Файл: Райзер Ю.П. Лазерная искра и распространение разрядов.pdf

v — плотность и осевая скорость газа в текущей точке х\ р0 — плотность холодного газа Г Уравнение теплопроводности, кото­ рым описывается поле температур, имеет вид

два члена справа связаны с осевым и радиальным потоками тепла;

ляций поля. (Говоря о свете, естественнее выражать энерговы­ деление через поглощение потока, что мы потом и сделаем, но выписанная форма является более общей и справедлива для по­ лей любых частот.) Ф — потери энергии на тепловое излучение, точнее, разность между лучеиспусканием плазмы и поглощением этого излучения в 1 см2в 1 сек (дивергенция потока теплового излучения).

Уравнение (6.24) все равно еще содержит частные производ­ ные, и потому сделаем дальнейшее упрощение, усреднив его по сечению канала. Радиальная часть дивергенции потока тепла дает при этом среднюю объемную потерю энергии, связанную с вытеканием тепла через боковую поверхность канала: (2Ш) (ХдТ! )дг)г=ц. Эту величину можно представить в виде

где 0 — потенциал потока тепла, соответствующий средней тем­ пературе в данном сечении канала, А — численный коэффициент, который определяется радиальным профилем температуры и кото­ рый будем считать не зависящим от х.

Остальные члены в уравнении (6.24) можно при усреднении оставить без изменения, подразумевая теперь под Т среднюю по сечению температуру.

Если считать, например, радиальный профиль Т (г) или 0 (г) таким же, как в цилиндре с сильно охлаждаемыми стенками, без продольных градиентов и источниками тепла, спадающими по

0,43 от значения на оси и А = р2 = 5,8. В наших условиях на границе канала температура достаточно высока (см. рис. 6.15), радиальные градиенты меньше, и для численных расчетов зна­ чение А можно принять раза в 2—3 меньшим, чем указанное.

1Последнее равенство поясняет высказанное в подразделе 23.1 утверждение

отом, скорость расширения плазмы, т. е. конечная скорость нагретого

газа относительно холодного, vK ~ иро/рк-

189

В результате сделанных упрощений уравнение баланса энер­

Фигурирующее здесь электрическое поле описывается урав­ нениями Максвелла, которые вместе с уравнениями (6.25) обра­ зуют единую систему, ибо в одно из уравнений Максвелла входит зависящая от температуры проводимость (и диэлектрическая пос­ тоянная) среды. Как хороню известно, скорость диссипации энер­ гии поля выражается через дивергенцию плотности потока электромагнитной энергии. В стационарном случае

(вектор S совпадает с положительным направлением оси х). Начиная с этого момента следует учесть конкретные особен­

ности полей различных частотных диапазонов, ибо оперирование общими уравнениями Максвелла в ряде случаев привело бы к неоправданным трудностям. Проще всего обстоит дело в случае постоянного электрического поля. При рассмотрении высокочас­ тотного диапазона обычно можно пренебречь токами смещения. В случае же оптических частот и не чрезмерно высоких давлений, который будет рассматриваться в этой главе, отражение света от

где коэффициент поглощения ро, выражается через высокочастот­ ную проводимость формулой (1.18) и также является функцией температуры. Тепловыделение при этом F+ = iSp-o,. Наибольшие трудности представляет промежуточный СВЧ-диапазон, когда, строго говоря, необходимо пользоваться волновым уравнением для поля. В разделе 31 при рассмотрении этого промежуточного случая будет сказано и об условиях применимости уравнения

(6.28).

Перейдем к потерям на излучение. Последовательный учет лучистого теплообмена представляет задачу исключительной слож­ ности, связанную с включением в систему спектрального уравне­ ния переноса излучения (см., например, [5]). Здесь приходится идти на серьезные упрощения, характер которых зависит от кон­ кретных условий. При не слишком высоких давлениях, в частности при давлениях; порядка атмосферного, которые представляют

190

наибольший интерес, и реальных размерах R (миллиметры, сан­ тиметры) плазма достаточно прозрачна для своего теплового из­ лучения и величина Ф определяется в основном ее излучательной способностью. 13 некоторых частях спектра, в частности в спект­ ральных линиях, существенна реабсорбция, но так или иначе для плазмы удается приближенно ввести потери на излучение как функцию ее температуры Ф (Г).

