Файл: Айзенберг И. Механизмы возбуждения ядра. Электромагнитное и слабое взаимодействия.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 228

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Гамильтона в

уравнении

(5.96).

Собственные значения

К обозна­

чаются

—к и

являются

целыми

числами; % =

±

(/ +

1/2),

где

/ (/ + 1 )

— собственное значение

j 2 . Операторы

Я ,

К, j 2 и / г

обра­

зуют набор коммутирующих операторов, и их собственные функции могут быть записаны в виде

 

 

8(г)Ц

N

(5.98)

 

 

і/(Ох*

 

 

 

 

 

где ц. — собственное значение Д,

а х£

выражается через спиноры

Паули

%'":

 

 

 

 

 

 

т \ z

 

!

(5.99)

 

 

 

 

Здесь

/ =

1 — 1/2,

 

 

 

 

 

•Л

Д Л Я '

% > 0 ,

(5.100)

 

 

— к—1

для

tt<0.

 

 

 

Радиальные части в (5.98), соответствующие энергии Е, удовлетво­ ряют следующим уравнениям:

df

у. — \ f-.±.(E-nu*-V

(r))g(r),

dr

 

he

 

Jj*

= _ ? i ± I g + ± ( E

+ mc*-V (r)) f (r)

dr

г

he

 

и нормированы

так, что

 

 

 

оо

 

 

 

I (f*+g2)r>dr =

&(E-E').

Волновые функции начального и конечного состояний могут быть разложены по этим решениям:

 

•ф™ =

4 я

( Л Й 3 С 2 \

і / 2

X

 

 

 

V2p£L3

 

 

х 2

і ' е + , Ч / 4 - / ^ - » г т і і ) п д _ т ( р ) ^ ,

х,

ц

 

 

 

 

 

.

/

life3 С 2

\ l

/ 2 w

 

T f

V 2р' £ ' L 3

У

 

(5.101a)

(5.1016)

(5.102)

электрона

(5.103а)

х Ц і ' е - ' Ч г і / И , - т т | * ] У ? ^ - и ( р ' ) * й , (5.1036) X, Ц N ^

где индекс т характеризует поляризацию электрона. Здесь

Ок = гы 1- 'пух—arg

Г (Y„ + iv) + -і-(/ + 1)я,

(5.104а)

где

 

 

 

y = Ze*E/Tipc2,

yx = y%1 — (Ze2ri>c)2

(5.1046)

и

 

 

 

е21т)к=_к-іутсЧЕ

5 л 0

4 в )

Для малых значений квантового числах, таких, что 1 ^

\к | ^

10,

электронные волновые функции довольно сильно отличаются от нуля в области пространства, занимаемой ядром, и уравнения (5.101) для / и g должны решаться численно с потенциалом, напри­ мер, в виде зарядового распределения Ферми (5.78). Для больших значений х электроны не проникают в ядро и их волновые функции

могут

считаться

такими же, как и для точечного

ядра,

а именно

[290,

стр.

194]

 

 

 

 

 

 

 

 

rf (г) = -

(Е-=^-У'2

Л * * 1 Г ( 7

* + 1 У ) 1 (2АгЛ х

 

 

 

 

V nhpc* )

Г ( 2 ? я + 1)

 

 

 

x\m{{y„

+ \y)№z-""1Fx{\+yK

+ \y, 2y* + \,2[kr)},

(5.105а)

 

 

 

V яйрс2 У

Г ( 2 7 и + 1 )

 

 

 

x R e K Y H + i ^ e ' ^ e - ' ^ O + Y H

+ ii/,

2ук + ї,

2і£/-)}.

 

"(5.1056)

Такой

вид парциальных

волн

должен

сохраняться

вплоть до

j>tj — 30 или даже при еще больших значениях

[х|

[308].

Радиальные волновые функции, полученные таким способом, подсгзвляются затем в формулы (5.103), которые в свою очередь используются в выражении для электронного тока при вычислении матричного элемента энергии взаимодействия в формуле (5.31). По­ скольку большинство таких расчетов следует выполнять на быстро­ действующих электронновычислительных машинах, то здесь неце­ лесообразно продолжать дальнейшие обсуждения. Подробное опи­ сание вычислительной методики как для кулоновской, так и для поперечной частей сечения дано Зиглером [367].

Расчеты в БПИВ для кулоновской части сечения электронного рассеяния были выполнены авторами работ [177, 263, 264]. На рис. 5.10 дано сравнение их результатов с результатами расчетов в БППВ кулоновского квадрупольного матричного элемента для ядра с Z = 90. Ясно, что борновское приближение с плоскими вол­ нами совершенно неудовлетворительно при больших углах, особен­ но вблизи дифракционных минимумов. С другой стороны, при меньших углах результаты расчетов в БППВ и БПИВ довольно

7 Зак . 1193

177

хорошо согласуются, при условии что используемый для расче­ тов в БППВ радиус ядра увеличивается приблизительно на 10%. Этот эффект известен из упругого рассеяния электронов [363, 364, 189]. Он возникает потому, что под влиянием притягивающего кулоновского потенциала кинетическая энергия электрона увели­ чивается и, следовательно, увеличивается его импульс и переданный импульс. Соответствующее увеличение переданного импульса мо-

1000 \ : 1

Уго/і рассеяния, град

Рис. 5.10. Сечение кулоновского рассеяния на ядре с Z=90 с однородным распределением заряда в БПИВ (пунктирная кривая) для радиуса ядра ^=4,6 ферми и в БПИВ (сплошная кривая) для /?=5,2 ферми. Изучаемое возбуждение — электри­ ческий квадруполь [177].

