Файл: Райзер Ю.П. Лазерная искра и распространение разрядов.pdf

между столкновениями электрон движется строго в направлении электрического поля и время между столкновениями гораздо боль­ ше периода колебаний. Скорость такого движения можно пред­

Средняя по времени энергия электрона в период перед столк­ новением {mv12!2) = mv2!2 -f mu2!4 = епост + екол. Если элект­ рон сталкивается с атомом в момент, когда колебательная состав­ ляющая его скорости направлена в сторону среднего поступатель­ ного движения, и имеет амплитудное значение, электрон начнет новое поступательное движение после рассеяния со скоростью

V + и .

Поскольку новое движение после рассеяния резко наклонено по отношению к полю, новые колебания будут раскачиваться под большим углом к начальной скорости и средняя скорость нового движения по существу останется близкой к начальной v + и. Новая кинетическая энергия т {v + и)2!2 ж mv2!2 + mvu будет примерно на величину mvu больше, чем старая, до столкновения, причем эта величина в vlu 1 раз превышает екол.

Если перед столкновением скорости направлены в разные сто­ роны и v = v — и, электрон в результате столкновения потеряет энергию приблизительно mvu.

Легко видеть, что в среднем электрон все же приобретает энергию. Поскольку столкновения происходят случайно, два рассмотренных варианта столкновений равновероятны и средний для них прирост энергии будет равным

Это среднее результирующее приобретение энергии порядка екол и примерно в vlu раз меньше, чем амплитудные значения приобре­ тений и потерь.

Рассмотрим теперь общий случай «элементарного» процесса, происходящего в период от одного столкновения к другому, и не­ посредственным образом вычислим Ае, не накладывая ограниче­ ний на направление поступательного движения электрона, момент столкновения (фазу колебаний) и соотношение между частотами колебаний и столкновений. Примем во внимание, что длитель­ ность самого акта столкновения очень мала по сравнению с перио­ дом колебаний \ так что точно с той энергией, которой электрон обладал непосредственно перед моментом столкновения, он и начинает движение непосредственно после рассеяния (без учета малой упругой потери).

1В самом деле взаимодействие с атомом длится — ao/v ~ 10-16 сек, поскольку размеры атома ап — 10~8 см, a v ~ 108 см/сек. Периоды колебаний даже на оптических частотах ~ 10-14 сек.

23

В течение времени между столкновениями вектор скорости электрона v удовлетворяет уравнению движения

где — момент последнего столкновения, a v0 — скорость, с кото­ рой электрон начал движение после этого столкновения (мы сейчас для большей наглядности отказываемся от комплексного описа­

ния величин).

Пусть следующее столкновение происходит в момент ty. В пе­ риод времени от одного столкновения к другому энергия электро­ на под действием поля изменяется на величину

Теперь надо усреднить эту величину по всем возможным вари­ антам движений: по моментам столкновений t0 и ty и по направле­ нию начальной скорости v0. Тогда мы получим среднее изменение энергии Ае, рассчитанное на одно столкновение, т. е. искомый результат. Здесь имеется одна тонкость. Ясно, что моменты ty и t0 не независимы и существует определенная вероятность того, что следующее столкновение после предыдущего произойдет через время ty — t0. Если vc — средняя частота столкновений, то эта ве­ роятность равна

(сами моменты t0, разумеется, равновероятны).

Возникает вопрос; в любом ли случае «среднее» столкновение произведет одинаковый эффект в отношении последующего движе­ ния? Если, например, рассеяние предельно неизотропно и почти в каждом акте электрон рассеивается точно вперед, ясно, что эффект будет таков, как будто бы столкновения и вовсе не было, и указанное усреднение (1.12) не даст истинного среднего приобре­ тения энергии, которое на самом деле будет равно нулю.

Следовательно, в принципе необходимо было бы еще рассмот­ реть, как пойдет движение после столкновения в момент ty. Этого можно избежать в единственном случае, когда рассеяние изотроп­

но, cos 0 = 0, и мы можем быть уверенными в том, что достаточно ввести понятие «столкновения», не снабжая его'никакой дополни­ тельной информацией, говорящей о том, «какое» это столкновение.

24

Средний момент времени между двумя столкновениями (Zx + £„)/2 и фаза поля в этот момент, разумеется, так же произвольны, как и Z0, поэтому при усреднении синуса полусуммы второе слагаемое в (1.12) обратится в 0; средний квадрат этого синуса в первом сла­ гаемом даст 1/2. Далее,

Таким образом, среднее приращение энергии электрона при

т. е. мы пришли к уже знакомой нам формуле (1.8) (в рассматрива­

емом случае cos 0 = 0 и vm = vc).

Формально можно было бы таким же путем получить результат (1.8) и в общем случае неизотропного рассеяния, если называть «столкновениями» акты, происходящие с частотой vm, а не vc, т. е. заменить v c n a v m B формуле для вероятности (1.13). Однако такой способ не представляется физически оправданным. По-настояще­ му следовало бы, наверное, оставить вероятность столкновения в виде (1.13), но как-то учесть, что истинная передача энергии элек­ трону не просто определяется формулой (1.12), а зависит от-угла рассеяния, и затем еще усреднять выражение, уточненное по сравнению с (1.12) по этим углам.

Подчеркнем, что формулы (1.7), (1.8) правильны, несмотря на приближенность метода, которым они были выведены. Это под­ тверждается более строгими вычислениями на основе кинетичес­ кого уравнения для электронов [И] (см. гл. 3, а также подраз­

дел 4.5).

4.3. Связь с проводимостью и поглощением электромагнитной волны. Работа, производимая полем над всеми электронами, содер­ жащимися в единице объема (число их — Ne), в единицу времени представляет собой не что иное, как скорость выделения джоулева тепла токов. По закону Ома плотность тока j = оЕ, где о — проводимость. Джоулево тепло равно <jE> = а<Е2> = а Е20/2. Допустим, что частота столкновений vm не зависит от скорости (энергии) электрона. Тогда работа поля над электронами в 1 сек

Если vm зависит от энергии электрона, столь простой формулы уже не получается. В этом случае приходится исходить из кине­ тического уравнения [И]. Однако практически чаще всего пользу­

25

ются формулой (1.14) элементарной теории, подразумевая под vm некоторую среднюю по спектру электронов «эффективную» частоту столкновений. В пределе низких частот co2< ^ v m2 из (1.14) получается обычная формула для проводимости в постоян­ ном поле: а = e2Ne/mvm Численно:

а = 2,53.10Wevm/((o2 + ч*т)сек~'= 2,82-10-W evm/(co2+ у^ ом^ смгК

(1.15)

С другой стороны, джоулево тепло определяет диссипацию энергии поля, т. е. поглощение энергии электромагнитной волны. Плотность потока энергии в монохроматической волне, распро­ страняющейся в однородном веществе [12]:

S = ^L<[EH]>, S = -^nE$ = nc<Wy/4n, (1.16)

где п — показатель преломления.

Поток в направлении распространения х затухает по закону

где рш— коэффициент поглощения энергии волны. Величина Ha,S равна количеству энергии, которое выделяется в 1 см3вещества в 1 сек, т. е. джоулеву теплу. В условиях, когда частота поля за­ метно превышает плазменную частоту (см. об этом чуть ниже), показатель преломления п близок к 1. Для СВЧ это условие вы­ полняется при слабой ионизации, для оптических частот — почти всегда, во всяком случае, при исследовании пробоя. Это условие можно считать выполненным. Сопоставляя при этом ры£ с выра­ жением для джоулева тепла Ne(dzldt)E по формуле (1.7), найдем коэффициент поглощения электромагнитной волны в слабо иони­ зованном газе.

Подчеркнем, что величина ршпредставляет собой результирую­ щий коэффициент поглощения электромагнитной волны, усред­ ненный по многим актам столкновений электронов. В индивиду­ альных процессах столкновений поле может как ослабляться, так и усиливаться в зависимости от того, приобретает или теряет энергию электрон.

4.4 Токи проводимости и поляризации. Диэлектрическая по­ стоянная плазмы. Проводимость ст легко найти и прямо из выра­ жения для скорости электронов (1.6), рассматривая не джоулево тепло, а ток [11]. При этом одновременно определяется и диэлект­ рическая постоянная плазмы ed. Составим выражение для плотно-

26

слагаемое в пределе постоянного поля со ■— 0 исчезает; эта часть тока сдвинута по фазе относительно поля на я/2 и соответствует

—плазменная частота.

Вотличие от тока проводимости, который имеется только в условиях, когда электроны сталкиваются с атомами, ток поляри­ зации существует и в отсутствие столкновений, и, напротив, в этом случае даже больше.

Ток поляризации связан с периодическими смещениями поло­ жения электронов под действием осциллирующего поля. Посколь­ ку скорость свободных колебаний сдвинута по фазе на я/2 по отно­ шению к фазе поля, скорость часть времени направлена по полю, часть против поля. Поэтому в среднем по времени поле не со­ вершает работы над колеблющимся без помех электроном, о чем уже говорилось выше. Электрон только однажды приобретает энергию колебаний. Джоулева тепла ток поляризации, следовательно, не дает и к диссипации поля не приводит. За это ответст­ вен только ток проводимости. Как и формула для а, элементар-

ная формула (1.21) для ed строго справедлива только при vm = = const.

Показатель преломления п и коэффициент поглощения электро­

условии со2^>сор диэлектрическая постоянная, как видно из

27