Файл: Айзенберг И. Механизмы возбуждения ядра. Электромагнитное и слабое взаимодействия.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 218
Скачиваний: 0
п о р я д к а М - |
1 |
и М ~ 2 . Это было сделано М а к - В о е м и В а н |
Х о в о м |
[244], |
||||||||||||||||||||||||||||
которые |
н а ш л и , |
что |
величину |
С (/г) |
|
следует |
|
заменить |
величиной |
|||||||||||||||||||||||
Т |
(к, |
0), з а в и с я щ е й |
как |
от у г л а |
р а с с е я н и я , |
так |
и |
от |
переданного |
и м |
||||||||||||||||||||||
п у л ь с а . Эта |
величина |
м о ж е т |
быть |
|
з а п и с а н а в |
виде |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
T(k, |
9 ) = |
1 |
|
|
h со |
|
|
4M2 c' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
УИс2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
X |
2tg 2 |
— 9 |
+ |
1 |
|
<со2> |
|
|
|
(1 + |
2/C') |
|
|
1 |
|
<p2> |
X |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
с2 |
/г2 |
|
|
|
|
|
З |
M 2 |
c2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
X |
2t. |
|
|
|
|
|
+ |
А2 <C02>aD |
+ |
Z - 4 a | |
2 |
|
e l |
k l ( 0 - r |
» ) X |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4/W2 |
c4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
X е ^ + Д ^ Ц . , |
|
ft2 |
[й2 (ТГ (гг -(к.(т7 -)(к.огг )]х |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
8M2 c2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л 2 6 2 |
eJ(el~2\il) |
|
+ |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4M2 |
c2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 tg 2 - 1 - 9 + 1 |
|
|
<(02> |
|
|
|
|
1 |
|
X |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
J |
' M 2 c 2 |
|
|
T c2fc2 |
|
|
|
M2 |
c2 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
X |
Pz; Pti-Pxi |
|
|
Pxi + ~ |
&2 И) |
|
I o> - |
Z-Ч |
f |
(Л) |», |
|
(6.45) |
|||||||||||||||||
где |
со и |
<co2 >a o |
— |
с р е д н и е |
от частоты энергии |
в о з б у ж д е н и я |
я д р а и |
|||||||||||||||||||||||||
ее |
квадрата, которые, согласно оценкам М а к - В о я |
и В а н Х о в а , |
б у д у т |
|||||||||||||||||||||||||||||
давать главный |
|
в к л а д |
в пик |
|
к в а з и у п р у г о г о р а с с е я н и я |
(см. рис . |
5.1): |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
со • |
|
hk- |
|
|
|
|
|
|
|
|
1,5 |
со2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2Л1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Компоненты и м п у л ь с а |
н у к л о н а |
определены |
|
так, |
что |
pzj |
— |
Pj-k, |
||||||||||||||||||||||||
а |
pxJ- |
является |
компонентой |
|
вектора |
р ; в |
н а п р а в л е н и и , |
н о р м а л ь н о м |
||||||||||||||||||||||||
к |
вектору |
к. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Р е з у л ь т а т ы |
оценок |
[244] |
|
правила |
сумм в |
р а м к а х модели |
о б о л о |
||||||||||||||||||||||||
чек д л я |
р а с с е я н и я |
электронов |
представлены |
|
н а р и с . |
6.1 д л я |
я д р а |
|||||||||||||||||||||||||
1 6 0 . |
В и д н о , |
что |
вклады, |
|
о б у с л о в л е н н ы е |
оператором |
тока, |
в о о б щ е |
||||||||||||||||||||||||
говоря, |
очень |
в а ж н ы |
в |
рассматриваемой |
области |
переданных |
им |
|||||||||||||||||||||||||
п у л ь с о в . К р о м е |
т о г о , |
в а ж н у ю |
роль |
в |
уменьшении |
как |
к у л о н о в с к о й |
|||||||||||||||||||||||||
части, так |
и |
части, |
о б у с л о в л е н н о й |
|
оператором |
тока, |
играют |
эффек |
||||||||||||||||||||||||
ты антисимметризации . |
|
К о р р е л я ц и и , |
связанные |
с твердым |
к о р о м , |
|||||||||||||||||||||||||||
и з м е н я ю т к у л о н о в с к у ю |
часть не б о л е е чем на |