жет быть искусственно введено в БППВ путем увеличения размеров ядра, так как для рассеяния вперед процесс рассеяния определяет безразмерная комбинация kR. Изменение переданного импульса, обусловленного кулоновскими поправками, будет количественно обсуждаться ниже [см. формулу (5.126)]. Соответствующее измене­ ние радиуса ядра приблизительно описывается кривой на рис. 5.11.

Хотя (см. [367]) в рамках БПИВ можно выполнить расчеты в общем виде, получаются значительные численные упрощения, если ограничиться кулоновскими мультиполями. Такие упрощения возможны для многих £Т-переходов, хотя не очень легко сформу­ лировать общие критерии, определяющие малость вклада попереч­ ных электрических мультиполей. Чтобы убедиться, насколько

мал этот вклад, обычно необходимо выполнить оценки в рамках БППВ. Разумеется, если поперечные электрические мультиполи не учитываются, а вклад от кулоновских остается, расчеты перестают быть формально калибровочно инвариантными; однако при этом можно получить вполне удовлетворительные численные результаты [177; 39, стр. 202—239]. Естественной исходной точкой для таких расчетов является формулировка описания электронного рассея-

Изменение

радиуса,%

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

і

і

і

і

20

40

60

80

Z

-80

-60

-40

-20 / 0

(Позитроны)

 

*

 

(Электроны)

 

 

/

 

 

-12

 

 

 

 

 

Рис. 5.11. Относительное изменение эффективного радиуса ядра для случая, когда БППВ используется для квадрупольных возбуждений. Кривая получена с зарядовым рас­ пределением Ферми [177].

ния с помощью кулоновской калибровки. До сих пор мы описывали запаздывающее ток-токовое взаимодействие электрона с ядром, используя электромагнитные потенциалы, которые удовлетворяли условию Лоренца. Это привело к формуле (5.22)

</1 Ж" |і> = — - І - Г <р|/ д ( Г ) |а >

е ' М Г Т '

' h (г') dvdt'.

(5.22')

с J

І г г

I

 

Если бы с самого начала мы использовали для потенциалов кулоновекую калибровку, то энергия взаимодействия включала бы запаздывающее взаимодействие между поперечными частями токов и мгновенное кулоновское взаимодействие между плотностями заря­ дов (см. § 3.4):

(!\Ж"\0=

- 4

f — J _ [ < p | j ' ( r ) | a > . j ' ( г ' )

е'

 

с2

J | г — г ' |

 

 

Здесь величина

— с 2

<81 pN

(г) | а> р6

(г')1 dr dr'.

(5.106)

 

 

 

 

 

 

 

j ( ( r ' ) =

j ( r ' ) _

j ' ( r ' )

(5.107а)

является соленоидалы-юи

величиной, а величина

 

J1 (г') =

— — V ГV " " J ( r " )

dr"

(5.1076)

V

4я J | r ' - r " |

 

V

— безвихревой, точно так же, как и в формулах (1.20) и (1.21). Ана­ логичное утверждение справедливо и для величины <fS|j(r)|a>.

 

Действительно, используя уравнение непрерывности с обычной

временной зависимостью

для получения выражения для J'

в виде

 

 

 

j ;

(г')=

_

i f * L

у '

Г

p g ( r f , )

dr"

 

(5.108)

 

 

 

 

 

 

4я

 

J

I r'—r" j

 

 

и

применяя

далее

разложение

по

статическим

мультиполям

 

 

ІЙ0 I Г — Г' |

 

dr'=

 

л

(е«*. !«-«•" 1 — 1),

(5.109)

 

 

±

 

 

 

 

—

 

 

- г ' | | г ' - г " |

 

 

Г 5 | г _ г " Г

 

;

'

из

выражения

(5.22) для

матричного

элемента оператора

энергии

взаимодействия

с лоренцевской

калибровкой

находим

 

 

</ \Ж"\0

=

 

1—{ -—1—— [<6 | j ' (г) | а> • J' (г') е1А° Iг - г '

I —

 

 

 

 

с2 J

| г — г |

 

 

 

 

 

 

 

-

І і

<р | j (г) | a > . ( V р* (г')) (е«*. I г - г - 1 _

1 } _

 

 

 

« о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— c 2 < 6 | p w . ( r ) | a > p e ( r ' ) e l f t » l r - r '

\]drdr'.

(5.110)

Здесь перекрестные продольно-поперечные члены исчезают в ре­ зультате интегрирования по частям, а переменная интегрирования г" заменена на г'. Интегрируя по частям второе слагаемое и поль­ зуясь уравнением непрерывности для оператора ядерного тока, получаем формулу (5.106).

В борновском приближении с плоскими волнами два члена в формуле (5.106) приводят в точности к тем двум слагаемым, кото­ рые обозначены в формуле (5.55) как поперечный и кулоновский вклады. В случаях, когда важны коллективные формы движения, не содержащие ядерного тока намагничивания, поперечными ча­ стями можно пренебречь (см., например, [308]). Если в формуле (5.106) поперечные слагаемые не учитываются, то энергия взаимодей­ ствия формально не является калибровочно инвариантной. С дру­

гой стороны, можно использовать

обычное разложение по

статиче­

ским мультиполям для | г — г' |-

1 , что дает значительные

упроще­

ния без заметного влияния на численную справедливость

резуль­

татов. Такие расчеты широко проводились группой из Дьюккского университета [177, 263, 264, 283, 357], Шеком [308] и груп­ пой во Франкфурте [103, 104, 105]. С помощью такого же метода парциальных волн было рассмотрено и монопольное электровозбуж­ дение [10, 307]. Расчеты с учетом некоторых поперечных эффектов проводились авторами работы [338].

Эффекты искажения кулоновским полем могут быть также рас­ смотрены в рамках различных приближенных схем, основанных по

Смотрите также файлы