Файл: Райзер Ю.П. Лазерная искра и распространение разрядов.pdf

ная «переопределенность» задачи и позволяет в ходе ее решения

теории обычного горения. В результате решения будет определена и максимальная температура Тшах. Именно эту величину естест­

1Заметим, что это конечное значение SK отлично от нуля и часть потока,

пусть даже очень малая, при учете потерь обязательно просачивается на «бес­ конечность». Это связано с тем, что коэффициент поглощения уменьшается при падении температуры чрезвычайно резко и оптическая толщина тем-

ниченна.

2Переопределенность задачи связана с групповыми свойствами уравнений. Общее решение системы (6.25), (6.28), в которую х входит только под

даны на бесконечности, а начало координат мы вправе поместить в любую точку, постоянная Ci, даже в окончательном решении остается неопре­ деленной. Определению подлежат только две, С2 и С3, тогда как гранич­ ных условий три: (6.33), (6.35).

венно называть «температурой плазмы» или температурой «за фронтом разряда».

24.2. Постановка в предельных случаях слабого и сильного поглощения. Зона остывания газа за температурным максимумом в той или иной мере всегда оказывает влияние на продвижение волны. Падение температуры здесь обусловливает отток тепла назад от фронта волны, т. е. дополнительные потери энергии, и эти потери суммируются с потерями тепла через боковую поверхность канала и потерями на излучение. Это видно из уравнений (6.25): в точке максимума температуры dTtdx = 0, d2T/dx2<i 0 и, сле­ довательно, F"^>0. Значит, еще на некотором расстоянии за мак­ симумом энерговыделение от поля продолжает превышать поте­ ри, но к фронту этот результирующий приток тепла уже не посту­ пает, он отводится назад (см. рис. 6.16).

По той причине, что зона остывания влияет на распростране­ ние волны, и приходится при строгой формулировке задачи о ре­ жиме с потерями рассматривать весь цикл, который претерпевает газовая частица, проходя через волну разряда: сначала нагрева­ ние, а затем охлаждение до исходного состояния с Т = 0. Надо сказать, что немонотонность хода температуры и необходимость «вылавливать» представляющую основной интерес величину Ттах, которая лежит где-то посередине волны, приводит к значитель­ ным трудностям при изыскании эффективных способов прибли­ женного решения уравнений; ведь о том, чтобы найти точное аналитическое решение нелинейной системы (6.30), (6.31), и го­ ворить не приходится 1.

Однако в двух практически важных предельных случаях: «слабого» и «сильного» поглощения потока электромагнитной энергии, когда потери энергии играют соответственно большую или малую роль, задачу о режиме можно существенно упростить, вообще исключив из рассмотрения зону остывания газа.

Если свет поглощается слабо в том смысле, что длина погло­ щения L, отвечающая характерной температуре плазмы Ттах, гораздо больше, чем радиус канала R, то в длинном) по сравне­ нию с радиусом столбе тепловыделение от поля остается почти постоянным. Газ нагревается до высокой температуры на расстоя­ нии порядка R или меньше, а затем устанавливается сбалансиро­ ванное состояние, в котором почти вся выделяющаяся энергия расходуется на компенсацию вытекания тепла через боковые стенки канала и потерь на излучение, причем вследствие посто-1

1 При численном интегрировании уравнений в теории режимов обычно применяется метод «попыток». Задаваясь разными значениями параметра и, интегрируют уравнения от одного конца, стараясь попасть в нужную точку на другом конце. «Загнав» искомое решение в «вилку», постепенно делают «вилку» все у же и у же, все уточняя значение параметра. Эффектив­ ный способ численного решения задач такого типа предложен М. О. Розов­ ским [92]. Суть его состоит в том, что параметр и рассматривается фор­ мально как неизвестная функция х и система дополняется новым диффе­ ренциальным уравнением duldx = 0.

194

распространение волны потери энергии в этом случае вообще не влияют, так как основная доля выделившейся энергии выносится вперед благодаря относительно большому градиенту температу­ ры в области ее подъема.

Таким образом, в обоих случаях зона остывания не оказывает влияния на продвижение фронта волны, поскольку отток тепла назад, пропорциональный температурному градиенту за макси­ мумом, гораздо меньше выноса тепла вперед, который пропорцио­ нален градиенту в области подъема. Поэтому ее можно вообще исключить из рассмотрения, считая «концом» волны место, где температура достигает наибольшего значения, и относя это место на бесконечность (см. рис. 6.17, в).