5% |
д л я |
области |
пере |
|||||||||||||||||||||||||||
д а н н ы х импульсов, |
в |
которой |
мезонные |
эффекты |
не |
играют |
с у щ е |
|||||||||||||||||||||||||
ственной |
роли |
(k ^ |
2,5 |
ферміГ1). |
|
|
Следовательно, нельзя надеяться |
|||||||||||||||||||||||||
с |
помощью |
|
такого |
анализа |
правила |
|
сумм |
извлечь |
и н ф о р м а ц и ю |
|||||||||||||||||||||||
о к о р р е л я ц и я х , |
связанных |
|
с |
твердым |
кором . Это, |
конечно, |
не |
о з |
||||||||||||||||||||||||
начает полной |
бесполезности у к а з а н н о г о |
правила |
сумм д л я |
р а с с е я |
||||||||||||||||||||||||||||
ния |
электронов . Оно |
м о ж е т |
быть |
|
и с п о л ь з о в а н о д л я |
проверки |
моде |
|||||||||||||||||||||||||
лей |
с т р у к т у р ы |
ядра . |
Б о л е е того, |
Ч е й з о м , |
Л е с н я к о м |
и Малецки |
[78] |
было отмечено, что вклад, даваемый оператором тока в интегральное сечение, в основном определяется членом в выражении (6.45) вида
Рис. 6.1. Результаты расчета правила сумм в рамках
модели |
оболочек |
для |
рассеяния |
электронов |
на |
яд |
||||||||||||||
ре |
1 6 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
величинах |
Тс, |
TSM, |
|
TQE, |
которые |
с о д е р ж а т |
поперечные |
||||||||||||
вклады, |
угол |
рассеяния |
фиксирован: |
0 = 9 0 ° . Кривые, |
обозна |
|||||||||||||||
чаемые нижним |
индексом |
С, получены без учета антнсим- |
||||||||||||||||||
метризацин в модели оболочек. Кривые, обозначаемые |
бук |
|||||||||||||||||||
вами |
SM, |
|
получены |
в |
рамках |
антисимметрнзованной |
оболо |
|||||||||||||
чечной модели гармонического осциллятора. Величины |
|
Тс и |
||||||||||||||||||
TSM, |
согласно |
|
выражению |
(6 . 45), с о д е р ж а т |
как |
кулонов- |
||||||||||||||
с к у ю |
часть, |
так |
н |
часть, |
обусловленную |
оператором |
|
тока, |
||||||||||||
тогда |
как |
Сс |
|
и |
C S M |
описывают лишь |
кулоновскую |
|
часть |
|||||||||||
( 6 . 3 9 ) . |
Кривая, |
обозначенная |
C E . E S , |
описывает |
кулоновское |
|||||||||||||||
рассеяние, |
рассчитанное |
с |
волновыми |
функциями, |
в |
|
кото |
|||||||||||||
рых |
учтены |
нуклон-нуклонные корреляции, соответствую |
||||||||||||||||||
щ и е рис. |
|
6.2 |
(радиус твердого кора взят равным 0,4 |
|
ферми). |
|||||||||||||||
Кривые, |
описывающие |
кулоновское рассеяние, |
асимптотиче |
|||||||||||||||||
ски |
стремятся |
к |
единице, |
а |
кривые |
Тс |
и |
TSM |
— к |
|
кривої! |
|||||||||
TQE, |
|
которая |
соответствует |
квазиупругому |
рассеянию, |
д а в а е |
||||||||||||||
м о м у |
однонуклоннымн |
членами в выражении |
(6 . 45) . |
|
|
|
При больших переданных импульсах отклонение от этого выраже ния в членах, связанных с током, составляет лишь несколько про центов. Характерная зависимость от угла рассеяния в виде tg2 ( у в]
может быть выделена в результатах экспериментов по рассеянию электронов, что дает возможность определить природу изменений магнитных моментов нуклонов внутри ядра. Чувствительность
к магнитным моментам в данном случае особенно велика, так как они входят в написанное выражение в квадрате, т. е. изменение ве личины магнитных моментов на 10% вследствие присутствия дру-
0 1 2 3 4 г, ферми
Рис. 6.2. Двухпротонная корреляционная функция для 1 6 0, рассчитанная Иденом, Эмери и Сампантхаром [110] с использованием потенциала Гамме- л я — Теллера [152, 153] (радиус твердого кора при
нят равным 0,4 ферми). |
|
|
Кривая, отмеченная |
индексом SM, |
получена в модели |
оболочек без учета |
корреляцш'1. |
Точка, в которой эти |
кривые начинают сходиться, соответствует «длине зале чиваниях, равной приблизительно 2 ферми.
гих нуклонов изменит этот член на 20%. Эксперименты на 1 0 О [2051 показывают, что если такая перенормировка магнитных моментов имеется, то она меньше 10%.
§ 6.3. Модель Хелма
Выражение (6.28) для гамильтониана взаимодействия является: основой для тех расчетов неупругого рассеяния электронов, в ко торых используется описание ядра с помощью волновых функций для А нуклонов. Такое описание ядра является весьма фундамен тальным по своей природе (оно было бы более фундаментальным, если бы рассматривались мезонные степени свободы!). В действи тельности эта модель для многих случаев требует детальных,, неоправданно сложных математических расчетов. Это характерно, например, для описания общего поведения формфакторов элек тронного рассеяния в зависимости от порядка мультипольности, переданного импульса, размера ядра и т. д. Для таких целей удоб но использовать феноменологические описания ядер, дающие пара метризацию коллективных свойств нуклонов. Так, для рассмотрения электровозбуждения колебаний гигантского резонанса может быть использована модель жидкой капли [340], а также модель Гольдха-
бера—Теллера [171]. Одним из примеров подобного описания яв ляется модель Хелма [184], которая особенно полезна ввиду ее большой простоты.
|
С целью получения указанного феноменологического описания |
||||
рассмотрим кулоновский вклад |
в рассеяние электронов. |
Сечение |
|||
в |
БППВ в ультрарелятивистском |
пределе дается |
формулами (5.51) |
||
и |
(5.56): |
|
|
|
|
|
^ ^ " • r o - w ^ 1 * - ^ C L ) |
f - |
( 6 ' 4 6 > |
||
где |
|
|
|
|
|
|
(JtUflMtMMJNftaik; |
CL) = |
|
|
|
|
= iLS <6 [ p(r) I a) jL(kr) |
Ylm(r)dr. |
|
(6.47) |
|
|
При рассмотрении упругого рассеяния электронов в модели Хел |
ма зарядовое распределение Ферми (см. § 5.5) заменяется более про стым распределением, имеющим те же самые общие свойства, т. е. постоянную плотность в центре и уменьшающуюся плотность на поверхности ядра, которое в свою очередь характеризуется опре деленной толщиной поверхности. Зарядовое распределение для упру-
•гого рассеяния записывается в виде интеграла от произведения двух функций
<а | р (г) | а> = е $ р0 (г')P l ( г - г ' ) dr'. |
(6.48) |
Это выражение особенно удобно при получении формфактора, когда необходимо выполнить преобразование Фурье. Зарядовое распре деление должно быть нормировано так, чтобы
J<a|p(r)|a>dr=Ze, |
(6.49а) |
что можно получить, если взять |
|
J P l (r)dr = 1, |
(6.496) |
jjP o (r)dr = Z. |
(6.49в) |
В ультрарелятивистском пределе кулоновская часть сечения упру гого рассеяния в БППВ получается с помощью (5.47) в виде
da |
ам |
V |^(к)|», |
(6.50) |
|
dQ' |
(Ze)2 2Jt + 1 |
|||
|
|
|||
где |
|
|
|
|
/ 7 (k) = J < a | p ( r ) | a > e « k - ' d r = f i F 0 ( k ) F 1 ( k ) |
(6.51а) |
|||
F,(k)= |
5ps (r)e^-rdr, s=0,l. |
(6.516). |
205
Если принять, что р0 характеризует постоянную плотность в цен тральной области ядра, то из условия нормировки (6.49в) вытекает
Ро(т)=| |
V з |
• |
/ |
' |
(6.52) |
I |
|
0, |
|
г > К . |
|
Поверхностный слой учитывается |
|
распределением |
|
||
p1 (r) = |
(2ng a ) - 3 / 2 e - ' - V2e» . |
(6.53) |
|||
Тогда |
|
|
|
|
|
F(k)=3Ze h { |
k R |
) |
e~^k*S\ |
(6.54) |
|
v |
|
kR |
|
|
K |
В § 5.5 мы видели, что толщина |
поверхности, вообще говоря, |
одна |
и та же для разных ядер. Это выражается в модели Хелма для не упругого рассеяния электронов постоянным значением величины g, именно g та 1 ферми.
