расчетного значения. Это изменение происходит на вполне опре деленной длине, отсчитываемой вдоль оси паковки, и по вполне определенному закону. Следовательно, на этой длине происходит нарушение не только формы, но и структуры намотки, что осо бенно заметно при формировании паковок с плоскими торцами.
Ниже показано, что закон перемещения нитеводителя в край них положениях зависит от конструкции мотального механизма и отдельных его звеньев, а также от скоростных факторов, износа деталей и т. д. В данном разделе этот вопрос решается в общем виде.
Допустим, что при намотке на круглый цилиндр угол подъема витка перед самым началом смены направления движения ните водителя равен ß0, точка М набегания нити находится в положе нии М 0, а глазок нитеводителя — в положении Я 0 (см. рис. 207).
По истечении времени t глазок перемещается на величину ун, а точка набегания М х — на искомую величину у. Угол подъема витка при этом изменяется и становится равным ß, причем
tg ß = |
= |
Ltg ßo + Ун — У _ j _ |
(303) |
v0 |
|
|
|
L |
v0 |
|
|
|
|
откуда |
|
|
|
|
|
|
У + i^ '/ |
= |
y<)tgßo + -x-«/„; |
|
(304) |
здесь ѵй— окружная скорость |
наматывания; |
|
|
ун — перемещение глазка |
нитеводителя. |
|
При наматывании нити возможны различные случаи. Рассмот |
рим некоторые из них. |
глазка |
нитеводителя |
и выстаивание |
Мгновенная остановка |
в течение времени U В этом случае ун = 0, |
а |
уравнение (304) |
принимает вид |
|
|
|
|
|
|
У + |
|
-X У= |
»оtg ßo- |
|
(305) |
Решив уравнение (305), получим искомый закон перемещения точки набегания вдоль оси тела намотки
У = ь ( l - e - ^ t g ß o ;
_
у = ѵ0еГ L tg ß0;
V q t
tgß = e- L tgß0.
Исследование полученных зависимостей показывает, что тео ретически точка набегания никогда не достигнет возможного
крайнего положения, так как у равен L tg ß0 только при t = оо. В действительности точка набегания очень быстро достигает край него положения вследствие наличия трения-сцепления нити с те лом намотки и потому, что нить имеет толщину.
Найдем время, по истечении которого точка набегания прой дет путь при остановленном нитеводителе, равный, допустим, 0,95 L tg ß0.
При этом условии
0,95L tg ß0 =
= L ( l - e - ^ ) t g ßo,
откуда
3L
t
Кроме того, легко найти
время, по истечении кото Рис. 208. Схема к определению закона
перемещения точки М набегания нити рого последующий виток вдоль образующей тела намотки
укладывается рядом с пре
дыдущим витком. Это происходит, когда шаг витков h достигает величины, равной толщине нити d. В этот момент угол подъема витков
|
d |
V p t |
|
= е L tg ßo |
|
tgß = 2nr |
|
откуда |
|
|
|
2лг tg ßo |
|
|
d |
Мгновенное изменение направления движения глазка нитево дителя (т. е. время выстоя равно нулю). Нетрудно убедиться, что при мгновенной смене направления движения глазка точка набе гания некоторое время продолжает двигаться в прежнем направ лении по закону (рис. 208):
|
tgß = tgß0- ^ - - - f - |
Л_ |
|
|
|
^0 ’ |
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
где ѵн |
= п0 tg ßo — скорость глазка нитеводителя. |
|
Это выражение интегрируем методом вариации постоянного. |
Сначала интегрируем левую часть уравнения и |
получаем у |
— |
_ Vot |
|
|
|
= Се |
L . Для определения С продифференцируем это выраже |
ние по |
t, считая, что С — величина переменная, |
зависящая |
от |
|
|
_ |
V g t |
|
|
V o t |
Подставим у и у |
времени. Получим у = Се |
L |
— ^_Се |
L . |
в исходное уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
Се |
Оо t |
= |
n0tgß0- ^ |
- |
|
|
^ |
|
|
|
|
|
V „ t |
~ |
|
V p t |
или |
dC = |
г.'0 tg ß0e L |
dt---- ^ - e |
L tdt. |
Откуда после |
интегрирования |
найдем |
|
|
|
P o t |
|
r |
V o i _ . |
|
. |
C - L t g ß 0e i |
|
e L ( ^ - l j + Q. |
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
^ = L tg ß0- - ^ ( - £ - * - l ) + C ie_ i T \ |
При t = 0 и у = |
О |
|
|
|
|
|
|
C1 = - L t g ß ü- ^ |
= - 2 L tg ß 0. |
|
|
|
|
|
U0 |
|
|
Окончательное |
решение |
дает: |
|
|
|
y = 2 L ( \ - e |
’O tg ß o ~ ѵ 0tg ßo*; |
|
У = ѵ0{ 2е- і ^ |
- і ) |
tg ßo; |
(306) |
|
|
( |
|
і |
t |
|
(307) |
|
tg ß = Ѵ2е |
— 1)1 tg ß0. |
Выражения (306) и (307) позволяют найти время, по истечении которого скорость точки набегания или угол подъема витков будут равны нулю:
*ß = o = 0,693 ± .
Ѵ0
За это время точка наматывания пройдет путь
Уmax ~ 0,307/, tg ß0.
Следовательно, при мгновенной смене направления движения нитеводителя точка набегания М никогда не дойдет до своего возможного крайнего положения, если L Ф 0, причем уменьше ние высоты намотки с одного конца составляет
Д # х = 0.693L tg ßo,
а общее уменьшение высоты
АЯобщ= l,4L tgß0.
Перемещение глазка нитеводителя в момент смены направления движения по закону синуса (наиболее близкому к действительному закону):
|
|
У„ |
= |
Л о sin (o0t. |
|
|
В этом случае выражение (304) имеет вид |
|
|
У + ^ У |
= ѵ0tgßo + |
-^ -^ 0sin &0t, |
|
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V p t |
/ |
v«t \ |
A0v0 |
|
sin co0Z— co0 cos o y + (D0e |
L |
|
|
У = L tg ßo U — е |
L ) |
|
|
|
.2 , |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L 1шо + 7 J |
|
У = |
ѵ0 tg ß0e |
V f i t |
~\-----j±a - sin a>0t |
|
|
L |
|
|
Aqv\ |
|
|
|
|
_ |
Vot |
|
( |
Sin W0t — Ci)0 cos 0)0t -f- co0e |
L |
|
|
|
|
2 I „2 , |
J(0_ |
|
|
|
|
LMco: |
Z-ä |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-.E il |
л |
|
|
tg ß = tg ß0e |
L |
|
sin cö0Z— |
|
|
|
|
|
|
|
V p t |
|
Л0и0 1 ~i7 |
sin <V — co0 cos (o0Z + ö)0e |
L |
|
|
|
“o+ tt
Перемещение точки набегания при увеличении угла подъема витков от нуля до заданного значения ß0 при постоянной ско рости нитеводителя. Пока ролик мотального рычага или штанги перекатывается по мыску или выемке мотального кулачка, точка набегания перемещается на небольшую величину (меньше L tg ß0) и только при обратном движении нитеводителя угол ß в какой-то момент принимает нулевое значение. Скорость нитеводителя в этот момент практически постоянна, т. е.
У»= v j - v01tg ß0.
Вэтом случае выражение (304) принимает вид
У+ , ^ У = -x ^ g ß o .
