нне дивергенции, стоящее в правой части, будет равно нулю, уравнение значительно упростится:
|
О® I |
д (S + О |
+ |
V |
д (Q + I) |
(9.52) |
|
dt ^ 1 |
дх |
оу |
|
|
|
|
Используем связь геострофического ветра с высотой изо барической поверхности в виде
__ |
g |
d H , |
__ g |
О Н |
(9.53) |
|
I |
ду ’ |
I |
дх ' |
|
|
где Н — высота |
изобарической |
поверхности в геопотен- |
циальных метрах. |
|
|
|
|
Теперь найдем выражение вихря скорости для этого случая:
Выражение, стоящее в скобках, есть лапласиан высоты изобарической поверхности АН.
Подставляя значения и, ѵ и Q в (9.52), получим
|
g |
д\Н |
g |
дН |
д |
А Н + |
/ ) + |
|
|
|
1 |
dt |
1 |
ду |
дх |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дң |
_ |
|
А Н + 1^ = |
0 |
|
(9.55) |
|
|
+ ~ Г |
дх |
ы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
« |
|
|
|
д Ш |
ОН |
Ч - т |
- ДН + 1 |
дН |
д 1 |
+ 0 |
|
|
|
) |
( т І Н |
0. |
(9.56) |
dt |
' дх |
|
ду |
|
ду |
дх |
|
|
|
|
|
|
Разность между вторым и третьим членами полученного выражения есть новый оператор — якобиан:
„ |
, |
, . __ да |
дЬ |
да дЬ |
|
|
' а ’ ° > ~ ~ д х " 1 у ~ ~ ~ д у ' ~ д х ' |
|
Действительно, |
принимая а — Н и |
|
b = -j-AH + l, |
полу |
чим |
|
|
|
|
|
|
|
■^Г + ( я , |
- f * // + |
/ ) = 0. |
(9.57) |
Обозначая якобиан вихря |
скорости Н, - f |
+ |
= |
= А0, окончательно получим |
|
|
0\Н |
Лд — О- |
|
(9.58) |
dt + |
|
Это нелинейное уравнение третьего порядка, записан ное в частных производных. Такие уравнения в матема тике в настоящее время считаются неразрешимыми. Однако если в качестве искомой величины взять не зна чение самой высоты изобарической поверхности Н, а ее
дН
локальное изменение-^-, то порядок уравнения будет
уже второй и примет вид уравнения типа Пуассона, ко торое имеет окончательное решение. Переходя к поляр ным координатам от прямоугольных по известным пра вилам перехода, общее решение уравнения Пуассона имеет вид
27t |
ft |
|
|
|
|
] l n - j - A Qr d r d < ? + |
~ l T d S > |
( 9 - 5 9 |
0 |
6 |
|
|
|
где г и 9 — полярные координаты; |
|
|
|
R — радиус круга, внутри |
которого |
производит |
|
ся интегрирование; |
|
|
|
In —-----функция влияния (или |
функция |
Грина). |
|
Подбирая подходящее значение радиуса круга осред нения R = Rq, можно добиться, что значение второго чле
на |
будет |
значительно |
меньше самой величины, |
т. е. |
1 |
г дН |
, с |
дН |
Тогда окончательно |
|
|
ф —jf db <С —fif . |
|
|
|
|
|
R, |
|
|
|
дНdt |
^rj j ln-fj-A 'S drd'?. |
(9.60) |
|
|
|
|
n 5 |
|
§42. ПОСТРОЕНИЕ ПРОГНОСТИЧЕСКОЙ КАРТЫ ФИЗИКО-СТАТИСТИЧЕСКИМИ МЕТОДАМИ
Изменчивость значений метеорологических элементов всегда колеблется в строго определенном пределе, осо бенно это относится к атмосферному давлению, поэтому при построении прогностической карты для определения
будущих значений давления в заданных точках можно применить положения теории вероятности, считая, что давление .воздуха является случайной величиной, подчи ненной нормальному закону распределения. В настоящее время приняты три основных направления в разработке таких методов: метод эмпирических функций влияния, разложение поля давления в ряды п установление кор реляционных зависимостей.
Прогноз барического поля с помощью метода эмпи рических функций влияния. Физическую основу данной методики составляет система гидродинамических урав-
|
|
, |
|
ОР |
нении, решение которой в общем виде относительно |
|
можно записать: |
|
|
|
|
|
Т г Ч |
Я 0 ^ ' |
(9-61) |
где G — функция |
влияния |
(функция |
Грина); |
|
F — функция |
метеорологических |
элементов; |
|
dv — элемент объема.
