Файл: Айзенберг И. Механизмы возбуждения ядра. Электромагнитное и слабое взаимодействия.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 219
Скачиваний: 0
дельности*. Далее для нерелятивистской системы А нуклонов фено менологически вводится нуклон-нуклонное взаимодействие, описы ваемое потенциалом. При этом предполагается, что распределение заряда и магнитного момента данного нуклона заметно не меняется из-за присутствия других нуклонов, и, следовательно, можно поль зоваться формфакторами свободных нуклонов (6.29) и для нуклонов внутри ядра. Тогда можно написать [см. (5.36)1
<Л # П <"> = |
|
Ї ( F E 2 ) { [ |
» |
+ (P'J " (p)l Op* (k) |
- |
|||
|
I * (k*-AS) |
|
|
|
|
|
|
|
|
— [и+(р')<ш (p)].JP e (k)}, |
|
(6.30) |
|||||
где величины |
|
|
|
|
|
|
|
|
Qp „(k) = JvS(r, r2 , |
rA) |
2 e, -\ |
|
(e*—2u,j) X |
|
|||
|
|
/ = 1 |
L |
8Af2 c2 v 1 |
r j / |
|
||
X e ' 1 1 |
" ) ^ ^ , |
r 2 ) |
|
rA)dr1drz |
... <ігл |
|
(6.31) |
|
Jpa(k)= S^Oi, |
r2 , .... rA) 2 |
|
- ^ ( p , - e i k - r / + ei k -^P j .) |
+ |
||||
|
|
J = |
l |
2Mc |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2Mc і a,- x (fck) е і к - г Л ¥ a (rl f |
r2 , |
|
rA) dr, dr% ... drA |
(6.32) |
||||
* Из рассмотрения трансформационных свойств сложной волновой функ ции, описывающей многонуклонную систему [57], следует что изменяются даже те члены эффективного взаимодействия, которые имеют порядок М - 2 . Например, для системы, состоящей из двух невзаимодействующих точечных нуклонов, фигурную скобку в выражении (6.28), следует просуммировать по двум нуклонам (обозначаемым, скажем, индексами 1 и 2), а также необходимо добавить член вида
8/W2 с- |
(=1— |
в3 )- e 2 e i k ' r 2 |
(/iftDa—ftk) X |
Pi" . - і |
* # ( Г і ) |
- |
|
|
|
|
С |
|
|
||
|
|
ех |
е і к ' Г і (Йй0 a —ftk) X І р 2 |
<?2 с ^ ( г 2 ) |
|
|
|
где ^ ( г ) — потенциал Мёллера |
(5.37). Для ядра члены |
порядка |
М~2 удер |
||||
живаются |
только в тех расчетах |
электронного |
рассеяния, в которые входит |
||||
большой |
переданный импульс; в этом случае член с множителем |
Й2 к2 /8М2 сг |
|||||
в формуле (6.28) дает наиболее значительный вклад [как и в формуле (6.31)].
Приведенный выше |
поправочный член почти никогда не учитывается; часть |
||||||||||
его, |
которая |
относится к однофотонному |
взаимодействию, уменьшается за |
||||||||
счет множителя, имеющего вид среднего |
нуклонного импульса, деленного на- |
||||||||||
Мс. |
Этот поправочный член возникает из-за |
того, что произведение спиноров |
|||||||||
для |
двухнуклонных |
состояний |
не |
сводится |
в нерелятивистском |
пределе |
|||||
к простому выражению от матриц |
Паули. Это соответствует тому |
физиче |
|||||||||
скому |
факту, |
что триплетное |
спиновое |
состояние в одной системе |
отсчета |
||||||
будет |
частично |
проявляться |
в другой системе |
как синглетное спиновое со |
|||||||
стояние. Следует заметить, что указанная |
поправка обусловлена трансформа |
||||||||||
ционными свойствами волновой |
функции; |
использование же преобразования; |
|||||||||
Фолди—Вутхайзена |
для исключения |
нечетных |
дираковских матриц |
из опе |
|||||||
ратора |
Гамильтона |
вполне корректно. |
|
|
|
|
|||||
выражаются через волновые функции начального и конечного состоя
ний l F a и Yp и через проекцию |
магнитного |
момента |
V-1 у (1 +*з); (1 + |
К') - \ ( 1 |
-хя), К' = |
= ~ ( |
1 + |
(6.33) |
Здесь, согласно (6.5), К' та 1,85. Заряд е7- равен единице для про тонов и нулю для нейтронов. В слагаемом формулы (6.31), соответст вующем члену Дарвина—Фолди, величина к 2 — £ 0 2 заменена на к3 , лоскольку в интересующей нас кинематической области импульс, лереданный ядру, намного больше переданной энергии. Чтобы полу чить дифференциальное сечение неупругого рассеяния электронов в борновском приближении, необходимо теперь подставить матрич ный элемент (6.30) в формулу (5.1) или (5.4).
