Файл: Райзер Ю.П. Лазерная искра и распространение разрядов.pdf

4. Нарастание энергии электронов в поле электромагнитной волны но классической теории

4.1 Средняя скорость нарастания энергии. Скорость размно­ жения электронов в лавине определяется в первую очередь ско­ ростью нарастания энергии электрона в поле электромагнитной волны или временем, в течение которого электрон набирает энер­ гию, достаточную для ионизации атомов. Предположим, что час­ тота поля ш не очень велика, так что величина кванта Тпо мала (по сравнению с чем — сейчас станет ясно). Тогда действие поля на электрон можно рассматривать на основе чисто классических представлений. Отметим сразу, что строгое условие классичности хорошо выполняется для СВЧ-диапазона, но не выполняется для оптического. Энергии электронов в лавине имеют порядок не­ скольких электрон-вольт, скорости их нерелятивистские, так что влияние магнитного поля волны ничтожно. Кроме того, смеще­ ние электрона под действием поля обычно гораздо меньше, чем длина волны X, так что можно считать электрон движущимся в однородном переменном электрическом поле амплитуды Е0.

Свободный изолированный электрон осциллирует в направ­ лении электрического вектора с частотой поля. Как следует из уравнения движения тх = — еЕ0 sin Ш, амплитуда его колебаний

хаотическом движении, так что колебания под действием поля накладываются на поступательное движение с какой-то скоростью. Колебательные скорости и заметно меньше поступательных V, которые при энергиях в несколько электрон-вольт порядка

108сж/сек.

Итак, изолированный электрон, не испытывающий столкно­ вений с атомами, энергии от переменного поля не отбирает, он толь­ ко однажды приобретает энергию колебаний, в момент включения поля, и после этого его средняя кинетическая энергия остается не­ изменной. Энергия электронов в поле нарастает только в резуль­ тате столкновений. Говоря о столкновениях, мы всегда будем иметь в виду столкновения с нейтральными атомами, предполагая, что степень ионизации мала и столкновениями с ионами можно пренебречь (впрочем, это момент не принципиальный).

При упругом рассеянии атомом электрон резко изменяет на­ правление своего движения, которое складывалось из посту­ пательного и колебаний под определенным углом к поступатель­ ному. Свое новое движение электрон начинает практически с той же кинетической энергией, которой он обладал в момент перед самым рассеянием, так как в силу большой разницы масс упругая

19

передача энергии атому очень мала. Но новое поступательное движение имеет теперь совсем другое направление по отноше­ нию к полю, и в среднем поле как бы заново раскачивает электрон под новым углом к поступательной скорости. Так к энергии элект­ рона в среднем добавляется новая порция, по порядку величины равная энергии осцилляций 8К0Л. Если она составляет много кван­

жено существенное предположение о том, что столкновения проис­ ходят очень редко и в период между столкновениями электрон успевает совершить много осцилляций. Только в этом случае имеет смысл говорить, что в интервале между столкновениями электрон полностью набирает колебательную энергию екол- В про­ тивоположном случае очень частых столкновений колебательная составляющая скорости не успевает сильно измениться в период между столкновениями, и при рассеянии электрон в среднем при­ обретает энергию, меньшую, чем 8К0Л.

Для того чтобы вычислить средний прирост энергии электрона

вединицу времени в общем случае, воспользуемся, как это обычно делается (см., например [2,11]), следующим упрощающим приемом. В своем реальном движении электрон испытывает воздействие со стороны атомов лишь в короткие мгновения актов столкновений;

впериод между столкновениями на него действует только сила элек­ трического поля. В момент рассеяния импульс электрона резко изменяется на величину mAv = т (v' — v), где v и v' — векторы скорости до и после столкновения, причем с большой точностью |v' |= |v |= v. Распределим это изменение импульса, приходя­ щееся на один интервал времени между столкновениями, равно­ мерно по всему интервалу и будем считать, что вместо резких пе­ риодических ударов на электрон действует непрерывная во време­ ни сила трения, которая заквивалентным образом рассеивает на­ чальный импульс электрона.

Эта сила, очевидно, равна среднему изменению импульса в единицу времени <mAv/t0>, где тс — среднее время между столкно­ вениями, а< ) — символ усреднения.

