Файл: Айзенберг И. Механизмы возбуждения ядра. Электромагнитное и слабое взаимодействия.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 170

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

циентов Клебша—Гордана выбрано обычное условие для фаз, так что они являются действительными, то и коэффициенты Рака также действительны.

Поскольку коэффициенты Рака непосредственно связаны с элементами матрицы унитарного преобразования (ПА.29), нетрудно получить соотноше­ ния ортогональности, которым они должны удовлетворять

У

f2р

W (abed; ef) W (abed; eg) = 8fg.

 

(ПА.32)

є

 

 

 

 

 

 

Из других полезных

соотношений отметим

правило сумм

Рака

 

Уі( — 1 ) а + ь - е е2

W (abed; ef) W (bae'd;

eg) = W (afgb; cd) •

(ПА.33)

e

 

 

 

 

 

 

и тождество Эллиота-Биденхарна

 

 

 

^{2W(Atdc;

aC)W (bteC; Bc)W (Atfb; aB)

=

 

 

=

W (adbe; cf)W (AdBe; Cf).

 

(ПА.34)

Коэффициенты W (abed; ef) обладают высокой степенью симметрии, поскольку существует 24 возможных набора параметров, удовлетворяющих правилам треугольника. Если {ABCDEF} есть перестановка указанных шести пара­ метров, таких, что W (ABCD; EF) сохраняет все условия треугольников, имеющиеся в W (abed; ef), то

 

 

 

 

W (ABCD;

EF) =

( — \ ) E + F - e

- >

W (abed; ef).

(ПА.35)

Например,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W

(abed; ef) = W (bade; e/) = W (acbd; fe) =

 

= (—l)b+c~e-l

W (aefd; bc)=(

— l)a+d-e-!W(ebcf;

 

ad).

(ПА.36)

Эти условия симметрии более просто выражаются с помощью

&}-симеолов,

определяемых

выражением

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a j b

S ]

=

(—\)a+b+c+dW(abcd;

 

 

ef).

 

 

(ПА.37)

 

 

 

 

dc

f\

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Как следует из (ПА.35),

6/-символ остается инвариантным при любой четной

и нечетной

перестановке его столбцов

и при любой перестановке

верхних и

нижних элементов в каждом

из двух

столбцов.

 

 

 

 

Наконец, укажем выражения для некоторых особенно часто встречаю­

щихся

коэффициентов Рака:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б

б

 

 

 

 

 

 

 

 

W (abed;

0/) =

( —

rf-b-d

jb_cd

^

 

 

(ПА.38)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

bd

 

 

 

 

W(aabb;

І с М - І ) * ^ " 1

 

• ° < ° + В + * (» +

D - « ( « + В

( П А . 3 9 >

и

 

У

'

'

 

 

2 [я (а + 1) ( 2 а + 1 ) * (fc-fl)

(26

4 4 ) ] 1

/ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\

l2(k

l2

J | ООО) W ^

h и U; jfj)=(

h к JI Y ~

7

° ) •

( П А - 4 0 )

где подразумевается,

что 1г,

l2,

J в

правой

части удовлетворяют условию

треугольника,

а сумма

1Х 4

h +

. / д о л ж н а

быть

четной.

 

 

§ ПА. 4. СЛОЖЕНИЕ ЧЕТЫРЕХ УГЛОВЫХ МОМЕНТОВ. 9/-СИМВОЛЫ

Конструкции, которые мы рассматривали как коэффициенты унитарного

преобразования между разными представлениями для суммы трех

угловых

моментов, могут быть также обобщены на четыре и более угловых

момента.

Случай четырех угловых моментов имеет то достоинство, что получается уни­ кальный результат для изучаемого преобразования, который не имеет места для пяти угловых моментов. Кроме того, это преобразование является чрез­ вычайно полезным, так как если рассматривается двухчастичное взаимодейст­ вие для частиц со спином и орбитальным угловым моментом, то в задаче фи­ гурирует как раз.четыре угловых момента. Пусть требуется, например, полу­

чить преобразование между

хорошо известными схемами связи LS и //. Обо­

значим операторы

углового

момента

через

1, соответствующие

собствен­

ные значения отметим

индексом

/ и введем также s и s для спина. Две части­

цы будем различать с помощью

индексов

1 и 2.

Тогда

можно указать две

схемы связи (см. § ПА.З):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

LS-связь:

L =

li - f 12,

S = s1 -f4 s2 ,

J = L - ^ S

 

с

диагональными операторами

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\\.

ll

s?. si.

L 2 = L ( L + 1 ) ,

S 2 =

S ( S - f 4 ) ,

 

 

 

 

 

J 2 =

7 ( / - f i ) ,

J3 = M;

 

 

 

 

/'/-связь: j i — l i

+

s b

j 2 = I 2 + s2 .

J = Ji-Ф-Ів

 

с

диагональными операторами

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

І?.

«І- Sl. S|. j ? = / i C A + l ) .

J2=/2(/2^1) .

 

 

 

 

 

J* = J(J±1),

J3 = M.

 

 

 

Используя трижды

форміулу

(ПА. 14)

для каждой из схем связи, можно по­

строить соответствующие

собственные

функции ч)5; -Т ^)

и ^'jm(j1js)-

Унитар­

ное преобразование

между

ними имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г к

S i її 1

 

 

 

 

Vim(LS)

-

2

h

"k 1

S

\ U '

4 h

*/«

UІ /.)•

•

( П А - 4 1 )

 

 

 

/,

/.

 

 

 

(L

S

J )

 

 

 

Эти коэффициенты называются Ъ]-символами.

Они не зависят от т и обладают

тем свойством, что элементы любой строки или любого столбца удовлетворяют условию треугольника, если 9/-символ не равен нулю; 9/-символы можно также определить для любых четырех угловых моментов \ l t 12> sx , s2 , и их полезность

не

ограничивается

частным случаем орбитального и спинового

угловых мо­

ментов двух частиц.

и T | ) ; - m ц1}-г) триж­

ды

Поскольку при построении каждой из ф у н к ц и й і ) ) ^ ^ )

использовалась

формула (ПА. 14), 9/-символ может

быть

записан как

сумма по магнитным квантовым числам шести коэффициентов Клебша— Гордана. Из этой записи можно сразу же заключить, что 9/-сиывол — действи­

тельная величина. С помощью

(ПА.31) можно показать, что

Г к

S i

/і -j

 

\u.hU

\ = . ( - l ) ' »

+ s >+b + '=+ s =+/ -- + i + s + - ' X ..

[L

S

J J

 

x E ^ t s i la h L; tlj W (US l h S; ts2) W (Lfi S/2 ; U).

(ПА.42)

9/-символы удовлетворяют условию ортогональности

 

 

[ 4 Si

/і

I

j /і

Sj. /j.

\

 

 

V

]\ ll It' SS'

I,. s3

/,

 

/о

s2 /,

) ==

8LL'dSS'

(ПА.43)

/, /,

"

\LS

J

\

[L'

S'J')

 

 

и обладают такими свойствами симметрии, что перестановка любой строки или столбца с любой другой строкой или столбцом приводит к умножению на величину

l)h + Si + h + h + s, + h + L+S + J^

Отражение 9/-символа относительно любой из его диагоналей оставляет его инвариантным. 9/-символ, определяемый соотношением (ПА.42), иногда на­ зывается Х-коэффициентом и записывается в виде X (lisjii /gSg/g; LSJ).

Укажем некоторые часто встречающиеся 9/-символы:

 

С к

«і

її ]

 

 

1

 

 

 

 

hHh)

= ( - l ) b

+ L - ' « - s ' ' - ^

л

 

 

 

L

L 0

j

 

 

Л

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

li

~2

h

 

 

 

V~2

\ U_

LS

(kl2LI000)

1

 

 

 

 

 

 

 

к

у

h

 

 

 

 

 

 

 

L

S

J

 

 

= ( - 1 )

 

 

 

 

1

 

 

 

 

Ui J f M - g - , — 2 " 0 ) f „ ( L S J ) .

Здесь

подразумевается,

что в правой части

сумма

 

четной

и

 

 

 

 

 

 

 

 

U(J*1)]1/2'

1 /2У—1 У /2

1 / 2 У + 3 \ і /2

xj = ( 2 / f ^ l ) ( / | - / i ) .

2.

