Файл: Айзенберг И. Механизмы возбуждения ядра. Электромагнитное и слабое взаимодействия.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 221
Скачиваний: 0
С помощью формул (5.23) и (5.30) нетрудно получить разложе ние по. мультиполям матричного элемента оператора энергии взаимодействия (5.5) или (5.22):
</1 Ж" | і у = - ^ р - 2 1 2 |
$ <Р І і СО! а >'А1м (и а ) d r х |
СLAf { й 0
ос
X $ J(r') - B L A ,(r'; a)dr' +
г
оо Г
|
+ И $ < Р П ( г ) | а > . В ш ( г ; а) dr J J (г') -Мм |
(г'; a)dr' — |
||
|
по |
о |
|
|
|
со |
со |
|
|
- с 2 |
J <6 | р" (г) | а> j L (k0 |
г) YIM (?) dr 5 р* (г') AL (k0 |
Ґ) YLM (f') Я Г ' - |
|
|
О |
г |
|
|
|
оо |
Г |
|
1 |
- с2 |
J <6 | p w (г) | а> AL (Л0 |
г) YLM (?) dr J р* (г') / L |
(ft0 |
г') П м (?') dr' . |
|
о |
о |
|
J |
|
|
|
|
(5.31) |
Этот результат показывает, что, поскольку электрон может прони кать в ядро, матричный элемент оператора взаимодействия для данного мультиполя невозможно представить в виде произведения интегралов по ядерному пространству и по электронному пространст ву. Необходимо определить электронный ток и выполнить интегри рование по координатам электрона, один предел которого входит
вкачестве аргумента в ядерное подынтегральное выражение.
Единственное важное исключение появляется для случая kR С 1- В этом случае очень просто получить [113], что объем ядра дает весьма малый вклад [порядка (kRf] в матричный элемент операто ра взаимодействия и поэтому может не учитываться. Последнее реализуется заменой предела интегрирования г в выражении (5.31) нулем, так что два интеграла не дают вклада, а два других включают
интегрирование |
по всему пространству. |
Кроме того, в |
пределе |
|
kR |
1 можно |
воспользоваться теоремой |
Зигерта [см. |
(4.22)— |
(4.24)], чтобы заменить кулоновские матричные элементы попереч ными электрическими матричными элементами. Тогда ядерные ма тричные элементы, которые появятся в выражении (5.31), будут совпадать с теми, которые описывают процесс с реальными фотона ми [см. (4.70)—(4.72)]. Таким образом, в длинноволновом пределе динамические свойства ядра входят в формулы, описывающие элек тровозбуждение ядра, так же, как они входят в формулы для фото возбуждения.
§ 5.3. Результаты борновского приближения с плоскими волнами
Интегралы по электронному пространству в формуле (5.31)
в принципе известны с любой точность.ю, которая может |
потребо |
||
ваться. Плотности электронного тока и заряда берутся |
|
в виде* |
|
или |
|
|
|
^ ( r ' ) = i e c V ( r ' ) Y ^ l ) p ( r ' ) , |
|
|
(5.326) |
где a — «скоростная» матрица Дирака, |
(р. = 1, 2, |
3, 4) — |
|
обычные** матрицы Дирака. Величины"ф являются четырехмерными
спинорами для релятивистского электрона |
и |
|
|||
V |
(г') = № |
(г') ? 4 = |
№ (г') P. |
(5.32B) |
|
Обычно функции я|)(г') |
берутся |
либо |
в виде |
решения |
уравнения |
Дирака в статическом кулоновском поле ядра, либо в виде волно вых функций Зоммерфельда и Мауэ, либо они могут рассматри ваться в некотором высокоэнергетическом приближении (см. § 5.6). Однако физические результаты рассеяния электронов проявляются наиболее отчетливо, когда я|з берутся в виде плоских волн. Это грубое допущение справедливо даже количественно для легких ядер, особенно при рассеянии вперед. Приближение можно улуч шить с помощью вычисления последующих членов более высокого порядка в разложении по ZeV(hc) « Z/137, которые описывают кулоновское искажение волновой функции. Выбор плоских волн для электронной части выражения (5.5) называют борновским при ближением с плоскими волнами (БППВ), в то время как исполь зование искаженных электронных волн, соответствующих взаимо действию с обменом одним фотоном, мы будем называть борновским