Для неупругого рассеяния в модели Хелма предполагается, что зарядовая плотность перехода локализуется на ядерной поверхности
радиуса |
R: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<Р | р (г) [ а) |
= |
б (r-R) |
1|>} . M f ( r ) фу. M l (г), |
(6 -55) |
||
где фу .ЛІ. |
и |
tyjfkf |
— функции, характеризующие начальное и ко |
|||||
нечное ядерные |
состояния. |
Возможно, |
что распределение |
(6.55) |
||||
-«размывается» гауссовским |
множителем, |
как в выражениях |
(6.48) |
|||||
л (6.53). Подставляя в |
(6.47), получаем |
|
|
|||||
|
|
NPa(k;CL) |
= Ze і1' О, WL (Г) II /,> j L (kR), |
, (6.56a) |
||||
или в случае, когда используется «размывающий» множитель, |
||||||||
JVP a (k; |
CL) = ZeiL<Jf\\YL(r)\\Ji} |
jL.(kR)e~~?k°3\ |
'6.566) |
•Оправдание вида зарядовой плотности перехода (6.55) заключается втом, что принцип исключения Паули подавляет нуклон-нуклонное рассеяние внутри ядра. Это происходит потому, что рассеянный нуклон пытается занять орбиту, которая уже занята другим нукло ном. Вследствие этого в низколежащих возбуждениях ядра участ вуют нуклоны, находящиеся вблизи поверхности, где имеются неза нятые орбиты, на которые могут рассеяться нуклоны. Движения заряда, связанные с возбуждением таких уровней, локализуются, конечно, вблизи поверхности ядра.
Выражения (6.56) дают в случае электровозбуждения зависи мость вида kL для формфактора мультипольности L . Они .также дают полуколичественное описание положения дифракционных минимумов и затухания формфактора для больших переданных импульсов.
Мы можем, наконец, использовать модель Хелма, чтобы сравнить кулоновские вклады для упругого и неупругого рассеяния. Например, как видно из (6.54) и (6.56), для ядра со спином Jt = О' сечение электровозбуждения гигантского резонанса (Jf = L = 1) следующим образом связано с сечением упругого рассеяния:
daс dQ' L=
Множитель -і- (kR)2 является приблизительной мерой той доли за ряда, которая участвует в неупругом рассеянии.
§ 6.4. Пример: рассеяние электронов на 4 Не
Проиллюстрируем теперь различные свойства электронногорассеяния, обсуждаемые в этой и предыдущей главах, используя очень простую оболочечную модель для 4 Не, которую мы ввела в § 4.8. Упругое рассеяние нетрудно рассмотреть с помощью волно
вой функции основного состояния |
(4.166). Формфактор упругого* |
|
рассеяния имеет вид [см. (5.47), (6.40) и (6.51а)] |
||
F ( k ) = e ^ l j e x p [-^(rl |
+ rl+rl |
+ m X |
X (ei k -r ' + e i k - r = ) d r 1 d r 2 d r 3 d r 4 |
= |
(индексы 1 и 2 относятся к протонам). Значение а для 4 Не определяет ся подгонкой формулы (6.58) к экспериментальным данным, что дает а л ; 0,73 ферми-1— 144 Мэв/с (см. [145]). Окончательно получаем
/7 (к) = 2еехр[—(£.0,69 ферми)2}. |
(6.59) |
Этот результат полезно сравнить с результатом, найденным в рам ках модели Хелма [см. (6.54)], которая для g = 1 ферми и kR <^ 1 дает
F (к) = 2е ехр [~(k- 0,71 ферми)2}. |
(6.60> |
В модели Хелма дифракционный минимум получается в точке, в к о торой } г (kR) первый раз обращается в нуль, а именно при kR = 4,49. Такой минимум экспериментально [ 146] обнаружен при k = 3,16 фер ми-1, что соответствует значению R = 1,42 ферми при анализе в рамках модели Хелма. Это, конечно, сравнимо с толщиной поверх
ности для ядра 4 Не, которое |
состоит только из поверхности. На |
|
рис. 6.3 показаны |
результаты |
подгонки данных по упругому рас |
сеянию при k2 ^ |
10 ферміг2 |
для гауссиана (6.59). Как видно из |
этой кривой, полученный параметр соответствует параметру гармо нического осциллятора.