Файл: Айзенберг И. Механизмы возбуждения ядра. Электромагнитное и слабое взаимодействия.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 222

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Метод получения операторов Дирака в нерелятивистском пре­ деле включает построение ряда из последовательных унитарных преобразований, произведение которых известно как преобразова­

ние Фолди — Вутхайзена

(ФВ) [136]*. Эти преобразования строят­

ся так, что при действии

на первоначальный гамильтониан они

дают новый гамильтониан, главные члены которого включают нере­ лятивистские операторы с определенной степенью обратной массы частицы 7W- 1 , а поправочные члены- к последним имеют степень, более высокую по УИ- 1 . Таким образом, преобразование ФВ дает систематический метод получения эффективного гамильтониана,,

разложенного в ряд по величине

(импульсШс). Нам будет

нужно-

это разложение до членов порядка

М~2.

 

Рассмотрим гамильтониан общего вида

 

Ж = $Мс2

+

ё + 0,

(6.6>

где Щ — так называемая

«четная»

часть гамильтониана,

которая

коммутирует с матрицей Дирака 6, т. е.

 

W = [ff, p]- =

ffp-P#=0,

(6.7

а О — «нечетная» часть,

антикоммутирующая с р.-

 

[О,

р] + =е>р +

р о = о .

(6.8)

Четные операторы связывают большие компоненты дираковских. спиноров с другими большими компонентами и малые компоненты с малыми. Они простым образом связаны с операторами в пространст­ ве двухкомпонентных спиноров Паули в пределе малой энергии. Нечетные операторы связывают большие компоненты с малыми, и поэтому получение их вида в пределе малой энергии требует спе­

циального

обсуждени я.

 

 

 

Рассмотрим

теперь

унитарное преобразование

уравнения (6.1)

в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4" = e i

S ¥ ,

(6.9>

где S может зависеть от времени. Тогда

 

\h—=

і йе 1 6

—- + 1 н де iS

 

I S

 

 

 

 

 

 

.

dt

 

dt

dt

 

dt

 

 

 

 

 

- I S

(6.10)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

^ '

=

e i S ^ e - i 5 +

i7i dt

(6.11>

* На русском языке см. книги [7, 376]. — Прим. перев.

Заметим, что, поскольку

 

dS/dt

может

ие

коммутировать

с S,

нельзя записать

 

 

 

 

 

 

 

де

 

і — e i S

 

(неверно).

 

dt

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

Разложение Ж' по степеням 5 имеет вид

 

 

М' = Ж—П—

+ i

S, Ж

—

—

 

 

dt

 

 

2

dt

 

+

s,

S, ж —

3

dt

+

 

 

 

 

 

_

s,

S, ж —

%_ dS_

+ •

(6.12)

 

 

3!

4

dt

Для первого унитарного преобразования из нашего ряда выберем эрмитов генератор

 

 

 

 

S<«>= _ і

- і - О .

 

 

 

(6.13)

 

 

 

 

 

 

 

2Mc2

 

 

 

 

 

Тогда,

сохраняя

члены

с М - 2 ,

напишем

 

 

 

 

 

і [SO,

3th

 

1

[60, рЛГс» +

# + 0]

=

 

 

 

 

 

2Мс2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- 0

+

1

{6 [О, S1 +

2R02 },

 

(6.14а)

 

 

 

 

 

2Мс

2

 

 

 

 

 

 

і2 [so, [S( i ', Ж]] = —-—\ро,

— Q+^—{0,

 

»]+ -^-о»

L

1

J

2Мс2

м

'

^

2Мс2 1

J

^

Мс2

 

 

Мс^2

 

~ й ї Ь г [ 0 ' [ 0 -

 

~ » - 0 3 '

( 6 " 1 4 б )

 

S»), [so, [S( , \ ЭД]

 

р<9,

— ^ 0 2

 

М 2 с

0 3 . (6.14в)

 

 

 

 

 

2Мс2

 

 

 

4

При подстановке этих выражений в формулу (6.12) нечетный опе­ ратор в (6.6) сокращается с главным членом в (6.14а) , так что не­ четные операторы фигурируют только с точностью до М~х или бо­ лее высокой:

^ ( П = 8Мс2 + £ +

- £ - С > 2

+

- £ - [ 0 , 8] —

 

 

 

 

2Мс2

 

2Мс2

 

_[©,

[О,

'£]} L_<3» +

i f c - P - ^ -

 

8М2с

 

 

ЗМ2 с*

"

'

2Мс2 dt

 

8/И2 с*

о,

°£ +

члены

порядка М~э.

(6.15)

 

 

dt

 

 

 

 

 

Первые три члена, пятый и шестой члены в этом выражении являют­ ся четными (предполагается, что dOldt нечетно), в то время как

остальные члены нечетные. Чтобы исключить остальные нечетные члены порядка М~2, возьмем

S < 2 > = - i - J - ( - E - [ 0 , g ]

! _ _ 0 8 + і й - Р - ^ \ .

( 6 1 б )

Тогда с точностью до М~2

получаем

 

 

 

 

 

6 М 3 с в

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

4УИ2с*

 

dt

 

 

 

 

3M2 c*

 

2Mc2

2Mc2

6Y

 

 

 

1

 

 

 

( 6 . 1 7 )

 

4М2 с*

 

6Y

 

 

 

 

 

На этот раз взаимно уничтожаются

нечетные члены порядка

М~х,

и мы имеем

 

 

 

 

 

 

=

6УИС2 +

& +

О 2

— \0,

{О, ё]} —

 

 

м

 

2Мс2

8Л42 с4

J

 

І *

О, dt

 

1

dt

-п ^ .

