Файл: Айзенберг И. Механизмы возбуждения ядра. Электромагнитное и слабое взаимодействия.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 165

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

на ф (х) =

(х) P = ф+ (л) 7

4 ,

а

справа — на ф (x). Можно получить пять

полезных

комбинаций:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S (*) = ф (х) i|) (х)

(скаляр),

 

(ПБ.24а)

 

1^ (х) = ф (х) 7 Д

я|з (*)

(вектор).

 

(ПБ.246)

 

 

^ „ Ю ^ М а ^ Ф М

(тензор),

 

(ПБ.24в)

 

W = i l l>M Yp, Ys 1I> (*)

(аксиальный вектор),

(ПБ.24г)

 

і 3 (х) =

ф (Л:) -\)6 ф (х)

(псевдоскаляр).

 

(ПБ.24д)

Здесь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

° n v = l i " ( V | i T v - T v T u ) ,

 

(ПБ.25)

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7 б = 7 і 7 2 Т з Ї 4 -

 

 

(ПБ.26)

Можно показать, используя свойства матрицы Л, что пять комбинаций

(ПБ.24)

трансформируются при преобразовании

(ПБ.12)

по правилам, которые соот­

ветствуют их обозначениям,

а именно*

 

 

 

 

 

 

 

 

S'(x')

= S(x),

 

 

(ПБ.27а)

 

 

 

^(*')=VM*)-

 

 

(ПБ.276)

 

 

Tiiv<*')

= awav<jTpo(*),

 

 

(ПБ.27в)

 

 

(x')

=

det (a)

fl|lv

Av

(х),

 

(ПБ.27г)

 

 

Р'

(х') =

det [а)Р (х).

 

 

(ПБ .27д)

Матрицы, использованные для построения тензорного выражения

Т"v , обла­

дают полезным свойством

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

°"й =

aim =

— ЇУі Vm=iPVs Y A = —Те aft.

 

(ПБ.28)

где A, I,

rn образуют

циклическую

перестановку. В представлении

(ПБ.24)

эта матрица 4 X 4 выражается

через спиновые матрицы Паули

2 X 2

 

 

CTH?aJ' *= 1 '2 '3 -

 

(ПБ-29)

Матрица в псевдоскалярном выражении обладает свойством

 

 

 

 

75 7^ + 7^76 = 0.

Y 1 = 1 -

 

( П Б - 3 ° )

имеет представление

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T . =

(J~J)

 

 

 

 

СПБ.31

иявляется эрмитовой.

*Заметим, что для выбранной ниже нормировки (ПБ.40),' которая зави­ сит от системы отсчета, величинами с простыми трансформационными свой­ ствами являются произведения Е/тс* на величины, определенные формулами (ПБ.24).

§ ПБ. 2. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА В ВИДЕ ПЛОСКИХ ВОЛН

 

Решение уравнения

Дирака

для свободной частицы может

быть записа­

но в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

і!)(д;) =

и ( р ) е і ( к - х - а / ) 1

 

 

(ПБ.32а>

где

и (р) удовлетворяет

спинорному

уравнению

 

 

 

 

 

 

( с а - р ф р ш с 2 — £ ) ц ( р ) = 0

 

 

(ПБ.326)

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[ ї ц Р ц -

іліс]и(р) = 0,

 

 

(ПБ,32в>

где

p — hk— импульс

свободной

частицы,

£ = /їш=

— е е энергия и

 

 

 

 

 

 

 

і

 

 

 

 

 

 

 

 

m2

с-1

 

(ПБ.32г)

 

£ 2

= = P

= C 2 + M 2 C

4 J

C 0 2 =

K 2 C 2 ^

 

 

 

 

 

 

 

 

л.

 

 

В соответствии с (ПБ.32г) четыре корня секулярного детерминанта,

даваемого

спинорным уравнением (ПБ.32в), приводят к решениям Е = [р2 с2 +

m V ] 1 ^ 2 ,

встречающимся два раза, и к решениям Е — —[р2 с2

+ т2с*]^~,

также встре­

чающимся два раза. Последний

случай является решением с отрицательной

энергией и физически соответствует наличию позитрона. В теории, описываю­ щей одну частицу, позитрон интерпретируется как дырка в заполненном бес­ конечном наборе электронных состояний с отрицательной энергией. Введение вторичного квантования электронного поля допускает, конечно, более про­ стое рассмотрение этих решений; они считаются относящимися к положитель­

ной энергии, но для позитронных

компонент поля, которые затем

рассматри­

ваются

на той же основе,

что и электронные компоненты. Когда

уравнение

Дирака используется

для описания частиц со спином 1/2, отличных от элек­

трона,

решения

с отрицательной

энергией дают соответствующую античас­

тицу,

т. е.

мюон—антимюон, нейтрино—антинейтрино, протон — антипро­

тон и т. д.

 

 

 

 

 

 

 

 

Решения,

отвечающие

двум

положительным

энергиям, могут

быть

записаны в

виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г|5± W =

" ± ( P ) e ' ( к ' Х - а ° .

 

(ПБ.ЗЗа>

Здесь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ \Е\+тс2

. . - .

,

 

 

 

 

"*<»'-

T i m

.

