Файл: Айзенберг И. Механизмы возбуждения ядра. Электромагнитное и слабое взаимодействия.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 220
Скачиваний: 0
где для вычисления этих спиновых сумм мы использовали обычную технику суммирования и усреднения, которая рассмотрена в При ложении Б. Отделяя пространственные и временные компоненты в формуле (5.46), можно записать сечение (5.4) для случая отсут ствия поляризации электрона в виде
da |
2е2 |
1 |
X |
dQ' |
%*с* \ р ) |
2Jt + l |
££'+c2 p.p'+m2 c4 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
<P|p w (r)|a>e i k - r d r I2 - |
|
|||
MTMF |
|
|
|
|
|
|
|
|
ЕЕ' — с 2 |
р р ' — пі1 |
0і |
|
|
|
|
||
с2 |
[k2-klf |
|
<P| j ' ( r ) | a > e i l { - r d r | 2 + |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
+ |
p-<P| |
j ' ( r ) | a > e i k ' r r f r |
2 |
( £ + £ ' ) |
|
|||
fc» (Aa-fe8) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||
x R e 5 < p | p A ' ( r ) | a > e i k - r d r [ 5 p . < P | j ' ( r ) l a > e i k ' r r f r ] * } ' ( 5 ' 4 7 ) |
||||||||
где введены средние no 2Ji |
+ 1 проекциям спина |
начального со |
||||||
стояния ядра Ji (соответствующие магнитные |
квантовые |
числа |
||||||
обозначены через МЇ) |
и |
сумма по магнитным |
квантовым |
числам |
||||
Mf, соответствующим |
спину |
конечного СОСТОЯНИЯ |
Jf. |
|
||||
Теперь можно выполнить разложение по мультиполям для ядер |
||||||||
ного матричного элемента в выражении (5.47). Пользуясь форму лами (2.104) и разложением поперечной плоской волны (2.106), получаем
|
S <Р I |
( r )|a> e i k " r dr |
= |
|
|
||
= Y4n?L(JtLJf\MtMMf)Dh0(y, |
|
6, 0)ЛЛ,«(к; |
CL) (5.48) |
||||
|
LM |
|
|
|
|
|
|
|
5<p|j' (r)|a>e'k -'dr |
= |
|
|
|||
= |
І 2"% 2 L (Jt |
LJf |
I Mt MMf) |
2 |
№ |
(Ф, 6, |
0) x |
|
LM |
|
Ц = |
± 1 |
|
|
(5.49) |
|
Х І ( і [ Я Р а ( к ; ML)+\iN^a(k; |
EL)], |
|||||
где 6 и |
ф — полярный |
и |
азимутальный |
углы, |
описывающие на |
||
правление переданного импульса Ак. В формуле (5.48) также ис пользовано выражение
DMO(V, 8, 0) = ^рПм(В, |
Ф). |
(5.50) |
L |
|
|
157
Приведенные матричные элементы в формулах (5.48) и (5.49) опре деляются следующим образом:
(JiLJf\MiMMi)N^(k; |
CL) = |
|
|
= |
i L j j < 6 | p " (г) I а> j L (kr) YUA (f) dr, |
(5.51a) |
|
|
( У і І У / | М І М Л ! / ) ^ р в ( к; |
EL) = |
|
= |
і * - + 1 $ < Р І І ( г ) | а > . А ш ( г ; e)dr, |
(5.516) |
|
(JiLJf\MiMMf)Nlia(k; |
ML) = |
|
|
= i L $ < 6 | j ( r ) | a > - A L M ( r ; |
m)dr, |
(5.51B) |
|
где мы опустили |
значок t у оператора j ' , |
поскольку |
мультиполя, |
обозначаемые индексами е и ш, поперечны, и поэтому |
продольный |
||
ток не дает вклада в (5.516) и (5.51в). Приведенные матричные эле менты в формулах (5.51) определены таким образом, что в силу инвариантности по отношению к обращению времени они должны быть действительными (см. §5.5).
