Файл: Прошков А.Ф. Машины для производства химических волокон. Конструкции, расчет и проектирование учеб. пособие.pdf

На основании исследования условия формы (324) и условия натяжения (329) можно указать следующее.

1.Если коэффициент трения нити о тело намотки равен или близок к нулю, то натянутая нить на участке между двумя фикси­ рованными точками (допустим, А и В) принимает форму геодези­ ческой линии, т. е. занимает самое устойчивое положение.

2.Так как коэффициент трения р не равен нулю, то виток на всем его протяжении между фиксированными точками можно отклонить в ту или другую сторону от геодезической линии на

Рис. 210. Область равновесных положений витка А OB на цилиндре (АОВ — геодезическая линия; АСВ, АДВ — предельные кривые)

вполне определенную величину, и виток останется, благодаря на­ личию трения, в этом отклоненном положении.

3.Кривая, форму которой имеет виток, предельно отклонен­ ный от геодезической линии, называется предельной или гранич­ ной.

4.В предельно отклоненном положении виток находится во всех своих точках на пороге срыва.

5.Предельные кривые ограничивают некоторую область, внутри которой лежит геодезическая линия (рис. 210, 211). Виток, расположенный вне этой области, ни при каких условиях не может оставаться в покое (равновесии).

6.Кривые, для которых соприкасающаяся плоскость во всех точках кривой витка одинаково отклонена от нормали к поверх­ ности п, называют кривыми одинакового отклонения.

ние по всей его длине одинаково, а общая сила трения перпенди­ кулярна к направлению нити, т. е. перпендикулярна к касатель­ ной тт и совпадает с осью пг.

8. Если tg Ѳ < fi (соприкасающаяся плоскость пересекает конус трения), то, пока натяжение на ведущем конце возрастает

328

от Т ! до Т 2, нить натягивается, но остается в покое, т. е. сохра* няет свою первоначальную форму; при этом сила трения возра­ стает во всех точках витка до своего максимального значения. При дальнейшем увеличении Т 2 равновесие нарушается, виток

Рис. 211. Область равновесных положений витка ÂOB на цилиндре (А О В — геодезическая линия; AjOBlt А 2ОВ2 — предельные кривые)

начинает менять форму, стягиваясь к геодезической линии. При этом угол у уменьшается до нуля и виток располагается по геоде­ зической линии. Если и после этого натяжение Т 2 растет, то виток начинает скользить вдоль геодезической линии.

Таким образом, для того чтобы витки, навитые по расчетным кривым, не меняли своего положения, необходимо во всех случаях соблюдение обоих условий равновесия и в первую очередь усло­ вия формы.

Определение угла геодезического отклонения

Для практического использования полученных условий равнове­ сия необходимо установить в каждом конкретном случае связь между входящими в них параметрами. Наибольшую трудность представляет нахождение зависимости угола Ѳ геодезического отклонения от формы тела намотки и формы кривой витка.

Из курса математики (теорема Менье) известно, что (рис. 212)

откуда

329

В этих формулах:

R — радиус нормального сечения, полученного в результате разреза тела намотки плоскостью, которая проходит через нормаль к поверхности и касательную тт к кривой витка в точке О; в общем случае этот радиус определяют по формуле

л

^ " cos2 ß — q sin 2 ß ’

Рис. 212. Схема к определению связи между р, R , Rg и Ѳ при расположении нити на круглом цилиндре (а) и конусе (б)

Rg — радиус геодезической кривизны витка в рассматривае­ мой точке О, т. е. радиус проекции кривой витка на плоскость, проходящую через касательную тт и геоде­ зическое направление,

Геодезическое направление перпендикулярно касательной тт и нормали п к поверхности. Нетрудно видеть, что геодезическое направление лежит в касательной плоскости тОт и совпадает с осью От.

Исследование формулы (331) показывает: чем больше радиус тела намотки и меньше радиус геодезической кривизны витка, тем больше угол Ѳ и тем дальше располагается виток от равновес­ ного положения.

В самом общем случае при намотке нити на тело вращения про­

330

В приведенных формулах: г — радиус тела намотки в точке О;

Чтобы воспользоваться формулой (332), необходимо предва­ рительно найти зависимость угла ß и радиуса намотки от вели­ чины у перемещения точки набегания вдоль оси тела намотки.

Рассмотрим наиболее распространенные виды намотки — ци­ линдрическую и коническую.

Цилиндрическая намотка — это такая намотка, когда при фор­ мировании каждого прослойка (навивания спирали одного направ­ ления) должны соблюдаться следующие условия (см. рис. 204, а): радиус намотки г = const; r' ~ г" = 0; угол подъема витков спирали ß = const, т. е. нить располагается по винтовой линии; ß' = 0.

Подставляя эти значения в формулу (332), получим для винто­ вой спирали tg Ѳ = 0.

Так как угол геодезического отклонения равен нулю, то вин­ товая спираль на круглом цилиндре является геодезической ли­ нией при любом угле подъема витков, т. е. винтовая намотка яв­ ляется равновесной, поскольку всегда соблюдается первое усло­ вие равновесия — условие формы.

Следует отметить, что практически нельзя осуществить винто­ вую намотку на всей длине паковки из-за возратно-поступатель- ного движения нитеводителя.

Как установлено выше, в момент смены направления движения нитеводителя теоретический закон раскладки нити нарушается; угол подъема витков изменяется, проходя через ноль. Таким об­ разом, в момент смены направления движения нитеводителя нить укладывается не по геодезической линии, так как ß =j=const, а Ѳ Ф 0. При этом для случая намотки на цилиндр формула (332) принимает вид

331

Нетрудно установить и проверить, что радиус геодезической кривизны Rg имеет минимальное значение при мгновенной смене направления движения нитеводителя и минимальном расстоя­ нии от точки набегания до направления движения глазка нитево­ дителя.

Из рис. 208 следует: если нитеводитель мгновенно меняет направление движения, то точка набегания М некоторое время продолжает двигаться в прежнем направлении, а угол ß — изме­ няться по закону (307).

Зная выражение для tg ß, легко найти sin ß и ß', а затем по формуле (333) — tg Ѳ:

При прочих равных условиях угол Ѳ имеет максимальное значение при t = 0, т. е. в точке сопряжения винтовой спирали с кривой закругления

332