Файл: Айзенберг И. Механизмы возбуждения ядра. Электромагнитное и слабое взаимодействия.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 169

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

где %—постоянная Планка, деленная на 2я. Это фиксирует нфмировку нашего решения в виде плоских волн:

Nk

=

Г4л£с2 11/2

(1.69)

 

 

aL3

 

Импульс поля, конечно, выражается формулой

pfteM(k).=4k. (1.70)

Выражение для углового момента поля, соответствующее і°л У~ ченному решению в виде плоских волн в объеме L 3 , вообще говоря, мало интересно, так как оно зависит от точки объема, относительно которой берется момент. Очевидно, что использование декар-рвой системы координат не очень удобно для обсуждения свойств углевого момента электромагнитного поля, так как в сферической системе координат они будут выражаться намного более простым способом.

Книги Джексона [212], Ландау и Лифшица [226], Марина [2411 и Пановского и Филлипса [265] содержат подробное рассмот­ рение классической электромагнитной теории, включая большую часть материала, обсуждаемого в этой главе*.

* На русском языке, кроме книги Ландау и Лифшица [226], см. і^игу Тамма [385], учебник Левича [379]. Краткое изложение основных вопр1 С °в» рассматриваемых в этой главе, имеется также в первых главах книг Ахи^ера и Берестецкого [7] и Берестецкого, Лифшица и Питаевского [370]. — П>им. перев,

ГЛАВА 2

РАЗЛОЖЕНИЕ ПО МУЛЬТИПОЛЯМ

Как и в большинстве других областей теоретической физики, одной из важнейших целей теории структуры ядра является отчетливое отделение свойств системы, обусловленных особен­ ностями симметрии,, от свойств, которые обусловлены специфи­ ческими особенностями динамики. Типичным объектом применения этого положения для ядер является угловой момент, который играет в теории решающую роль. Поскольку гамильтониан ядра инва­ риантен относительно вращений, ядерные состояния характери­ зуются определенным значением углового момента. Таким образом, для каждого конкретного процесса необходимо рассматривать влияние правил отбора по угловому моменту, а также другие ос­ новные геометрические аспекты физики ядра. Если эти эффекты можно выделить, то остальные свойства изучаемой проблемы будут более ясно обнаруживать свойства динамики ядра: сильное корот­

кодействующее

взаимодействие, взаимодействие

с жестким кором

и т. д. Когда

в рассматриваемых

процессах

участвуют фотоны,

то очень полезно с самого начала

уметь использовать те свойства

электромагнитного поля, которые связаны с угловым моментом. Для того чтобы понять эти свойства, мы будем изучать характери­ стики потенциалов и полей в сферических координатах и их поведе­ ние при. пространственных вращениях. В конечном счете мы увидим, что формализм, который здесь описывается, можно будет легко обобщить на случай других интересующих нас реакций.

§2.1. Вращение и операторы углового момента

Вгл. 1 мы использовали декартовы координаты, чтобы получить (для векторного потенциала с поперечной калибровкой) решения волнового уравнения (1.55) в виде плоских волн. Прежде чем при­ ступать к исследованию этого уравнения в сферической системе координат, полезно изучить решения волнового уравнения для скалярного поля в сферических координатах. Рассмотрим уравнение

(2.1)

где и (г, t) —скалярная функция. Если выделить обычную осцилляторную зависимость от времени, то для компоненты с частотою со можно написать

 

 

 

 

 

 

и (г, 0 =

ы ( г ) е - ' в ' .

 

 

 

 

 

 

(2.2)

Вводя

обозначение

 

/г — со/с,

получаем

уравнение

 

Гельмгольца

для

функции

и (г)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(У2

+ /г2 )«(г) = 0.

 

 

 

 

 

 

(2.3)

Если

ввести

сферическую

систему

координат,

в которой г

— рас­

стояние от центра,

0 —полярный

угол,

ср — азимутальный

угол,

то

уравнение

Гельмгольца

примет

вид

 

 

 

 

 

 

 

 

1

д

о д

,

1

 

д .

п

д

,

 

1

 

д-

.

 

1 0

ll

(/-, 6, ср) = 0.

