|
|
|
|
|
Ez |
(J !L + |
|
d2f |
|
|
|
|
°у = |
|
|
|
„ J V _ y |
|
|
(245) |
|
|
|
■r |
\ |
ду |
2 |
^ |
P |
dx2 ) ’ |
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
'xy |
' |
|
Ez |
|
d2f |
|
|
|
(246) |
|
|
1 + |
fi |
|
дх ду |
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
My = — |
|
|
Es3 |
|
( |
â2f |
|
d2f |
|
|
(247) |
|
12(1 — ц2) |
( |
dx2 |
т |
ду2 ) |
’ |
|
|
|
|
|
My = |
|
|
|
Es3 |
|
( Л - + |
d2f |
У |
(248) |
|
|
12 (1 — p2) |
|
|
|
|
\ |
ду2 |
^ |
|
|
|
MXy -- Мух -- |
|
Es3 |
|
d2f |
|
|
(249) |
|
|
12(1 +11) |
dx ду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dQx |
|
+ |
dQy . |
|
|
|
(250) |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
ду |
|
|
|
|
|
|
Q x |
|
|
dM |
|
|
дМух |
|
|
|
(251) |
|
|
|
|
дх |
|
|
ду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Qu |
|
|
дМУ |
|
дМху |
|
|
|
(252) |
|
|
|
|
ду |
|
|
дх |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
здесь Qx и Qy — интенсивность |
|
поперечных сил |
соответственно |
|
в |
направлении |
осей |
х н у . |
|
|
|
|
Совместное решение уравнений (244)—(252) дает общее диф |
|
ференциальное уравнение пластины любого профиля |
|
|
12 (1 - |
р2) р |
|
а4/ |
|
|
|
а4/ |
а4/ |
|
|
(253) |
|
Es3 |
|
|
дхі |
|
|
' а*2 ду2 +1 ду* |
|
|
* Для конкретного случая закрепления и заданной формы пла стины уравнение (253) принимает частный вид.
В рассматриваемом случае пластина зажата (защемлена) по всему периметру. В этом случае для всех участков защемления прогиб и углы поворота сечений равны нулю, т. е.
Кроме того, в центре симметричных пластин с равномерно распре деленной нагрузкой угол поворота сечения равен нулю.
Уравнение (253) имеет бесконечное множество решений, из которых надо найти такое, которое удовлетворяло бы заданным граничным условиям.
Уравнение (253) решено Галеркиным Б. Г. применительно к прямоугольной плите, защемленной по контуру. Для решения поставленной задачи воспользуемся более простым энергетиче ским методом Рица [18], сущность которого заключается в под боре функции /, удовлетворяющей заданным граничным условиям
так, чтобы исходное уравнение потенциальной энергии пластины имело экстремальное значение.
Прогиб f определяем с использованием теоремы о минимуме потенциальной энергии: признаком устойчивого' равновесия яв ляется минимум полной потенциальной энергии.
Удельная потенциальная внутренняя энергия для любого
напряженного состояния выражается |
формулой |
|
П г = |
|
М- ( f X |
•ег)2 |
2(1+|і) L |
— 2|х |
+ |
|
|
|
(уг/г + Угх + |
Уху) |
(254) |
Для плоского напряженного состояния, в котором находится фильера, gz = 0. В соответствии с гипотезой неизменности нор мали имеем
|
|
|
Ууг = |
Ухг = °- |
|
|
|
|
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г г |
— — у - _ | ~ ( г х + |
8j/); |
|
|
|
Ех~ |
дЧ |
|
гУ ~ |
дЧ |
Чху— |
0 |
дЧ |
, |
Z дх2 ’ |
2 ду2 ’ |
2z |
дхду |
то |
|
|
|
|
|
а2/ |
|
|
Я1 = |
Ег2 |
m r + m + ^ |
d2L |
I |
2(1 — Ц2) |
дх2 |
ду2 |
і |
|
|
|
|
|
|
|
|
(255) |
Умножая |
уравнение |
(255) |
на элементарный |
объем |
dx dy dz |
и интегрируя по х, у и г, получим полную внутреннюю потенци альную энергию пластины при расположении начала координат
осей в центре тяжести |
пластины: |
|
П = |
I I |
____ Г Г ( д Ч _ \ 2 |
, ( d2f |
24(1 |
|
f Vду2 ) "Г |
|
(1 - Ц2) J J Vдх2 ) |
X у
2a ^ L |
d2f |
+ 2(1 — р) |
d2f |
дх2 |
ду2 |
|
дх ду |
Потенциальная энергия внешних сил (равномерно распределенная нагрузка р)
-\-а -\-Ь
П2 — — I I pfdx dy. |
(257) |
—а ~Ь |
|
Максимальный |
прогиб фильерной пластины — в |
центре |
пла |
стины, т. е. при |
X — у = 0. |
уравнением |
упругой |
поверхности |
По методу Рида |
задаемся |
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f = |
4 |
^ |
0 + cos |
|
|
(l + |
cos - f - ) , |
|
(258) |
где /о — искомый |
максимальный |
прогиб |
центра пластины. |
|
Это выражение удовлетворяет условиям защемления, так как |
при X — ± а и |
у = |
±b: f = 0; |
|
= -|£- = 0. |
|
|
Подставляя уравнение (258) в выражения (256) и (257), получим |
после интегрирования |
|
|
|
|
|
|
|
|
П = |
|
E s 3 |
|
|
|
|
|
|
(259) |
|
2 4 ( 1 |
— д 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П 2 = |
—p f 0CLb. |
|
|
|
(260) |
Суммарная |
потенциальная энергия |
фильеры |
|
|
П0бщ — п + |
П2 |
|
|
3 Ь |
|
|
|
2 ) — pf0ab. |
(261) |
|
|
3 8 4 ( 1 — д 2) V а 3 -Г ь3 ^ |
ab |
|
|
Подбираем / 0 |
так, |
чтобы общая потенциальная энергия имела |
минимальное значение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дЯобщ |
|
° , |
|
|
|
|
|
|
|
|
dfo |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
192 (1 - - |
ц 2) р а 4 |
|
' |
|
(262) |
|
|
/о |
= |
л*Es3 (з + |
3 |
а 4 |
|
а 2 |
|
|
|
|
|
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ь4 |
6 2 |
|
|
|
Согласно теории упругости пластина является жесткой, если
еемаксимальный прогиб не превышает ѴБ толщины, т. е. f 0 •< s/5. При проектировании фильерных пластин, относящихся к весьма
ответственным изделиям, следует брать
/о <(0,1 — 0,01) s. |
(263) |
Подставляя выражение (258) в соотношения (244)—(252), найдем любую искомую величину.
