Файл: Райзер Ю.П. Лазерная искра и распространение разрядов.pdf

кновений не превышает сильно частоту поля) и электромагнитная волна не проникает в плазму. Ясно, что, когда мы рассматриваем явление пробоя, т. е. процесс самого развития электронной лавины под действием поля волны, такая ситуация интереса не представ­ ляет (для СВЧ NKр ~ Ю10 -г- Ю131/см8, для оптических частот—

порядка 1019 — Ю21 Мсмъ).

4.5. Тормозное излучение при столкновениях электрона с ато­ мами и закон Кирхгофа. Вычислим в рамках классической теории интенсивность тормозного излучения, которым сопровождается рассеяние электрона атомами. Этот процесс является обратным по отношению к процессу поглощения электромагнитной волны,

которым мы занимались выше.

Рассмотрение тормозного излучения преследует две цели: во-первых, это позволит лучше понять эффект корреляции между отдельными столкновениями, который является причиной появ­ ления характерного множителя со2/(со2 +Vm2), а во-вторых, на этой основе в следующем разделе будет приближенно выведен квантовый коэффициент поглощения света.

По классической электродинамике ускоренно движущийся электрон излучает в единицу времени энергию 2e2w2/3c3 [13], где w — вектор ускорения. За все время какого-то процесса он

излучает энергию

оо

jjw2dt эрг.

—оо

Если мы интересуемся спектральным составом излучения, нужно подставить сюда разложение функции w (t) в интеграл Фурье и произвести интегрирование по времени. В результате получим ё в виде интеграла по частотам. Количество энергии, которое излучает электрон в интервале частот от со до со -f d<n в результате любого движения, оказывается равным

оо

вершается только одно столкновение. Очевидно, такое приближе­ ние допустимо, если интересоваться излучением частот со, которые гораздо больше, чем частота столкновений электрона с атомами. Имея в виду, что сам акт рассеяния происходит практически мгно­ венно по сравнению с периодом излучаемых колебаний, предста­ вим w (t) в виде дельта-функции по времени w (t) — Av8 (t), где Av — изменение вектора скорости электрона при столкновении. При этом ww= Av/2jt, так что

28

Чтобы найти количество энергии dQa, которое электрон, со­ вершая такие не связанные между собой акты излучения, испуска­ ет в спектральном интервале dco за секунду, следует усреднить (1.25) по углам рассеяния при столкновениях и умножить на число столкновений в секунду v c. Если быть последовательным, оставаясь на позициях классической теории излучения, которая на самом деле таит в себе глубокое противоречие, следует при усред­ нении (Av)2 считать абсолютную величину скорости неизменной.

Это дает <(Av)2> = 2г2 (1 — cos 0) и

ОС

Рассмотрим теперь излучение частот со, которые сравнимы

счастотой столкновений или меньше ее [15].

Вэтом случае мы уже не имеем права просто суммировать энергии, излученные в отдельных столкновениях, как при выводе (1.26) . Разности фаз волн, излученных в последовательных стол­ кновениях, теперь не будут большими, волны будут интерфериро­ вать, и будет существовать корреляция между отдельными актами. Это значит, что «процессом» следует называть совокупность боль­

шого числа N последовательных столкновений.

индекс к относится к к-му столкновению. Его компонента Фурье

N

wM= 2 (A vj2n)exp(—mtk).

k = l

Запишем квадрат модуля этой величины, выделим из получаю­ щейся двойной суммы члены с одинаковыми индексами и ском­ бинируем члены с одинаковыми парами индексов. Получим

1 Несовершенство классической теории проявляется в том, что интеграл от

dQai по всему спектру от 0 до оо расходится. Это противоречие устраняется только в квантовой теории, согласно которой электрон не может излучить квант %(о, превышающий его начальную энергию е = mv2/2. Однако, если интересоваться излучением квантов %со, малых по сравнению с е, изменени­ ем скорости действительно можно пренебречь.

Заметим, что фактическая средняя тормозная потеря энергии при одном

“ max

столкновении, которую приближенно можно представить как ^ d$a,

о

где сошах = mv2/2%, для нерелятивистских скоростей оказывается чрезвычай­ но малой не только по сравнению с начальной энергией электрона е, но даже

.ЗД

Это выражение необходимо усреднить но всем возможным вариантам последовательных столкновений. Поскольку каждое /-е столкновение в среднем ничем не выделяется среди других, сумма

Здесь множители, содержащие Av, усредняются по углам рас­ сеяния, a cos ati — по моменту i-го столкновения после началь­ ного. При этом следует учесть, что вероятность промежутка вре­ мени t{ — tt_х между двумя последовательными столкновениями определяется формулой (1.13). Если корреляции между столкно­

к формуле (1.26).

Мы не будем проводить процедуру усреднения, которая до­ вольно сложна, но доводится до конца абсолютно точно (см. [15]). В результате в формуле (1.26) появляется уже знакомый нам мно­

ниях, частично гасят друг друга при интерференции, что сопро­

всегда оказываются направленными в противоположные стороны. Итак, мы определили путем совершенно независимых вычис­ лений лучеиспускательную способность электрона, связанную с тормозным излучением при столкновениях с атомами, dQu, по фор­ муле (1.28) и коэффициент поглощения для обратного процесса (формула (1.18)). Первая величина в рамках классической теории была вычислена точно, вторая содержала некий элемент прибли­ женности, ибо в основу вывода было положено не точное, а ус­ редненное уравнение движения электрона в поле (1.5). Проверим, удовлетворяют ли излучательная и поглощательная способности закону Кирхгофа, и если удовлетворяют, то при каком условии. Очевидно, это укажет на степень приближенности формулы

(1.18) для цш.

По закону Кирхгофа в условиях полного термодинамического равновесия испускание лучистой энергии в точности уравновеши­ вается поглощением, и этим равенством связываются между собою

30

в 1 см , в интервал частот da и интервал телесного угла dQ около

какого-то направления О, j^dadQ, (/„ — это излучательная спо­ собность газа).

Для тормозного излучения эта величина равна Ne (dQw)dQ/4.n, где а(Ло усредняется по спектру скоростей электронов. В процессе усреднения вклад электронов с различными скоростями просто суммируется. Далее, пусть (Q) dco^£2 — количество лучистой энергии обеих поляризаций частоты со в интервалах частот da и телесного угла dQ около направления £2, которое проходит в 1 сек через площадку в 1 см2, нормальную к направлению распростра­ нения Q; / шназывается интенсивностью излучения. Поглощается из интервала dadQ в 1 см3 в 1 сек энергия Iwda di2цш, где — не­ который средний по спектру электронов коэффициент поглощения. В отличие от испускания о способе усреднения заранее ничего определенного сказать нельзя. В подразделе 4.2 мы видели, что поглощение волны — это средний результат некоего процесса, при котором энергия электрона все время меняется, и будет ли просто суммироваться вклад в поглощение электронов с каждой данной энергией, заранее сказать трудно. Как станет ясным из дальнейшего, простое суммирование осуществляется только при

ставляя равенство излучения и поглощения и подставляя dQw, по формуле (1.28) найдем коэффициент поглощения

Из этой формулы видно, что только при условии независимости частоты столкновений vm от скорости электрона мы приходим

ранее Ф°РмУле (1Л8) ДЛЯ Що (поскольку (mv2y =

-- const. Этот вывод следует и из более строгого вычисления ко­

эффициента поглощения, основанного на применении кинетическо­ го уравнения для электронов [11, 16] (см. также гл. 3).

31