Файл: Айзенберг И. Механизмы возбуждения ядра. Электромагнитное и слабое взаимодействия.pdf

сти состояний фотона,

получаем

со

0

X

X $[<P 1 j (r) I a> . e x — с <p I p w

(r) I a> 6 W ] eik"" dr X

X J [J (r') • гі-ср*

(r') 6X 3 ] e -

r' dr' -

CO

—

f dQ f codec У — і

X

4л2 с3 J

J

^

cft0+(o

о

ц

x 5 [ J ( r ' ) - S ( l - c p e ( r ' )

6M ale«kT'rfr' X

X J [<P ІІ (r) I a) -e*-c

<6 [ p" (r) I a> 6^] e - ' k - r dr,

(5.15)

< n ^ " | 0 = - - ^ f d . Q

f c o d c o Y — і — х

4 л 2 с 3

J

J

ш^с/г0фсо

—-СО

Д,

X S [<Р і j (г) | a> • s l - c

<р I pN

(r) I a> 8 U ] e - j k ' r

dr X

X$ [J(r ' ) - £ > - C p '(r ' ) 6 a 3 ] e i k - r 'dr',

(5.16)

где немой индекс р. заменен

на А,. Суммирование по поляризацион­

ным состояниям можно выполнить, если воспользоваться

соотноше­

нием

2 « £ е ь = 7 ,

(5.17а)

где I — единичный аффинор

или, что эквивалентно,

2х( е х ) „ Ы ь = й а Ь .

(5-176)

$ J ( r O - 8 3 e i k r ' d r ' = §J(r')-kei k -r 'dr'==

с

- j j ( r ' )

• V ' e i k - r 'dr' =

ico

с

• j ( V ' - J ( r ' ) )

e i k ' r '

dr' =

ico

=

— с ^ - j p e ( r ' ) e i k - r '

dr'.

(5.18)

Аналогичное соотношение получится

для ядерного

про странства

если воспользоваться

(4.5). Таким образом,

<f\M"\i>

=

4я2 с3 - J

J

ck0+a

X j [ < 6 | j ( r ) | a > . J ( r ' ) + c 2 ( l + 2 ^ ) <p[p" (r)|a> p«(r')'

X

X e i k - < r ' - r )

drdr'.

(5.19)

Интегрирование по углам дает

^ й е і к - ( г ' - г > =

—

few*—е-ш*'с),

(5.20)

где

R — \ г — r ' I . Тогда

<Plj(r)|a> - J(r')

+

+

C 2 ( i + 2 £ * £ ) < p | p " ( r ) | a >

p . ( r ' )

e i ( o « / f _ e — ішД/с drdr'.

(5.21)

Интегрирование по со теперь

может быть выполнено,

если мы

укажем, как обойти

особенность

при со = —ck0.

Первоначально

введя соответствующие граничные условия. В данном

случае вы­

ходящая фотонная волна eik°R/R

[в выражении (5.8) или в ниже­

следующем выражении (5.22)]

в согласии с принципом

причин­

ности должна соответствовать

запаздывающему, а

не

опере­

жающему взаимодействию. Это требует замены ck0 на ck0

Ц- щ, т. е.

довой

плотности, поскольку величина ei c o R / 'r — е - ' ш / ? / с в этой

точке

равна нулю.

149

/

ния. Контур для члена

eiaR/c

замыкается

в верхней полупло­

скости и поэтому не содержит полюса при со =

—ckg — іт). Контур

для e~'iaR/c

должен замыкаться

в направлении

по часовой

стрелке

в нижней

полуплоскости

и давать полный вклад, т. е.

< / | Л П О = ~ J [ < P l i ( r ) | « > - J ( r ' ) -

- с 2 <р | р " (г) | о> • р« (г')] є ' * ' ^

'

dr dr',

(5.22)

что соответствует формуле (5.5). Итак, мы явным образом

показа­

ли эквивалентность полуклассического и «более

квантовомеханиче-

ского» подходов.

G(r,

г ' ) = -

| г - г ' |

=

V

= 4яі£ 0 2 j L (k0

r<) YIM (r<) At (K r>) YLM

(r>),

(5.23)

LM

где hi — сферическая

функция

Ганкеля

первого

рода,

г> обозна­

чает тот из векторов

г и г ' , который имеет большую

абсолютную

величину, а г< — аналогичный

вектор

с меньшей

абсолютной ве­

личиной. Это разложение соответствует скалярным членам

плотно­

стей, входящих в выражение (5.5). Для

членов,

соответствующих

3-векторам токов, необходимо иметь разложение

функции

Грина,

содержащее единичный аффинор:

G(r,

r ' ) = I ^

- — ,

(5.24)

где

І — единичный аффинор, или идемфактор, из формулы

(5.17).

Он

выражается через

сферические

базисные векторы (2.39):

" = 2 Sn ї ї -

2 ( - № In І - » .

(5-25)