г-

дг

г-

г2 sinG

дВ

sin 0

дв

 

г- sin2 0

<?<р2

\-ti­

дг

 

 

 

 

 

 

 

(2.4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Регулярное решение

этого

уравнения,

как

известно,

имеет вид

 

 

 

 

ulm(r,Q,q>)

= Njl(kr)Ylm(Q,q>),

 

 

 

 

 

(2.5)

где

ji(kr)—сферическая

 

функция

 

Бесселя,

Ylm(Q,

ср) —

сферическая

гармоника,

N — нормировочная

константа.

Сфери­

ческие гармоники

определяются

следующим

образом:

 

 

 

 

Ylm(Q,

ф) =

р ^ ± ± (

^ = ^ - 1 1 / 2 ( - 1 Г

е»"фР|т > (cosв),

(2.6а)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I >

т > 0.

 

Здесь

Pf (cos0)—присоединенный

полином

Лежандра:

 

 

 

 

•

 

 

 

1

 

 

 

 

ril+m

 

 

 

 

0)'.

(2.66)

 

 

Р™(cos6) = —--— s i n т

0 — - — — ( — s i n 2

 

 

 

V

 

'

2l

l\

 

 

 

d(cos0)'+ m ^

 

 

 

;

 

V

Для — / ^ m < 0

определение

 

(2.6a)

обобщается

с

помощью

соотношения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У/-г а (9,ф) =

( - 1 ) я , ^ т ( в , ф ) .

 

 

 

 

(2.7)

Соотношения

(2.6)

и

(2.7)

приводят

к

условию

нормировки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8mm' S/r

,

 

 

(2.8)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где интегрирование

проводится

по всей

сфере

единичного радиуса

с элементом телесного угла dQ = dqd cos 0.

 

 

 

 

 

 

 

Чтобы понять

смысл

целых

чисел / и т, которые

появляются

в сферических гармониках

и

в

решении уравнения

Гельмгольца

(2.5),

необходимо

рассмотреть

поведение этого решения в

случае,

когда система координат вращается*. Поскольку оператор Лапласа в уравнении (2.3) является скалярным оператором, ясно, что вид уравнения Гельмгольца в новой координатной системе будет таким же, как и в старой системе, а соответствующие решения в двух сис­ темах будут тесно связаны между собой. Любое вращение можно описать с помощью одной из двух схем. Первая из них состоит в па­

раметризации с

помощью

фиксированного

единичного

вектора

п, вокруг

которого выполняется поворот

на угол 0. Вторая схема

основана

на использовании

углов Эйлера

6 Ь

0 2 и 63 . Они

опреде­

ляют ориентацию

новой системы координат

с помощью следующей

последовательности поворотов (рис. 2.1):

 

 

3

 

 

<Г

 

 

 

в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.1. Углы Эйлера.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Углы Эйлера

определяются с помощью трех

последовательных

поворотов:

на угол 6i вокруг оси z с образованием системы

(х'у'г')

( а ) , на

угол

8» во­

круг

оси у'

с образованием системы

{х"у"г")

(б) и поворота

на

угол

0з

вокруг оси г", приводящего к конечной системе

(x"'y'"z"') (в).

 

 

 

а) поворот исходной системы координат (xyz) на угол 0i вокруг

оси z с образованием промежуточной

системы

с

осями

х',

у', г'\

б)

поворот

промежуточной

системы

{x'y'z')

на

угол

63

вокруг

оси у',

приводящий к

системе

(x"y"z");

 

 

 

 

 

 

в)

поворот системы (x"y"z")

на угол 03 вокруг оси z"

для полу­

чения

новой системы

(x"'y"'z"').

 

 

 

 

 

 

 

 

Мы также можем описать вращение, если в данной точке про­

странства укажем связь между старыми

координатами

г

и

новыми

координатами г'. Эта связь наиболее просто определяется с помощью

действительной ортогональной

матрицы

3 x 3 :

 

г ' = # г ,

 

(2.9а)

или

 

 

 

гі= І Ran,

i=h

2, 3.

(2.96)

* Мы рассматриваем здесь элементы теории вращений и углового момен­ та,, которая, как предполагается, читателю относительно хорошо известна. (См. в этой связи книги, указанные в конце данной главы.) Сводка основных результатов квантовомеханической теории углового момента приводится в Приложении А.