Конкретный вид функций G и F зависит от тех гипо тез, которые положены в основу составленных уравне ний, и от методики их решения. При практической реа лизации тройные интегралы в формуле (9.61) заменяют суммами парных произведений вида
П
^ CJ' і — С\Р1 + С2^ 2 + • • • + СпРп. (9.62)
І= 1
где ЬР— приращение величины Я;
/Г— значение F в точках пространства (г'= 1,2,...,п) ; сі — коэффициенты, получаемые с помощью функ
ции Грина.
В этом соотношении искомая величина ЬР опреде ляется по известным значениям Сі и Fi. Точность предвычислення величины ЬР в этом случае будет целиком зависеть от правильности определения величин с*. Меж ду тем их значения при решении определяются прибли женно вследствие упрощений, сделанных на различных
этапах решения. Методы математической статистики позволяют произвести уточнения этих коэффициен тов.
Для этого обратимся к данным за предыдущие сутки. Тогда величину ЬР можно считать известной из мате риалов наблюдений за прошлые сутки. В отличие от ЬР, получаемых по формуле, эти фактические изменения обозначим ЬРф. Величины Fi снимаются с синоптической карты для любого срока. Коэффициенты же с{ будем считать неизвестными. Для их определения применим способ наименьших квадратов, для чего составим систе му условных уравнений путем вычисления ЬРфи /д для каждого случая. Эта система примет такой вид:
8 Яф, = cxFn + |
c2F2l + |
. . . + |
ctFл + |
. . . + cnFnl; |
|
ЪРф, — ^1 ^ 1 2 |
+ |
c2F22+ |
. . . + |
ctF/ 2 + |
... + cnFn2, |
|
—C\P1» |
+ |
C2p2k + |
. . • + |
CJ' ik + |
• • ■JrCnf'nk< |
(9.63) |
|
« Я ф ,— c l ^ I N + C 2 ^ 2 N + |
+ C t F i N + . . . + C n F n N . ^ |
Здесь у F первый индекс I означает номер точки про странства (/= 1 , 2 ,..., п), а второй к — номер случая (к = 1 , 2, ..., N). Далее действуем в соответствии со спо собом наименьших квадратов для определения коэффи циентов Сі на основе системы нормальных уравнений, которая получается из условия минимума суммы квад ратов разностей между фактическими ЬРф и рассчитан ными ЬРдля всех N случаев:
N
|
2 ( 8 Я ф-8 Р )2 |
= |
|
N |
к=\ |
|
|
|
|
|
= 2 [ |
+ |
. . . + cnFn)\\. |
(9.64) |
А=1 |
|
|
|
Эту систему можно ,записать в таком :виде, ражение (9.64) продифференцировать по bP нять к нулю для нахождения минимума:
N N N
1 |
+ 2 ^ 2 k F 1й+ • •■+ |
ci 2 F ikF lk - f |
к—\ |
k —1 |
k - i |
NN
+Сп 2 P 'n k F lk
|
k = l |
k = l |
k |
N |
N |
|
N |
V Fi k F 2fc+ |
c2 2 F |
+ ••• + C |
i ^ F ikF Qk+ |
k = l |
ft=i |
|
k —i |
|
N |
N |
|
N |
|
N |
|
N |
> (9.65) |
Сі 2 |
F ik F ik ~ F |
c2 2 |
|
F-iuFik + . . . + |
2 |
T7J - f . |
ft=i |
|
* = i |
|
k —1 |
|
|
N |
|
N |
|
|
|
c n |
2 ^ |
F nji F Ц. |
|
|
|
|
k —i |
|
k = l |
R |
N |
|
N |
|
|
N |
|
Cl I |
F 1 k F n k ~ F c 2 2 |
F 2kF „й+ . . . - f c ^ \ F |
ikF nk+ . . . + |
*=1 |
|
k = i |
|
k —1 |
|
|
|
N |
|
N |
|
|
Здесь все суммы парных произведений вида 2FF и luFbP.$ являются известными величинами, а коэффициенты — искомыми. Таким образом, решая систему уравнений, вычисляют значения коэффициентов Си которые прини маются за постоянные.
В отличие от функции влияния G, определяемой тео ретически, коэффициенты сгвычисляются по эмпириче ским данным, поэтому их называют эмпирическими функциями влияния.