приближением с |
искаженными волнами*** (БПИВ). |
* При выборе |
электронных волновых функций для использования их |
в формулах (5.32) существенно, что мы рассматриваем рассеяние электронов, а не другие типы взаимодействия электронов с ядрами, такие, как внутрен няя конверсия или образование пар в поле ядра. В других аспектах наше рас смотрение является достаточно общим для описания любого из этих альтер нативных процессов. Так как для обоих из них обычно выполняется условие kR <g 1, динамические свойства ядер, которые определяют процесс, могут рассматриваться тем же способом, что и при высвечивании с испусканием ре
альных |
фотонов. |
|
** |
Система записи и |
обозначения введены в Приложении Б, в котором |
дан краткий обзор теории |
Дирака. |
|
*** Существенно, что промежуточный фотон не только дает вклад в иска жение электронной волновой функции в статическом кулоновском поле ядра, но также принимает участие в возбуждении или высвечивании ядра. Если рассматривается взаимодействие более высокого порядка, "чем описываемое фор мулой (5.5) (см. § 5.6), то бывает очень трудно каким-лнбо'разумньш спосо бом разделить эти эффекты,
Если в формулах (5.32) взять волновые функции электрона в виде плоских волн, то крайняя простота выражения для электрон
ного тока приводит в БППВ |
к виду матричного элемента, который |
|
легко интерпретировать. Имеем |
|
|
1 р р ( г ' ) = £ - 3 / = е ! Р - г ' / й « ( р ) , |
(5.33а) |
|
грр ,(г') = Ь - 3 / = е ! Р ' - г ' ^ ы ( р ' ) |
(5.336) |
|
и |
|
|
(г') = iecL-3 |
(й (р') уц и (р)) e i k ' r ' . |
(5.33B) |
Функции орр (Г') нормированы |
на единицу в объеме |
L? так, чтобы |
можно было пользоваться «золотым» правилом (5.1) зависящей от времени теории возмущений:
(r')^p(r')rfr' = 6P p.. |
(5.33Г) |
Величины и (р) и и (р') являются дираковскими спинорами в им пульсном пространстве, удовлетворяющими уравнению (см. При ложение Б)
(р— шс)и(р) =—if3 ^а-р——-f-pmcj и(р)= 0. (5.34а)
При этом
« + ( р ) « ( р ) = 1 , и(р)и(р) = ^ \ |
(5.346) |
Е
В формуле (5.33в) k = q/Д = (р — р')/& — волновой вектор пере данного импульса. Если теперь разложить по мультиполям пло скую волну в выражении (5.33в), подставить разложение в формулу (5.31) и результат проинтегрировать, то получится матричный элемент взаимодействия в БППВ. Однако тот же результат можно получить значительно проще, если выражение (5.33в) прямо под ставить в формулу (5.5). Тогда
< / | ^ * | 0 = - ^ a J < P | / | 4 ( r ) | a > x
X е ',*''Г ~' ' fr(p') уд и (р)) e'k-r' dr dr'.
После замены переменной г' на переменную R = r ' — г жение принимает вид
' 1 |
1 |
|
kcL3 |
|
|
|
|
СО |
|
х 5 О I /и (г ) I a > e i k ' г d r |
S e i k ° R s i n k %d R |
= |
||
|
|
|
0 |
|
4яіе |
(й(р')уи(р)) |
С |
. |
|
= — J J |
|
|
<P 1» (г) a>e |
d r - |
(5.35)
это выра
(5-36)
cL3 |
k2—ko |
J |
Величина
L - ft2—fto которая входит в матричный элемент]
<f | Ж" | /> = l- J <6 | /V (г) | а> (г) dr, |
(5.38) |
называется потенциалом Мёллера. Он представляет собой 4-потен- циал, создаваемый током электрона, описываемого плоской волной.
