Относительная деформация пластины в окружном направлении для точки Сх
Так как аг = 0, то зависимость между деформациями и напря жениями для двухосного напряженного состояния имеет вид:
|
Or — ц с ц ____dv |
|
|
Е |
~~ 2~ЗГ ’ |
„ |
_ Ot— \ l ö r ____V |
О/ — |
п |
|
' Z |
|
1 |
Е |
|
г |
откуда |
|
|
|
|
_ |
Е (ег + т ) _ |
|
г ~~ |
1—Ң2 |
•“ |
_ |
Ег |
dv |
f |
М- |
~ |
1 — [X2 |
dr |
|
Е (zt + |
ц ег) |
° t - |
1— |х2 |
|
- |
_ |
Ez |
( v |
I |
dv \ |
— 1 — р,2 \ г |
|
^ dr ) ' |
|
Для определения угла по |
Рис. 182. Схема к расчету |
круглых ворота V цилиндрического сече |
фильер |
ния рассмотрим равновесие эле |
(рис. 182), выделенной |
ментарной призмы высотой dz |
из пластины. При этом будем учитывать, |
что в радиальных сечениях abb1a1 и ессхех вследствие геометриче ской и силовой симметрии действуют только нормальные напря
жения |
ot, а в окружных сечениях cbbxcx и аеехах — как |
нор |
мальные напряжения оу, так и тангенциальные тг2. |
|
|
На гранях выделенного элемента высотой dz действуют сле |
дующие силы и моменты: |
|
|
на |
на верхней грани площадью г drp dr — осевая сила pr dcp dr; |
передней грани площадью г dcp dz — поперечная сила |
Qr dtp |
и |
изгибающий момент Mrr dtp; |
dr) dtp dz — поперечная сила |
|
на задней грани площадью (г + |
Qr dtp + |
d (Qr dtp) и изгибающий |
момент Mrrdq> + d (Mrr dep); |
|
на боковых гранях площадью |
dr dz — изгибающие моменты |
Mtdr. |
Q — интенсивность поперечной силы, т. е. сила, |
при |
Здесь: |
|
|
ходящаяся на единицу длины дуги rdcp, в |
Н/м; |
|
МГ и M t — интенсивность изгибающего момента, т. е. момент, |
|
|
приходящийся на единицу длины в радиальном |
|
|
и окружном' направлениях, в Н-м/м. |
|
Условия равновесия |
призмы: |
|
2, Fг = |
0; |
Qr dtp — |
[Qr dtp + d (Qr dtp) 1 + pr dtp dr = |
0; |
2 My = |
0; Mrr dtp — [Mrr dtp -f- d (Л4/ dtp)] -f pr dtp dr |
-)- |
|
+ |
2Mt dr sin ---------[Qr dtp -f- d (Qr dtp)] dr = 0. |
|
Пренебрегая некоторыми слагаемыми как малыми высшего порядка, получим:
где Mr = ar ~ - , Mt = at ~ .
Чтобы воспользоваться уравнением (236), необходимо найти зависимость Q от г.
Так как фильерная пластина нагружена равномерно распре
деленной нагрузкой р, то |
|
|
|
|
|
|
|
п — ш2р — IL- |
|
|
|
|
Ч ~ |
|
2яг |
2 ' |
|
|
Подставляя в |
уравнение |
(236) |
выражения для |
Q, М и |
М т, |
а*, аг |
и решая |
полученную |
систему относительно |
угла |
пово |
рота V, |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
V = С]Г |
|
3 |
. p r3 (1 — м-2) |
|
|
|
|
4 |
£ s 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
где Сх |
и С2 •— постоянные интегрирования. |
|
|
При г = 0 угол поворота ѵ = |
0 и С2 = 0. |
|
|
Так как фильерная пластина зажата по наружному контуру |
радиусом R, то при г = R угол ѵ = |
0. Определив Сх, найдем угол |
поворота V цилиндрического сечения радиусом г, а также аг и ор |
|
|
3 |
рг |
(1 — (X2) (Р 2 — г2) |
|
(237) |
|
|
4 |
|
|
Es3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
= -55- |
(1 + (*) — ^ (3 + 1*)]; |
|
(238) |
|
Ч = ^ № ( 1 + \ > ) - г а (1 +3[г)1. |
|
|
При |
г = R |
и z |
S |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Gг ТПЯѴ |
3p R 2 |
|
(239) |
|
|
|
4s2 |
’ |
|
|
|
|
|
а при |
г = О |
|
|
|
|
|
|
|
|
]t max — |
зPR2(1 + |
у) |
(240) |
|
|
|
8s2 |
|
|
|
|
|
|
|
Для определения аэкв необходимо найти главные напряжения для крайних точек верхней плоскости фильерной пластины, т. е.
для точек, |
удаленных от оси на величину г = R. |
|
В этом |
случае: |
|
|
|
|
|
|
|
ГТ — гг |
|
—- |
3p R 2 |
|
|
|
г |
* |
|
|
и 1 — |
u r шах |
|
4 S 2 |
|
|
°2 = |
= |
|
3 |
p R 2 |
|
|
-4- (A' l l - » |
|
|
о3 = az = — р ^ |
0, |
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
*Дкв — @1 — &г max — |
3p R 2 |
(241) |
|
4s2 |
|
|
|
|
|
|
|
Кроме прочностного расчета, фильерные пластины следует проверять и на жесткость.
Если известен угол ѵ поворота цилиндрического сечения, уда
ленного от оси пластины на |
расстояние г, то прогиб пластины |
df |
= —V dr, |
откуда после подстановки ѵ |
и |
интегрирования, получим |
Г |
|
|
/ = С3- J |
(■I - |
I*2) (Я2 - Я dr = |
о |
|
|
= с - —
При г = R прогиб пластины f — 0, а постоянная интегриро вания
С3 = |
3p R i (1 - ц 2) |
|
16.Es3 |
Следовательно, прогиб пластины
1 ~ ~ |
З р ( 1 - ц 2) (R2— г2)2. |
(242) |
16Es3 |
|
При г = 0 получим максимальный прогиб пластины |
|
<■ _ |
ЗрЯ* (1 |
- ц2) |
(243) |
А тах— |
1 6 £ |
S 3 |
|
Полученные формулы и зависимости пригодны для расчета пластин одинаковой толщины и жесткости, нагруженных равно мерно распределенной нагрузкой.
Фильерные пластины имеют отверстия, следовательно, и расчет их несколько отличается от изложенного.
Однако учитывая, что сумма площадей сечений всех отверстий в подавляющем большинстве случаев очень мала по сравнению с рабочей площадью пластины (площадь, на которую давит рас твор или расплав), а главное, что эти отверстия равномерно рас средоточены по площади пластины, в практических расчетах таких фильер можно пользоваться выведенными формулами.
Расчет сегментных и прямоугольных фильер
Расчет сегментных и прямоугольных фильер значительно сложнее расчета круглых осесимметричных пластин, так как деформации и напряжения являются функциями двух независимых перемен ных (ширины и длины пластины).
Рис. 183. Схема к расчету прямоугольных фильер
При расчете этих пластин по-прежнему полагаем, что прогибы малы по сравнению с толщиной и допускаем справедливость ги потезы неизменности нормали и гипотезы ненадавливания слоев пластины вдоль оси г.
Рассматривая сечение пластины плоскостью г = const до и после деформации (рис. 183) с учетом закона Гука, получим для плоского двухосного напряженного состояния:
