Файл: Бобровников Л.З. Радиотехника и электроника учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 171

Скачиваний: 10

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

двух косинусоидальных

(синусоидальных)

колебаний

разных ча­

стот.

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть

имеется

сигнал

 

 

 

 

 

 

 

X (t) = U1 COS Wj^t + U2 COS W2t

И

0)j <<(0,'2.

 

Это

выражение

можно представить

как

 

 

x(t)

Ux cos

-f- U2

cos [(aLt + (со2 — coj) £] =

t / j (Дсо<) cos со^,

где

 

 

 

Дсо = (о2 —

 

 

 

 

 

 

£ / s

(ДсоО =

[U\ + г с / ^ а cos Ш

+

U\YI*\

 

Таким образом, в результате сложения двух гармонических коле­

баний

различных

частот,

получается

одно

колебание,

амплитуда

и фаза которого изменяются по времени с разностной частотой Д<о. Если отношение частот иррационально, то невозможно найти время

Т, при

котором бы

точно

выполнялось условие

периодичности.

Если

отношение

частот

не целочисленно, но рационально, то

всегда можно найти

некоторые целые числа тип,

при которых

а период результирующего колебания

Тх = пТ2 = тТъ

При иррациональном отношении частот период может быть опре­ делен лишь приближенно.

§ 3. Импульсные сигналы

Длительность существования импульсных сигналов ограничи­ вается некоторым конечным промежутком времени. Внутри заданного промежутка сигнал может обладать периодичностью, например со­ стоять из конечного числа периодов гармоничного или сложного периодического колебания. Спектральный анализ импульсного сиг­ нала может быть проведен лишь в том случае, если математическая функция, аппроксимирующая сигнал, абсолютно интегрируема и имеет конечное число минимумов, максимумов и точек разрыва. Неперио­ дический сигнал можно считать частным случаем периодического сигнала, у которого период равен бесконечности. Это позволяет проводить спектральный анализ практически любых непериодических сигналов, представляя их в виде интеграла Фурье.

9

Предельный переход от ряда Фурье к интегралу Фурье произво­ дится так

оо

Т->-со k=-co

оо

оо

оо

 

 

_1_

 

 

 

(8)

2л

 

 

 

 

 

 

 

- оо

- с о

- оо

 

 

В последнем выражении

 

 

 

 

со

 

 

 

 

S (/ш) = j x{t)

e-iat dt

 

(9)

 

- c o

 

 

 

является комплексной

спектральной

плотностью

амплитуд сигнала,

 

 

 

и

называется

—оо

позволяет представить сигнал в виде интегральной суммы бесконечно малых гармонических составляющих.

Отличие интеграла Фурье от ряда Фурье заключается в том, что интеграл Фурье представляет непериодическую функцию суммой периодических составляющих, в то время как ряд Фурье предста­ вляет периодическую функцию суммой периодических составляющих. Следствием этого является то, что спектр периодического сигнала дискретен и состоит только из гармоник основной частоты; спектр

непериодического

сигнала непрерывен и

содержит все

частоты

от

— ОО до

-{-оо.

 

 

 

 

 

Отрицательная

частота — математическая

абстракция —

по­

является

в выражении интеграла Фурье

в результате

комплексной

формы записи. Если оперировать только положительными частотами,

то

каждой частоте со будут соответствовать две функции: sin со£

и

cos

cot. Этого можно избежать, введя комплексную функцию вида

е; °",

единственную для каждого значения частоты. Помимо комплекс-

10

ной формы записи интеграла Фурье применяется и тригонометри­

ческая форма (синус—косинус

преобразования

Фурье)

 

 

 

 

со

 

 

 

 

со

 

 

 

х (£) =

—

f а (со) cos соЫсо +

— \ъ (со) sin со* сйо,

(10)

где

 

 

о

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

со

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а (со) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j* х (г) cos coi dt;

 

 

 

 

 

 

- с о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

£ (со) =

 

соJ х (г) sin coi Л ,

 

 

или

 

 

 

- с о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

со

 

 

 

 

 

 

 

 

 

я (0 = 4" J Л

И

с 0 8 ! ® * -

Ф И ) * » .