Далее мы должны выполнить разложение по мультиполям для плоской волны в выражении (5.36). Воспользуемся для этого ме тодом, изложенным в § 2.4, где было показано, что удобно отдельно рассмотреть поперечные и продольные плоские волны. В данном случае можно аналогичным способом выделить в операторе ядер ного тока поперечную и продольную части (см. также § 1.1). Вве дем операторы ядерного тока, поперечные и продольные по отноше нию к волновому вектору потенциала Мёллера:
j ' = fcx(j xk), j ' = j -kk, |
(5.39a) |
где |
|
j = j ' + j ' . |
(5-396) |
Тогда из уравнения непрерывности для ядерного тока |
(4.5) полу |
чаем |
|
j <61 /0 1 а> е " •' dr = j ±- • <р | j I сс> е * •r dr = |
|
= • — f <p |/'|a>e i k - r dr . |
(5.40) |
Соответствующее разделение на поперечную и продольную части может быть осуществлено и для самого потенциала Мёллера. Для
этого в выражении (5.37) запишем |
|
a ' = k x ( a x k ) , a ' = a k k , |
(5.41а) |
а = - а ' + а ' . |
(5.416) |
Уравнение непрерывности для электронного тока |
приводит тогда |
к «условию Лоренца» для потенциала Мёллера. Получаем из (5.34)
^ = |
2ПІ\^ |
( " < Р ' ) ( Р - Р 1 ) " ( Р » = 0 |
( 5 " 4 2 А ) |
n(k2~ko)Ls |
|
|
|
или |
|
|
|
|
а0= |
— • а = — а'. |
(5.426) |
Формулы (5.36)—(5.38) |
принимают вид |
|
|
</1 Ж" | і) = — L J [<р | (г) | а> -а' + <Р і j ' (г) | а > ' . а « -
|
- < P l / o ( r ) | a > a 0 ] e » < - ^ r = |
|
||
~ J |
< p | j < ( r ) | a > - a ' - c ( l - | f j < p | p w ( r ) | a > c 0 |
e i k ' r d r = |
||
|
~ j KP І І' (г) I a> - а ' - с <P I Pw (r) I a> 6] e^'dr , (5.43) |
|||
где |
|
jne |
(u (р')уі и (p)) |
|
|
b = |
(5.44) |
||
|
|
L 3 |
fe2 |
|
|
|
|
||
Если бы с самого начала |
мы пользовались кулоновской |
калибров |
||
кой, то это выражение появилось бы непосредственно из мгновенного кулоновского взаимодействия (см. § 3.3 и 5.6), что соответствовало
бы |
в формуле (5.5) частному случаю /г0 = 0 для |
времениподоб- |
||
ных |
членов |
и опусканию |
членов, в которые входит продольный |
|
ток. |
Главное |
преимущество |
подхода, основанного |
на использова |
нии формулы (5.5) в рассмотренном нами виде, заключается в том, что она годится для ковариантного описания процессов с участием электронов и поэтому используется довольно часто. Наконец, по скольку вектор I і автоматически ортогонален вектору а', можно воспользоваться формулой (5.416), чтобы переписать матричный
элемент |
энергии |
взаимодействия в виде |
|
|
||
< / | # Г |
| i > = |
j - J [ < P | j ' ( r ) | a > - a - c < P l p " |
(r)|a> b]e*"dr |
= |
||
|
C«(p-) |
J |
r d r e ' k - r |
i < p l i ' ( r ) | t t N + i c < p l p ^ r ) | a > Vi "(P) = |
||
cL3 |
\ |
{ |
k2 — ko |
k* |
|
|
|
= (" (P') [V • Y + V4 yt] и (p)) = (й(р') V и (p)). |
(5.45) |
||||
Сечение рассеяния электрона выражается формулой (5.4), в ко торую входит матричный элемент (5.45). После усреднения по на чальным состояниям спина электрона и суммирования по конечным спиновым состояниям появляется следующее выражение для слу чая рассеяния неполяризованных* частиц:
|
spin |
|
|
= ^ S p |
о о р'с+ипс2 |
рс-ігітс2 |
V*VV^ |
2 ^ |
2i£' |
2Ш |
|
= |
[(РІ ^ ) * (Pv vv)+(рд |
у д у (p; v v ) - |
|
(5.46)
* Эффекты поляризации электрона и ориентации ядра при электронном рассеянии анализировались в работах [130, 28, 203, 347, 174, 358]. Если использовать ориентированные ядра, то появляются интерференционные члены между ядерными матричными элементами различной мультипольности, и можно надеяться, таким образом, отделить их вклады.