При расчете сегментных фильер задача осложняется несим метричностью формы относительно главных осей. В этом случае крайне трудно подобрать правильное решение уравнения (253).
В практических расчетах можно с достаточным приближением заменить сегментную форму эллиптической с осями 2а и 2Ь, соответственно равными габаритным размерам рабочей плоскости фильеры.
Для пластины эллиптической формы (начало координат в центре пластины) уравнение упругой поверхности имеет вид
|
|
|
|
/ = |
|
|
|
|
|
(264) |
При |
X = |
у |
— 0 |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/о — |
Зр (1 --П2) |
|
(265) |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2£s3 3 |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а4 |
а262 |
|
|
Пример. Определить толщину стальной прямоугольнойфильеры с разме |
рами 2а = 36 |
мм, |
26 = 290 мм, |
р — 5 МН/м2, Е = 2 - 105 МН/м2, (х = 0,3, / 0 = |
= 0,01 S. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
Из формулы (262) находим |
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
192 (1 — р 2) раі |
= 3,54 |
мм. |
|
|
|
|
0,01я4£ |
^3 + |
3 |
+ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Определить толщину стальной |
сегментной фильеры с размерами: |
2а = |
20 мм, |
26 = |
56 мм, р = 5 МН/м2, £ |
= |
2- ІО6 МН/м2, р = |
0,3, /„ = 0,01 s. |
Решение. |
По формуле (265) находим |
|
|
|
|
|
|
|
s = |
4 |
/ |
Зр (1 — Р2) |
|
4,44 мм. |
|
|
|
V 0,02£ |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
а262 |
|
|
|
|
|
|
|
64 |
|
|
Расчет чашеобразных и сферических фильер
Чашеобразные и сферические фильеры можно рассматривать как осесимметричные тонкостенные оболочки, срединная поверхность которых представляет собой поверхность вращения.
Так как толщина s фильер в подавляющем большинстве слу чаев меньше 1,2 мм, то в практическом расчете можно принять, что возникающие в фильере напряжения равномерно распреде лены по ее толщине и, следовательно, изгибающие моменты равны нулю. В таких случаях чашеобразные и сферические фильеры можно рассчитывать по безмоментной теории (см. раздел первый).
Сферическая фильера нагружена изнутри нормальной рав номерно распределенной нагрузкой рп = р. В этом случае
Главное напряжение на внутренней поверхности сферы о3^=—р, а на внешней поверхности о3 = 0. Сравнивая сг3 = —р с o lt устанавливаем, что сг3 меньше о 3 в Rc/2s раз.
По теории наибольших касательных напряжений эквивалент ное напряжение
Чашеобразную фильеру с плавным переходом стенок стакана в дно при расчете следует условно делить на две части: стакан высотой Нс = Н — 2s и дно толщиной s.
Стакан можно рассматривать как тонкостенную оболочку вра щения, так как толщина s2 его стенки мала по сравнению с мини мальным радиусом R кривизны срединной поверхности. Для фильер s2 5s sx — 0,04, а
Отношение
%_ 2s2
ЧГ - ~D~
для фильер значительно меньше 0,1. В таких случаях при расчете следует пользоваться безмоментной теорией.
Стакан рассчитываем по максимальному рабочему давлению р раствора во внутреннем пространстве фильеры.
Полагая (см. раздел первый |
гл: III) |
Т = рг, получим |
а |
_ _ l = |
s |
— р° . |
1 |
|
s |
2s„ |
’ |
Аг |
Л Р |
_ |
р Р 2 |
|
2 |
|
4£s2 |
|
|
|
|
|
Наличие донышка вызывает появление осевого напряжения
рР
4s2
(267)
От осевого усилия в буртике стакана фильеры возникает напря жение
т2
где sx — толщина буртика.
Напряжения и деформации плоского дна толщиной s и R = DI2 следует рассчитывать по формулам, выведенным для круглой фильеры, жестко закрепленной по контуру. В первом разделе при ведено определение деформаций сферического дна (§ 4) и формулы для определения напряжений в зоне перехода стенок стакана в дно (§ 5).
Проектирование фильер
Проектирование фильер заключается в выборе материала, формы, расположения капилляров и определении основных размеров.
Диаметр, профиль и количество капилляров (отверстий) за висят от величины фильерной вытяжки, условий формования и