Девять элементов матрицы R могут зависеть только от трех неза­ висимых величин (п и 0 или Вь 02 ,В3 ); остальные степени свободы исключаются условием ортогональности. Действительно, используя определенные выше углы Эйлера, можно записать*

cosOjCosOoCOsOs—sin(l]Sin03

sinOjCosOjCOsOg-l-cosDjSinOs

-sin02cos03\

 

— cosBiCOsGasinea—sinOjCosOs

—sinOjCOse^sinBs+cosOjCosOa

2

3

І.

( cosOxSinOo

 

sin0 sinO

 

sinOjsinO,

cos02

/

 

 

 

(2.10)

Если рассматривается скалярное поле, которое (независимо от системы координат, используемой для описания точки) каждой точке пространства ставит в соответствие лишь одно число, то вращение приводит к изменению функциональной зависимости поля. Согласно определению скалярного поля, это изменение в соответ­ ствии с соотношением (2.9) в точности компенсируется изменением радиуса-вектора, т. е.

ы'(г')="(г),

(2.11)

так что одно и то оюг число сопоставляется данной физической точке как старой, так и новой функцией безотносительно к тому, к какой системе координат мы относим точку. Соотношение (2.11)- указывает новый путь для описания вращений. В (2.9) мы рассматривали опе­ ратор (или матрицу) R, который действует в конфигурационном пространстве; теперь мы можем ввести оператор** Т (R), который действует в пространстве функций и характеризует вращение R. Действие Т (R) на и дает новую функцию, которая в соответствии с (2.11) должна удовлетворять для вращения R соотношению

[T(R)u](Rr)=u(r). (2.12)

Можно также ввести вектор р. = Rr, который действует в том же пространстве, что и г. Тогда (2.12) принимает вид

[Т (R) и] ( р ) = ы ( Я - ' р ) ,

* Заметим, что в нашем определении мы поворачиваем

систему коорди­

нат в положительном

направлении на углы Эйлера вх, 02

и Э3 . Это эквивалент­

но повороту векторов

в системе

на углы

Эйлера — 6 Ъ

—02 и — Э 3 . Наше

определение совпадает с определением в [355, 126, 109,

287];

противополож­

ное определение используется

в [288, 247,

55]. См. том

I, гл. 5, в частности

формулу (5.159).

 

 

 

 

 

** В томе I этот оператор обозначается символом R. Обозначение Г {R)

используется здесь, чтобы различить операцию вращения в пространстве функций от этой же операции в конфигурационном пространстве.

где R-1

— вращение, обратное по

отношению'к R, получаемое

в силу

(2.9) обращением матрицы

R. Если мы теперь, устраняя

излишние обозначения, назовем этот новый вектор вектором г вмес­ то р, то будем иметь

[T(R)u](r) = u(R-lr), (2.13)

где модифицированная функция в левой части уравнения (2.13) берется в точке г.

'Очевидно, что если не выполняется никаких вращений, то R является единичной матрицей и Т (R) |э.=о = 1 • Если выполняет­

ся бесконечно малое преобразование, скажем, путем поворота сис­

темы координат на малый угол є вокруг оси п, то Т (R (п, є)) близко

к

1. В этом случае оператор Т

(R) можно разложить в ряд Тейлора

и

записать в первом порядке

по є:

Г ( Я ( п ,

е)) = 1 +ien - L,

(2.14)

где вид операторов L = ( L t

, L 2 , L3) подлежит

определению. (На

этой стадии они могут быть даже равны нулю или линейно зависеть от є; в последнем случае Т (R) отличалось бы от единицы только во втором порядке или еще меньше.) Можно легко получить выражение для L. Рассмотрим, например, малый поворот вокруг оси г. Возьмем п параллельным этой оси и обозначим

г[ = Г1

+ еГ2,

Г2 = Г 2

-ег. гз = г3

(2.15а)

или

 

 

 

 

 

R=

~

 

(2.156)

так что

 

 

 

 

 

R~lr--

 

 

(2.16)

Тогда получаем из (2.13)

 

 

 

Ц1 +ibL3)u]{r1,

Г а ,

Г3) = и(г1

— £Г2, Г2 + ЕГ1г

Г 3 ):

1 - є ( Г г ^ ~ Г і ^ ) Н ( ' ' ь Г а 'Г з ) -

(2.17)

 

где правая часть (2.13) разложена в ряд Тейлора. Поскольку соот­

ношение (2.17) должно выполняться

для любого

скалярного поля,

можно получить вид оператора L 3

:

 

 

г

• і

о

д \

(2.18)

Смотрите также файлы