Усреднение и суммирование по начальным и конечным подсостояниям ядра легко выполняется с использованием техники, опи
санной в Приложении А: |
|
|
1 |
У |
(JlLJf\MlMMf)(JiL'Jf\MiM'Mf)x |
2Jt+1 |
|
|
|
Х/>л^(Ф, |
6, 0)£>л/-;-(Ф, Є, 0) = |
2Ji + l
1
2Ji-\-\ 4d 4d
X {Jі L'Jj I Mt Mf—Mi Mj) (LL'X I MJ—МІ Mt—Mt 0) x
|
X ( L L ' 2 | | x - u > - ^ ) £ > S - ^ |
(Ф. e> °) = |
|
|
|
2Jf+l |
S L L , -^(-1)р+^ |
(LLX\p-pO)X |
|
|
2Jt + \ |
2 L + 1 |
|
|
|
|
SSp |
|
|
|
XiLLZly.-v.'v.-MDg^.to, |
0, 0), |
(5.52a) |
|
где суммирование no Mj проводилось при фиксированном р = |
Mj — |
|||
— Mt. |
Далее |
|
|
|
|
|
2 ( - 1 ) р ( Ш . | р - р 0 ) = |
|
|
|
|
р |
|
|
= |
2 (— l)LL(LLX |
\ р — рО) (ZX0| р — р0)= (— 1)L І б ^ о , |
(5.53) |
|
|
р |
|
|
|
и выражение (5.52а) дает
2 7 7 +1 |
6LL, |
|
2Jt + 1 |
2L +1 бцц- |
(5.526) |
Символ Кронекера, который требует равенствами |
р.', гарантирует, |
|
что поперечный и кулоновский члены не могут |
интерферировать |
|
в формуле (5.47), поскольку первый имеет | р.| = 1, а второй р, = 0. Таким образом, последний член в формуле (5.47) не дает вклада, если
отсутствует как |
поляризация электрона, |
так и ориентация |
||
ядра. Для других |
членов, содержащих поперечные матричные эле |
|||
менты, |
имеем для случая только поперечного электрического или |
|||
только |
магнитного мультиполя |
|
||
|
|
2 |
^ - 1 Л ' б ^ = 2. |
(5.54а) |
Однако для случая смешанных е- и m-мультиполей интерференция снова отсутствует, поскольку
|
|
2 |
Під |
6 ^ = 0. |
(5.546) |
|
|
Ц | Ц ' |
= ± 1 |
|
|
Наконец, |
мы имеем |
члены, которые |
содержат |
|
|
|
2 |
(Р-Ы(Р-1^)6^< = Р 2 - ( К - Р ) 2 |
= |
||
= |
( Р - kk • р) • (р + kk • р)=(р' - к¥. р') • (р+кк . р)= |
||||
|
|
= р-р'-(к.р)(к.р'), |
(5.54в) |
||
|
|
2 |
Н - (Р - Ы(Р - 1^)6^ = 0. |
(5.54г) |
|
|
Ц . Ц ' = ± 1 |
|
|
|
|
Подставляя их в формулу (5.47), получаем следующее выражение для дифференциального сечения рассеяния неполяризованных элек тронов на неориентированных ядрах:
dQ' |
(kc)* \ р J 2Л- + 1 Т І |
k * |
" — [ I Ща (к; EL) |2 + 1 T V (к; ML) |2 ]} . (5.55)
Впределе ультрарелятивистских электронов с малой потерей
энергии (Е, Е' > mc2, lick0) оно принимает вид
da dQ'
+ -^-(4- + ^ 2 ^ 9 ) [ 1 ^ а ( к ; £L)P + | ^ p a ( k ; M L ) | 2 ] } , (5.56а)
где 6 — угол рассеяния, а |
величина |
|
|
|
cos2 |
— О |
|
* Л , = |
( § ) |
2 — |
(5-566) |
|
sin4 |
— О |
|
|
|
2 |
|
является сечением моттовского рассеяния электронов очень боль шой энергии на кулоновском силовом центре с зарядом Ze.
Как видно из (4.70) и (4.71), приведенные матричные элементы для поперечных мультнполей, входящие в формулы (5.55) и (5.56), пропорциональны матричным элементам, которые входят в вероят ности фотопоглощения и фотоизлучения. (Разумеется, для реальных фотонов волновой вектор к по абсолютной величине равен /е0.) Кулоновская часть сечения электронного рассеяния также может быть связана с величинами, описывающими процессы с реальными фотонами, но только для малых переданных импульсов kR<^i 1. Для этого случая теорема Зигерта в форме (4.24) позволяет устано вить связь
& C L ) - І | / Z + 7 N * a ( k ; E L ) - |
( 5 ' 5 7 ) |
Кулоновский матричный элемент дает вклад при тех же самых усло виях по спину и четности, которые разрешены для £Т-перехода*. Эти результаты показывают, что для малых переданных импульсов процесс электронного рассеяния эквивалентен процессам с участием фотонов; поэтому электровозбуждение не будет давать новой инфор мации, если не имеется поляризации. Можно считать, что рассея ние электронов дает то спектральное распределение фотонов, кото рое определяется коэффициентами перед приведенными матричными элементами в формулах (5.55) или (5.56). Для данного набора кине матических переменных электрона указанные коэффициенты опре деляют эквивалентный спектр фотонов, приводящий к тому же про цессу рассеяния.
Как видно из формулы (5.57), вблизи области, в которой про исходит рассеяние вперед, кулоновский мультиполь дает вклад в рассеяние электронов, сравнимый с вкладом поперечного элек трического мультиполя. Однако это верно только в той области, где электроны создают виртуальные фотоны, которые не сильно отличаются от реальных фотонов. При рассеянии на большие углы кулоновский мультиполь имеет тенденцию становиться значитель но больше электрического мультиполя. Как впервые было указано
* Переход без Гпередачи углового момента, т. е. £0-переход, может су ществовать для кулоновского члена, но не для поперечного электрического мультиполя.