Величина, обратная времени — частота столкновений — равна

vc = Тс1 = Navoc, где N а — число атомов в 1 см3, v — скорость электрона, стс — сечение упругого рассеяния. Величина Av ус­ редняется по многим актам столкновений, т. е. по углу рассеяния 0. Разложим вектор Av на составляющие, параллельную и пер­ пендикулярную начальной скорости v: Av = Avц-f- Av_j_. Вслед­

ствие симметрии рассеяния <Avj_> = 0, а <Av ц> = (v ’u) — v = = v cos 0 — v, где cos 0 — средний косинус угла рассеяния.

где vm = vc (1 — cos 0) — частота столкновений, характеризующая

20

изменение импульса; она определяется транспортным сечением

рассеяния от = ос (1 — cos 0). Решение уравнения (1.5)

конечно, не описывает реальной траектории электрона, но в оп­ ределенном отношении оно эквивалентно реальному движению. Работа, которую поле совершает над электроном и которая затра­ чивается на преодоление силы трения, как раз соответствует фак­ тическому приобретению электронами энергии при столкновениях. Работа поля в единицу времени равна — e<Ev>, где скобка в дан­ ном случае означает усреднение по времени. При комплексной форме записи гармонических переменных такую величину можно вычислить, взяв половину действительной части от произведения одного сомножителя на комплексно-сопряженное другого 1 [12]. Подставляя (1.6) в выражение для работы, найдем, что работа поля над электроном в единицу времени, т. е. скорость нарастания энергии электрона г под действием поля:

Ае (1 — cos 0).

В предельном случае, когда столкновения редки, vm2<^co2, мы получаем ясный в качественном отношении результат: Ае = 2екол; в среднем при столкновении электрон приобретает энергию порядка энергии колебаний, как и было отмечено в самом начале. Отрицательная роль слишком частых столкновений, когда столкновения препятствуют полной раскачке «новых» колебаний после каждого акта рассеяния, описывается характерным множи­ телем со 2/(со2 + vm2). В рамках данного приближенного описания это воздействие проявляется в уменьшении амплитуды эквива­ лентных колебаний, что видно из формулы(1.7).

Чтобы определить полную скорость нарастания энергии элект­ рона, учтем еще потери энергии, которыми сопровождаются упру­ гие столкновения. Положим, что атом до столкновения покоится,

21

это обычно бывает оправданным, так как в условиях развития лавины температура атомов, как правило, гораздо меньше энер­ гий электронов. В отдельном акте соударения атом приобретает импульс р = — тАх. Поскольку вначале атом покоился, он по­ лучает при этом кинетическую энергию р2/2М, где М — его масса. Следовательно, средняя потеря энергии электроном при одном

столкновении равна т2 ((Av)2)/2M. Но ((Av)2) = 2v2 (1 — cos 0),

откуда средняя потеря равна (2т/М)(1 — cos 0)е, е = mv2/2. Таким образом, полная скорость нарастания энергии электро­

на под действием поля и при учете одних только упругих столкно­ вений

Выражение в скобках представляет собой результирующее при­ обретение энергии из расчета на одно эффективное столкновение: As Asynp.

Приведем полезную для расчетов численную формулу для As. При этом поле часто бывает удобным выразить через плотность

со [рад/сек], хт[сек х].

4.2. Истинные изменения энергии в отдельных столкновениях и непосредственный вывод среднего прироста энергии. Использо­ ванный выше прием усреднения исходного уравнения движения электрона по самой своей сути не позволяет сказать, как же на самом деле изменяется энергия электрона в отдельном столкнове­ нии, он дает лишь среднюю величину изменения. Между тем было бы заблуждением думать, что электрон получает от поля энергию в каждом столкновении или что индивидуальные измене­ ния энергии характеризуются величиной Ае ~ еКОп- В действи­ тельности, в каждом отдельном столкновении электрон может как приобретать энергию’от поля, так и отдавать ее полю, причем пор­ циями, которые значительно превышают средний прирост As. Среднее значение As — это в сущности малая разность двух больших величин, которая, однако, всегда положительна.

Приобретет электрон энергию или отдаст — зависит от соотно­ шения между направлениями движения и поля во время столкно­ вения и от фазы поля, т. е. фазы колебания в это время.

Этот факт имеет принципиальное значение, ибо здесь содер­ жится «классический» аналог таких, казалось бы, чисто кванто­ вых эффектов, как истинное поглощение и вынужденное испуска­ ние фотонов (см. об этом в следующем разделе). Чтобы лучше его уяснить, рассмотрим простейший частный случай. Пусть в период

22