(ПА.44)

(ПА.45а)

должна быть

(ПА.456)

(ПА.45в)

§ ПА. 5. ТЕНЗОРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ТЕОРЕМА ВИГНЕРА — ЭККАРТА

Из закона преобразования (2.23) и (2.54) можно вывести соответствующий

закон для неприводимого тензорного оператора Tim

(m = — I,

— 1

,

.... /)

ранга /. Этот закон

имеет вид

 

 

 

 

 

 

T(R)TlmT(R)~1

=

2

D/„,m (01 ,e2 .e3 )r/ m ,.

 

(ПА.46)

Совокупность компонент неприводимого тензора Tim

(т =» —I,

—I +

1,

/)

иногда обозначают

как Т ^ .

Частным случаем такого оператора

является

векторный оператор, который преобразуется как тензор первого ранга. Если Viv V s , V3 суть компоненты этого оператора в декартовом базисе, то величины

V ± I = T - J z r ( K i i i V O . VQ=V3

(ПА.47)

у 1

 

являются тензорными компонентами [ср. (2.39)]. Скалярные операторы, ко­ нечно, соответствуют тензору нулевого ранга.

Если Sim

и Ті'т'

— Два

неприводимых тензорных оператора, то их про­

изведение SimTl,m,

также представляет собой тензорный оператор, но, вооб­

ще говоря, приводимый. Неприводимый оператор

ULM

может быть

построен

следующим

образом:

 

 

 

 

 

 

 

 

ULM~

S

(W Цтт'M)SLMTL,

 

Т . Г

 

(ГТА.48)

 

 

 

mm'

 

 

 

 

 

что иногда

записывается

в виде

j

 

 

 

 

 

 

U W [ S [ 4 ® T I ' 4 1 4 .

 

 

(ПА.49)

Рассмотрим специальный случай, когда 1=

V. Тогда в

выражении

(ПА.48)

L можно взять равным нулю

и определить скалярное

произведение

 

( s M . T M ) B ( - l ) ' n s M ® 7 * ' 4 [ 0 ] =

2

(~Цт

SbnTi-m.

(ПА.50)

При некотором частном выборе индексов скалярное произведение двух век­

торных

операторов

V^'-l и

W^'J

приобретает

вид

( V ^ - W ^ )

= V-W =

=

+ V 2 W 2 + V 3 W 3 .

 

 

 

 

 

 

Из закона преобразования (ПА.46) можно получить преобразование ве­

личины,

эрмитово

сопряженной

Tim:

 

 

 

 

 

Т (R) (Tlm)+T(R)-*

= 2

[Dlm,m

(Bj, 0

2 , 03 )*

(Гш.)*]

=

 

 

 

 

m'

 

 

 

 

 

« 2

( -

D m ' - m

Dl_m,_m

(0x,

в,. 03 )

( Г І ) Д , ) + ,

(ПА.51)

 

ffl'

 

 

 

 

 

 

 

 

где мы использовали свойство симметрии матриц конечных вращений. От­

сюда

видно, что (— l ) m

(Tit

_тп)+ преобразуется

по тому же правилу, что и

Tim,

Поэтому оператор

Т ^ +

, эрмитово сопряженный тензорному

оператору

Т ^ ,

мы определим в виде

 

 

 

 

 

(7, + )lm = ( - l ) m ( ^ - m ) + .

 

(ПА.52)

Коммутационные соотношения тензорных операторов с операторами угло­

вого момента (ПА.8) и (ПА.9) имеют вид

 

 

 

[J±, Г і т і - К А Т m) [І ± « Ф 1 ) ] 1

' 2 Tlm ± ! ,

(ПА.53)

 

 

 

Ws. Tlm]=[mT[m.

 

(ПА.536)

Отсюда можно получить доказательство теоремы Вигнера—Эккарта, которая утверждает, что матричные элементы неприводимого тензорного оператора, взятые между собственными состояниями операторов J 2 и J s , могут быть за­ писаны в виде*

<•/' « ' 1 TLM ! / " » > = №' I тМт') </" ||

И j),

(ПА.54)

* Следует помнить, что теорема Вигнера—Эккарта сформулирована несколько непривычно для русского читателя: приведенный матричный эле­ мент включаетв себя множитель (—1)2 L (2/' + 1 ) ~ 1 ' 2 . Поэтому соответствую­ щие формулы имеют другой вид [см., например, (4.84) и (7.24)].—Прим. перев.

Смотрите также файлы