§6.2. Правила сумм для рассеяния электронов
В§ 4.6 было использовано свойство полноты набора ядерных состояний, чтобы способом, в значительной степени не зависящим от модели, получить правило сумм Томаса—Райха—Куна для фото возбуждения. Подобный же метод может быть применен и для элек тронного рассеяния [102, 244]; в этом случае интегральное сечение
не равно константе, а |
является функцией переданного импульса. |
В зависимость сечения |
от переданного импульса входит фурье-пре- |
образованиеот нуклон-нуклонной корреляционной функции для рас сматриваемого ядра, что (по крайней мере в принципе) дает воз можность получить весьма важную информацию о структуре ядра.
Основные результаты такого анализа можно наиболее отчетли
во увидеть, |
если ограничиться |
сначала |
кулоновским |
слагаемым |
|||||||||
в выражении (6.30). Для этого опустим второй член в формуле |
(6.31) |
||||||||||||
и пренебрежем |
вкладом |
токовых |
членов |
(6.32) |
в формуле |
(6.30); |
|||||||
эти члены имеют порядок М - 2 и / И - 1 |
соответственно. Сечение рас |
||||||||||||
сеяния электронов при переходе ядра из начального |
состояния |
||||||||||||
(или' подсостояния) |
а |
в |
конечное состояние 6 может |
быть |
тогда |
||||||||
записано с помощью |
(5.46) и (5.47) в следующем |
виде: |
|
|
|||||||||
d a |
_ |
2 е * |
і г<ъъ\ 12 I |
Р' \ |
£ £ ' + с а р . Р ' + т 2 |
с * |
v |
|
|||||
W ^ ? { H |
f c |
) } |
\TI |
|
( k 2 - A 2 ) 2 |
|
|
x |
|
||||
|
|
|
|
X |
<6| |
2 |
е,.еі к -г У|а> |
|
|
|
(6.34) |
||
В ультрарелятивистском |
пределе (E, |
£ ' » m c a , |
hck0) |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
do- = oMp |
С (k, |
k0), |
|
|
(6.35a) |
|||
|
|
|
|
dQ, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
COSJ
(6.356)
sin1
является моттовским сечением рассеяния электрона большой энер гии на свободном протоне [см. (5.56в)] и
С [k, k0)-. <6| |
2 |
Є ; |
. е ' к ' г ; | а ) |
(6.35в) |
|
|
|
і' = і |
|
|
|
Последняя величина |
зависит |
от /г0, |
так как конечное |
состояние |
|
ядра, которое входит |
в С (k, /г0), имеет энергию возбуждения Е$, |
||||
соответствующую потере энергии |
электрона: |
|
|||
|
£ р = Еа + tik0 • |
2AM |
(6.36) |
||
|
|
|
|
|
|
Чтобы получить правило сумм для электронного рассеяния, необ ходимо сложить вклады от различных возможных ядерных состоя ний. Мы сделаем это путем суммирования по /г0, что подразумевает суммирование по энергии £р конечного состояния ядра. При выпол нении этого суммиррвания зафиксируем переданный импульс. Тогда в эксперименте по рассеянию, который мы имеем в виду, не обходимо будет определить сечение для разных значений углов, энергий и энергетических потерь. В заключение проведем суммиро вание по потерям энергии для каждого значения переданного им
пульса и угла. Для |
очень |
малых переданных |
импульсов /г ->- О |
в выражениях (6.34) |
и (6.35) |
следует учитывать |