(11)

где

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

Л (со) = [а2

(со) + Ъг

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/

 

\

 

*

6 (со)

- ^ .

 

 

 

 

 

Ф

(со) =

 

arctg

— 7

 

 

 

 

 

^ v

'

 

0

я (ш)

 

 

 

Последнее выражение позволяет представить комплексную спект­

ральную плотность

непериодического

сигнала в

виде

 

 

 

 

5 (/со) =

А (со) е-'* «°>.

 

(12)

Модуль комплексной спектральной плотности А (со) принято

называть амплитудным

спектром

 

сигнала,

<р (со) ••— фазовым

спект­

ром.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В общем

случае

спектральная

плотность сигнала определяется

на интервале

времени

— 0 0 ^

t

 

 

Однако

реальные неперио­

дические сигналы обычно задаются на некотором конечном про­ межутке времени ti =^ t г5 t2 и, таким образом, спектральная плот­ ность является не только функцией частоты, но и зависит от времени.

Это позволяет

говорить о спектральной плотности не

вообще,

а относить ее к

определенному моменту существования

сигнала.

Так, если при определении спектра учитывается весь предшеству­ ющий временной интервал, говорят о текущей спектральной плот­ ности сигнала (текущем спектре). Если спектральная плотность определяется для малого участка сигнала, то вводится понятие мгновенной спектральной плотности (мгновенного спектра).

Распределение энергии непериодического сигнала по спектру может быть выражено как

со оо оо

Ps=

| x2(t)dt

= ^- f Л 3

(со) cio == J" W((d)d(o,

(13)

 

- 0 0

о

о

 

И

где W (со) = —- А2 ( с о ) — энергетическая спектральная плотность

сигнала (энергетический спектр, спектр мощности).

Последнее выражение позволяет определять практическую ши­ рину спектра сигнала, т. е. область, в которой сосредоточена основ­ ная энергия сигнала,

 

<°н

ш в

оо

Рх = Р0 - I -

= | W (со) Ло +

| W (со) Ло + \ W (со) Ао,

где

 

оо

 

<°н

 

 

ДР = | И7

(со) dm +

| И7 (со) du> — энергия,

весьма малая по сравнению с полной энергией сигнала, а сон и сов — нижняя и верхняя граничные частоты спектра, при которых вели­ чина энергетической спектральной плотности ниже некоторого за­ данного значения.

Ограничение спектра непериодического сигнала полосой от ниж­ ней частоты сон до верхней граничной частоты сов неизбежно при­ водит к искажению формы сигнала, а следовательно, к утрате не­ которой части информации. Поэтому в каждом отдельном случае определение ширины спектра А со = сов — сон должно проводиться как с позиции передачи максимума энергии, так и с позиции допу­ стимых искажений формы сигнала.

Реальные непериодические сигналы существуют в течение опре­ деленного промежутка времени от tt до 12. С информационной и энер­ гетической точек зрения не все участки сигнала равноценны: часто начальный или конечный (или оба вместе) участки переносят и

малую энергию, и весьма несущественную

информацию. Поэтому

имеет смысл говорить об эффективной длительности сигнала

 

 

Тэф = (<2 — А*) — (*1 +

А*)-

 

( 1 4 )

Эффективная длительность сигнала и практическая ширина спек­

тра вполне однозначно

связаны выражением

 

 

 

 

 

- в

t,-At

 

 

 

 

Р 0

= jV(co)dco =

|

х2

(t)dt.

 

(15)

 

 

 

tt+M

 

 

 

 

Таким

образом, практическая ширина

спектра

А со = 2л А/

опре­

деляется

эффективной

длительностью

сигнала.

В общем

случае

для любого непериодического процесса справедливо следующее соотношение

А / т 9 ф = А ; ^ 1 ,

(16)

12

Смотрите также файлы