного вычисления, так как первые несколько поли­ номов выглядят очень просто. Точки в скобках означают, что опу­ щены малые по отношению к оставленным члены порядка Е2,

Е4 и т. д.

Система (3.17) выписана с гораздо большей степенью полноты, чем это фактически потребуется для приближенного решения. Это сделано для того, чтобы продемонстрировать, как «зацепляют­ ся» уравнения и почему так получается, что в разложении (3.15) fk ~ Е&. Ограничимся только двумя первыми членами разложе­ ния (3.15), представив функцию распределения в простейшей форме

/ = /o + /iCostf = /0 + (-^-g(y), g(v) = -f ± p . (3.19)

Соответственно ограничимся двумя первыми уравнениями (3.17), опустив в них члены порядка / 2 и выше. Тогда система из этих двух уравнений относительно неизвестных функций / 0 и / х

становится замкнутой.

Рассмотрим первое из уравнений (3.17). Интеграл по углам от слагаемого h в (df/dt)CT (формулы (3.7), (3.12), (3.13)) автомати­ чески обращается в нуль при любой функции / (й) (действитель­ но, число электронов с любым направлением скорости от упругих столкновений не меняется). В слагаемом / 5 , которое и само по себе мало, так как оно пропорционально т/М, оставим только старший член / 0. Тогда эта величина становится не зависящей от направ­ ления скорости и равной

В таком виде согласно (3.18) она и включается в качестве сла­ гаемого в L0. В слагаемом Q (/) (3.7) мы также оставим только старший член функции распределения / 0, поскольку величина Q (/) мала из-за редкости неупругих столкновений. Таким обра­ зом, первое из уравнений (3.17) превращается в уравнение

Как следует из этого уравнения, в отсутствие поля распределение электронов по энергиям изменяется с течением времени из-за

94