Предельный случай слабого поглощения реализуется на оптиче­ ских частотах при не слишком высоких давлениях, в частности при атмосферном (см. раздел 24.3). Случай сильного поглощения, как правило, реализуется в высокочастотном диапазоне (см. раздел 33), отчасти — в СВЧ (см. раздел 34), а в оптическом — при достаточно высоких давлениях. Впрочем, возможен также не дозвуковой, а сверхзвуковой («сверхдетонационный») теплопроводностный режим распространения лазерной искры, когда плазма не успе­ вает расширяться и потому сильно непрозрачна даже при не очень большом начальном давлении. Но это требует мощностей, соответствующих гигантским лазерным импульсам (см. раздел 25).

В новой постановке, когда считается, что температура за вол­ ной асимптотически стремится к своему «конечному», отличному1

1 Если потери на излучение больше теплопроводностных, следует переоп­ ределить величину It, подразумевая под ней не радиус канала, а харак­ терное расстояние, на котором газ остывает из-за высвечивания.

от нуля значению Тк, граничное условие за волной:

Для системы с исключенной координатой оно согласно урав­ нению (6.25) выражает тот факт, что в конце волны источники исчезают:

= б'рш (Т), а в общей форме (6.27), справедливой для любых частот

и соответственно справедливо также для любых частот. Если по-прежнему оставить в силе уравнение (6.28) для светового по­ тока, то режим без потерь будет описываться уравнениями (6.39), (6.28) с граничными условиями (6.33), (6.37). Для системы (6.30), (6.31) с исключенной координатой имеем условие (6.34), а за вол­ ной —

/ = 0 при S = 0 или Е = 0. (6.40)

Последнее эквивалентно (6.38), так как в отсутствие потерь и в нагретом газе функция источников, т. е. тепловыделение от по­ ля, обращается в нуль только вместе с полем (этот результат также справедлив для любых частот). Температура плазмы Гк и скорость волны и, как и в общей постановке, находятся только в результате решения уравнений. Поскольку потери не учтены, режим существует при любых, даже очень малых значениях по­ тока S0.

Уравнение баланса энергии в отсутствие потерь (6.39) немед­

1Переформулировка одних лишь граничных условий за волной без внесения изменений в уравнения сама по себе к новой постановке задачи не приво­ дит. В самом деле, если температура на бесконечности отлична от нуля, оптическая толщина всего температурного профиля бесконечна и поток S на бесконечности ослабляется до нуля. Но при S = 0 функция F по фор­ муле (6.29)j обращается в нуль только при Т = 0, что и соответствует старой (общей) постановке задачи.

196

Он выражает закон сохранения полного потока энергии, ко­ торый складывается из потоков гидродинамического, теплопроводностного и электромагнитного. Задача теперь сводится к решению одного нелинейного уравнения, скажем, (6.31), где ./ выражено че­ рез Т и S по формуле (6.41). Если отнести равенство (6.41) к точке за волной, придем к общему уравнению баланса энергии в дозву­

которое было получено раньше из рассмотрения волны как гидро­ динамического разрыва (формула (6.4) в разделе 20).

опустить уравнения (6.28), (6.31). Режим описывается уравнения­ ми (6.25) или (6.30) с граничными условиями (6.33), (6.37) или (6.34), (6.38). Конечная температура Тк в данном случае определя­ ется еще до решения дифференциальных уравнений, из алгебраи­ ческого уравнения (6.38)

ном столбе, который заполняет световой канал за волной разряда. Конечно, для существования рассматриваемого режима преж­ де всего необходимо, чтобы уравнение (6.43) относительно темпе­ ратуры при данных значениях светового потока 5 0 и радиуса R имело нетривиальный (отличный от нуля) корень. Однако нали­ чие корня не является условием достаточным, и здесь при анализе этого момента мы подходим к важному вопросу об устойчивости

режима с потерями.

Вернемся к уравнению баланса энергии (6.25), переписав его в виде

Как следует из самой постановки задачи с исключенной зоной остывания, dTIdx > 0 и при асимптотическом стремлении Т Тк, a dTIdx ->• 0, вторая производная d2T/dx2 отрицательна. Учитывая, что второе слагаемое справа имеет при этом второй порядок ма­ лости, найдем, что функция F -> 0 за волной, будучи положитель­ ной. Другими словами, реальному режиму может соответствовать только тот корень функции F (Т), для которого dF/dT < 0. Если та­ кого корня у функции F (Т) нет, нет и режима.

197