В холодной части волны перед фронтом нагрева далекая уль­ трафиолетовая часть излучения плазмы полностью поглощается, участвуя в нагревании газа. Здесь величина Ф отрицательна и с локальной температурой никак не связана. Возможен даже такой чисто радиационный механизм нагревания холодного газа и прод­ вижения волны разряда, который действует так же, как и тепло­ проводность: перекачивает энергию из нагретой части волны в холодную и тем самым обеспечивает необходимую для диссипа­ ции поля ионизацию. Радиационный механизм распространения будет рассмотрен в разделе 26 применительно к условиям, кото­ рые реализуются при гигантских лазерных импульсах. Оказыва­ ется, эффективность его при этом сравнима с эффективностью детонационного механизма. Лучистый теплообмен, конечно, дей­ ствует и при не очень высоких температурах, отвечающих дозву­ ковым режимам медленного горения, но здесь роль лучистого нагревания, по предварительным оценкам, не превышает роли теплопроводности, и мы будем рассматривать только теплопроводностный механизм распространения.

При очень высоких давлениях, когда плазма сильно поглощает тепловое излучение, на первый план может выступить другая предельная форма лучистого теплообмена —■лучистая теплопро­ водность. При этом вместо включения в уравнение баланса энер­ гии типа (6.25) величины Ф в виде источников следует просто соответствующим образом определить коэффициент теплопровод­ ности X (Т) (см. [5]). Надо сказать, что вопрос о лучистом тепло­ обмене как возможном механизме медленного распространения волн разрядов еще не был рассмотрен должным образом. Все же по расчетам в режимах с не очень высокими температурами и дав­ лениями и при тех радиусах R, которые отвечают представляющим интерес условиям, потери на излучение чаще всего либо меньше теплопроводностных, либо сравнимы с последними, так что не­ точности в задании потерь на излучение не могут кардинальным образом сказаться на результатах расчетов.

Итак, резюмируя все сказанное выше, будем описывать теплопроводностную волну разряда нелинейной системой трех обык­ новенных дифференциальных уравнений первого порядка (6.25),

191

выражается через Т и S при помощи известных материальных функций ‘К(Т), Ф (Т) (функции цш(Т) и Ф (Г) исключи­ тельно быстро стремятся к пулю при понижении температуры в области малых ионизаций). Систолы содержит неизвестный пара­ метр — скорость распространения волны и.

Поскольку координата х входит в уравнения только под зна­ ком дифференциала, порядок системы (6.25), (6.28) можно по­ низить на единицу, поделив уравнения друг на друга. Система сведется к двум дифференциальным уравнениям, например

Систему уравнений необходимо снабдить соответствующими граничными условиями. Условия эти вытекают из физической постановки задачи. Перед волной разряда невозмущенный газ холодный; при отсутствии отражения света от плазмы световой поток S0 здесь определяется только мощностью генератора Р и радиусом луча: Р — S0nR2. Таким образом,

[Из уравнения баланса энергии (6.25) видно, что если темпе­ ратура обращается в нуль только на бесконечности, то вместе с ней автоматически стремится к нулю и поток тепла, так что для системы (6.30), (6.31) условие перед волной гласит:

Поскольку система (6.30), (6.31) не содержит никакой инфор­ мации о пространственных условиях задачи, для нее факт об­ ращения в нуль потока тепла J при Т = 0 не является тривиаль­ ным. Уравнения эти вполне допускают существование интеграль­ ных кривых, для которых при Т = O n S = S0 J=^§.

Граничных условий (6.33), (6.34) достаточно для того, чтобы при заданном значении параметра и начать интегрирование урав­ нений от точки перед волной. Но результат такого интегрирова­ ния при произвольном значении и вовсе не обязательно будет со­ ответствовать условиям задачи. Условия же эти таковы, что газ сначала нагревается в волне разряда, а потом, когда поток элект­ ромагнитной энергии израсходуется настолько, что тепловыделение достаточно упадет, охлаждается до конца из-за потерь энергии, как показано на рис. 6.16. Следовательно, за волной

192