только вклад от |
упругого рассеяния. Выделим относительно неинтересную зависи
мость сечения |
упругого |
рассеяния от переданного импульса, |
вводя |
|
величину |
|
|
|
|
|
C(k) = Z~i |
Ц С ( ^ Л ) = |
|
|
= z - * 2 <Р| |
ik-r. |
a> |
<a| 2 e y e i k ' r 7 |a > |
[(6.37) |
2 ej Є J |
||||
В |
/ = 1 |
|
i'= і |
|
|
|
|
|
|
которая содержит суммирование по достаточно большим потерям энергии, так что вклад от упругого рассеяния исключается. Исполь зуя свойство полноты набора конечных ядерных состояний
|
2 | Р > < P I = i . |
|
|
(6.38) |
|
получаем |
|
|
|
|
|
А |
А |
|a>— Z"1 |
1 .F (/г) |2 |
, |
(6.39) |
C(^) = Z - 1 < a | 2 |
2 е ; е г е і к - ( г 7 - г < ) |
||||
|
|
|
F(k)=<a\ |
2 e}eik-rJ\a> |
(6.40) |
||
|
|
|
|
|
J = I |
|
|
является |
формфактором |
упругого |
рассеяния для ядра, который, |
||||
как |
мы |
предполагаем, |
известен*. |
Одночастичные члены |
(j = I) |
||
в формуле (6.39) дают |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
<а| |
2 e?|a> = Z . |
(6.41) |
|
|
|
|
|
|
j = і |
|
|
Для |
двухнуклонных членов |
(/ Ф I) введем протон-протонную кор |
|||||
реляционную |
функцию |
|
|
|
|
||
P ( r \ r") = |
[ Z ( Z - l ) ] - 1 |
< a | |
2 е 7 - е г б ( г ' - г , . ) б ( г " - г г ) | а > , |
(6.42) |
|||
которая |
удовлетворяет |
условию |
|
|
|||
|
|
|
|
P(r', |
r")dr'dr" = 1. |
(6.43) |
|
Эта функция является мерой вероятности того, что один протон на ходится в точке г', а второй — в точке г". Тогда
C(k)=.:\+(Z—l)lelk,tr'-r"}P(r', v")dr'dr"~Z-l\F{k)\\ (6.44)
т. е. правило сумм для кулоновского рассеяния в основном опреде ляется фурье-преобразованием от протон-протонной корреляцион ной функции.
Асимптотическое поведение С (k) легко получить из формулы (6.44). Для больших k подынтегральные выражения в (6.40) и (6.44) осциллируют и интегралы (6.40) и (6.41) равны нулю. Таким обра зом, С (оо) = 1 , что соответствует рассеянию на отдельных протонах при больших переданных импульсах; при этом двухнуклонный, или корреляционный, член не дает вклада. Кроме того, поскольку при построении функции С (k) член, соответствующий упругому рассея нию, был исключен, то С (0) = 0.
Выражение (6.44) дает возможность использовать правила сумм для электронного рассеяния при анализе протон-протонных корре ляций в ядрах. Можно надеяться, что такой анализ окажется чув ствительным не только к весьма тривиальным корреляциям, обус ловленным принципом Паули, но и к корреляциям, обсуждаемым в § 4.7, которые обусловлены той частью нуклон-нуклонного взаимо действия, которое по предположению описывается твердым кором. Прежде чем проверять эту возможность, необходимо рассмотреть поперечные мультиполи, учитывая в формулах (6.30)—(6.32) члены
* |
Заметим, что учет отдачи в соответствии с (4.30а) не изменяет величины |
С {к), |
так как она зависит только от разности координат нуклонов. Однако |
величина F {к) при этом меняется.