* i •

<

г а ш »

4

где х

—двухкомпонентный спинор Паули, удовлетворяющий

уравнению

 

ъ3%

2 = ± Х

•

 

(ПБ.34),

Решения

(ПБ.ЗЗб) удовлетворяют

уравнению

 

 

 

 

(р — і т с ) ц ± ( р ) = 0,

г

(ПБ.35>

где P = P M , V ( 1 . В пределе р <С тс это решение

принимает вид

 

« ± < p > ~ ^ c ± T j -

( П Б - 3 6 >

поэтому верхние две компоненты дираковского спинора называются боль­

шими

компонентами.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Напишем решение

для отрицательной

энергии

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г | ) ( х ) = о ± ( р ) е - і ( к ' х - ш ' > ,

 

 

(ПБ.37а)

соответствующее физическому позитрону

 

с наблюдаемым

импульсом р = Йк

и положительной

энергией

—Е =

Кш; здесь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

/

 

C G ' P

=*=

Ї

 

 

 

 

 

 

(

\Е

| ф / п с 2

у/*

I

 

\Р\^тг*%

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X± 2

 

 

 

 

Это решение

удовлетворяет

уравнению

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- Р - Г +

— Р — • т

с

I °± (Р) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/

 

 

Ї Й С О

 

 

 

\

 

 

 

 

 

 

 

=

( —P - Y — —

Р — I

M

C

J ° ± (Р) = 0.

 

(ПБ.38)

в

то

время

как

и ±

( — р )

удовлетворяет

 

уравнению

(ПБ.35) с р 4

= i £ / c =

=

—

І Г І С О / С .

В низкоэнергетическом пределе

р <С тс

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

•

(ПБ.39)

Поэтому большими компонентами в нерелятивистском

пределе для позитрон

ных состояний являются нижние компоненты.

 

 

 

 

Заметим, что нормировка в (ПБ.ЗЗ] и (ПБ.37) выбрана такой, что

 

 

 

 

 

 

 

и+(р)и(р) = 1.

 

 

(ПБ.40)

Это

соответствует нормировке

плоских

волн функции (ПБ.32а),

принятой

в нерелятивистской квантовой механике. Такой выбор

удобен для наших це­

лей,

так как во многих приложениях нам понадобится волновая функция ну­

клона в нерелятивистском

пределе в качестве первого шага для построения

волновых функций, описывающих

многонуклонную систему при низких энер-

ниях. Мы можем затем получить все результаты обычного

квантовомеханиче-

ского рассмотрения, в том числе хорошо известное выражение для плотности состояний в случае плоских волн, нормированных в соответствии с (ПБ.32а)

и(ПБ.40):

p = ^ ' S d Q p = w f d Q *

(ПБ-41)

где Я р — элемент телесного угла для частицы с импульсом р. В приложениях,

требующих

учета свойств инвариантности, удобно использовать нормировку

и ' (р)"'(р) =

" ' + (р)Р"'(р) =

1,

что не выполняется

в нашем случае. Вместо

этого мы имеем

 

 

 

 

 

й(р) и (р)

=

и+ (р) рЧі (р) =

^f,

(ПБ.42)

 

 

 

/

Е

 

что можно легко проверить с помощью уравнения Дирака или используя яв­ ный вид решений (ПБ.ЗЗб) или (ПБ.376). Заметим, что в (ПБ.42) величина Е

положительна для решении с положительной энергией и отрицательна для решений с отрицательной энергией.

Для рассматриваемых здесь решений уравнений Дирака для свободных частиц можно ввести проекционный оператор для состояний частиц с положи­

тельной энергией

 

 

Р + =

2

« Х ( Р > « Х М Р ) - £ £ ± ^ Р =

 

 

 

= т ( 1 + — | f |

 

)•

 

( П Б -4 3 >

который

удовлетворяет

уравнениям

 

 

 

 

 

 

 

Р +

" ± (Р) = и± (Р),

P+v±(—Р)

= °-

 

(ПБ.44)

Проекционный оператор для состояний частиц

с отрицательной

энергией,

который

дополняет оператор

Р+,

имеет вид

 

 

 

 

 

Р-=

Is Vh(-P)vt

( - Р ) =

 

£ Т £

Р =

 

 

 

 

= Т ( ' - £ І Т І Г £

' ) -

 

 

Он обладает

свойствами

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р _ И

± ( р ) = 0,

P_v±(-v)

= v±(-v).

 

(ПБ.46)

Проекционные операторы

особенно

полезны

для вычисления

средних и

сумм по спиновым состояниям. Если для произвольной спиновой матрицы тре­ буется вычислить

®= 2 2 | (Р') ^ « ^ ( Р > | 2 =

=

2 2

[«+(P ')P^«, . (P )",t ( р ) £ з + К ( р ' ь

< П Б - 4 7 >

 

Я = ± ( х = ±

 

 

то определение

(ПБ.43) дает

 

 

2

[ а + ( р ' ) Р 0 Р + ( р ) О + р И д ( р ' ) ] .

(ПБ.48)

ц = ± Сумму по оставшимся спинорам можно распространить также и на состоя­

ния с отрицательной энергией, если учесть, что проекционный оператор Р+

аннулирует эти дополнительные слагаемые.

 

:

В силу (ПБ.44) можно написать

 

 

 

<^=

2 W+

( р ' ) Р о р + ( Р ) й + р р + ( р ' ) " м , ( р ' ) +

+

V+ ( - р ' )

(р) Q+ рР+ (р')

( - p ' ) J

=

 

= Sp{pQP + (p)Q+pP+(p')} .

(ПБ.49>

Здесь мы воспользовались тем, что

ы ± (р') и У ±

(—р') образуют пространство

решений уравнения Дирака (ПБ.32)

с

импульсом р', так что сумма четырех

диагональных матричных элементов

оператора,

которые

можно построить,

из этого набора

состояний,

дает

шпур оператора.

f

Смотрите также файлы