( 6 Л 8 >

8М2 с*

4М 2 с 4

ГДЄ ВСЄ ЧЛеНЫ ЯВЛЯЮТСЯ ЧеТНЫМИ, Кроме ПОСЛеДНИХ ДВуХ. ЯСНО, ЧТО'

м о ж н о продолжать

эту схему, к а ж д ы й раз

беря

S < « + i ) = — і Р

X (остающиеся нечетные

члены в Ж(п)) (6 . 19)

2Мс

2

 

и таким образом увеличивая на единицу степень при М - 1 в нечет­ ных членах. В следующую итерацию последние два члена в форму­ ле (6.18) не входят и нечетные члены появляются только с точностью. М~3, поэтому можно записать

8М*с*

О, dt

+ члены порядка М~

(6 . 20)

 

 

 

Во многих приложениях, в том числе для электромагнитноговзаимодействия нуклонов [см. формулу (6.21)], О имеет вид

О=са-р

+ 0'г

( 6 . 2 1 )

где О' и Щ описывают слабое возмущение, так что членами порядка С 2 или О'Ш и более высокого порядка можно пренебречь. Тогда

мы можем написать выражение для Ж

 

 

 

 

^ = Р Л Г с 2

+

£ + р £ ; + - ? - [ а . р ,

0']+-

 

 

 

2М

2Мс

 

 

 

 

1

 

 

•л

 

 

50'

+

8М2с2 - [ а - р ,

[а-р, $]_]_ — 8Л'Рс3

а-р,

 

+члены

порядка

Щ~3, О'2,

 

0"£),

(6.22)

которое является основным результатом преобразования ФВ с точ­ ностью до членов М~2 включительно.

Рассмотрим теперь систему, состоящую из взаимодействующих между собой нуклона и электрона, поведение которой определяется формулами (6.1)—(6.3), и воспользуемся выражением (6.22), чтобы получить низкоэнергетический предел гамильтониана, описываю­ щего эту систему. Сравнивая (6.1)—(6.3) с (6.6)—(6.8) и (6.21), получаем

# = —і е

fiK

g i k . r — ІШ

(6.23)

 

0' = — ie

%K

Fl am P?m + Г 7 Г -F* ('a4 km + К dj Уп

 

2Mc

где все явно указанные дираковские матрицы относятся к нуклонно-

му

пространству, а латинские индексы пробегают значения

1, 2

и

3. Нерелятивистское выражение для гамильтониана, описываю­

щего взаимодействующие друг с другом нуклон

и электрон,

полу­

чается

подстановкой (6.23) и (6.24) в выражение (6.22). При вычис­

лении

актикоммутатор а удобно воспользоваться

тем, что если р

и f являются величинами, которые коммутируют с у и Г, но не друг с другом, то

[ур, Г / ] + = -L [у, Г1+ [р, Л+ + ~ [У, Г]_ [р, / ] _ .

(6-25)

Здесь не предполагается, что у. и Г коммутируют. При использо­ вании написанного выражения для вычислений в формуле (6.22) р играет роль оператора импульса, / — плоская волна, а у и Г

•обозначают различные матрицы Дирака. При этом появляются выражения

 

ІУь Yml - = 2

І alm>

 

[Уі,

Vml + =

2 < W

 

(6.26)

 

 

 

 

 

[Уі, Ш-

=

- 2 p S / m ,

[ Y ; > p Y J + =

- 2 і pcr,m)

 

 

 

 

 

\ph

е1 к -г ]_ = йА г е | к - ' .

 

 

(6.27)

Гамильтониан

взаимодействия,

который

получается

из (6.22)

с помощью формул (6.23)—(6.27), может быть записан

в виде [244]

3f =

— и'+ № е | к - '

^ ( a - p e i k - r - f - e i k - r a - p ) —

—

К

р 2 ) і а -/Гік x a) ei k •R — (fi+2*CF2)

й а( k 2 _ e

i k

• г +

 

2Mc

 

' *

 

'

 

8/W2c2

4

0

 

 

 

+ ( F l + 2 /

( F 2 )

іff• [p x ( M 0 a—Як) ei k -r —

 

 

 

 

 

— ei k -r (A/e0

a—fik)

x p]} и е~ш,

 

(6.28)

где матрица [і заменена единицей, поскольку она не изменяет боль­ шие компоненты спиноров, которыми мы ограничиваемся в нереля­ тивистском пределе. В формуле (6.28) а действует в пространстве электронных спиноров, а р и а являются импульсом и спиновой матрицей Паули для нуклона. Найдено, что в принятых нами при­ ближениях измеренные формфакторы нуклона имеют вид [191, 192, 106]

^ i (k2) = Л (№) = / (£2 ) для протонов,

1

, 6 2 9 -

F1(k?) = 0, Fz{k2) = f(k2) для нейтронов. J

 

Заметим далее, что в случае неполяризованных нуклонов последний (спин-орбитальный) член в выражении (6.28) не дает вклада, и его можно не учитывать. Однако четвертый член, или член Дарвина— Фолди, дает вклад, поскольку рассматриваемые переданные импуль­ сы могут быть очень большими. Первые три члена, которые описы­ вают кулоновское взаимодействие и взаимодействие, связанное с кон­ векционным током и спиновым током, или током намагничивания, имеют порядок величины не меньше чем М'1 и дают главные вклады, особенно при малых переданных импульсах.

При переходе к ядру выражение (6.28) следует просуммировать по А нуклонам. Мы воспользуемся тем фактом, что операторы различных нуклонов коммутируют, поэтому преобразование Фол­ ди—Вутхайзена может быть выполнено для каждого из них в от-

Смотрите также файлы