Файл: Айзенберг И. Механизмы возбуждения ядра. Электромагнитное и слабое взаимодействия.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 168
Скачиваний: 0
где дважды отчеркнутая величина называется приведенным матричным эле
ментом и не зависит |
от всех магнитных проекций квантовых чисел. Иногда |
|
мы пользуемся для |
него другим обозначением <j'\\TL\\j). |
Зависимость от |
т и т' полностью входит в коэффициент Клебша—Гордана. |
В этом коэффи |
|
циенте также учтены правила отбора, которые подразумеваются в изучаемом
матричном элементе, а именно: у", /, /' должны |
удовлетворять правилу тре |
|||||
угольника и должно выполняться соотношение т' = in + |
|
М. |
|
|||
Тривиальным частным случаем формулы |
(ПА.54) |
является равенство |
||||
|
<У т' 1 /»г> = б ; 7 , б ш т , |
|
|
|
||
и до некоторой степени менее очевидный и очень полезный |
результат |
|||||
|
</' т' \ Jvl 1 jm> = |
6у 7 , С/1/1 »Чі'*') I/ (/ + |
1)11 1 2 , |
(ПА.55) |
||
где Ju |
определяется формулами |
(ПА.9). |
|
|
|
|
§ ПА. 6. ОБРАЩЕНИЕ ВРЕМЕНИ В ТЕОРИИ УГЛОВЫХ МОМЕНТОВ |
|
|||||
Операция обращения времени играет важную роль во многих |
областях |
|||||
ядерной |
физики, поскольку, как обычно предполагается, |
ядерные |
гамиль |
|||
тонианы, инвариантны, относительно этой операции. Следовательно, необ ходимо рассмотреть введение обращения времени в формализм угловых моментов. Это тем более полезно, так как дает возможность определить, являются ли данные приведенные матричные элементы чисто действитель
ными |
или чисто мнимыми. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Поскольку обращение времени означает изменение знака временной ко |
|||||||||||
ординаты, т. е. t ->- —t, |
оператор обращения времени удовлетворяет соотноше |
|||||||||||
ниям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
КтК+ = г, |
КрК+ = —р |
|
|
(ПА.56) |
|||
и таким |
образом |
изменяет знак в коммутационном соотношении |
\pi, |
rm] |
= |
|||||||
= |
і й б ; т . |
Значит, |
оператор К является антиунитарным (см., |
например, |
||||||||
[247]). Он может быть записан |
в виде |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
K = UKo, |
|
|
(ПА.57) |
|||
где |
Ко — оператор комплексного сопряжения, a U — унитарный |
оператор. |
||||||||||
Например, для одной частицы со_спином 1/2 оператор U имеет вид U = |
—іау, |
|||||||||||
в котором предполагается обычный выбор [247] спиновых матриц. Этот |
выбор |
|||||||||||
U учитывает тот факт, |
что, согласно |
(ПА.56), для оператора |
орбитального |
|||||||||
углового момента |
KLK+ |
= — L , и, следовательно, в общем виде |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
К1К+ |
= |
— J - |
|
|
(ПА.58) |
|
Если |
обозначить |
собственную |
функцию |
операторов J 2 и J3 |
через і|)у -т , |
ко |
||||||
торая удовлетворяет уравнениям (ПА.7) и (ПАЛО), то обращенная во времени
функция Ktyjm будет удовлетворять |
уравнениям |
|
||||
|
J 2 |
W ; m ) = / ( / + l ) W i m ) . |
(ПА.59а) |
|||
h |
msm) |
= |
-KJ3bm |
=—m |
m J m ) . |
(ПА.596) |
J± (K%-m)=- KJT |
bm= |
- |
Ш ±m){j^m^ |
I)] " 2 (Щтт |
О- (ПА.59В ) |
|
где для получения последнего результата использован тот факт, что К — антилинейный оператор и, следовательно, преобразует число в его комплексно
П Р И Л О Ж Е Н И Е Б
ТЕОРИЯ ДИРАКА
В предыдущем Приложении мы рассмотрели главные элементы одного из двух основных теоретических методов, необходимых для рассмотрения меха низмов возбуждения ядра. Вторым методом является метод, используемый в теории Дирака. В данном Приложении мы дадим очерк той его части, кото рая нужна в этой книге. Обзор будет служить целям установления исполь зуемых обозначений. Теория Дирака более подробно обсуждается в боль шинстве книг, указанных в конце гл. 4, и в книге Роуза [290].
§ ПБ. 1. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА И ЕГО ТРАНСФОРМАЦИОННЫЕ СВОЙСТВА
Уравнение Дирака является релятивистским обобщением уравнения Шредингера на случай частиц со спином 1/2. Оно представляет собой диф ференциальное уравнение первого порядка как по временным, так и по пространственным производным и в отсутствие вн ешнего поля может быть записано в виде
дгр (г. t)
№ p ( r . f ) = i f t |
*ygt ' , |
(ПБ.Іа) |
где величина |
|
|
Я = с а - р ^ Р т с 2 |
(ПБ.Іб) |
|
|
/ М |
|
выражается через оператор импульса р = |
( — І V и массу частицы m. Волно |
|
вая функция^ имеет несколько компонент в пространстве |
векторов-столбцов, |
|
называемых спинорами. Эрмитовы матрицы а и р действуют в пространстве
спиноров.
Тот факт, что уравнение (ПБ.1) правильно описывает релятивистскую кинематику частицы, будет установлен в конце данного параграфа. Будет показано, что два спинора, соответствующих решению уравнения (ПБ.1) в двух различных лоренцевских системах отсчета, могут быть приведены во взаимно однозначное соответствие и могут считаться описывающими одно и то же физическое состояние. Сейчас мы только отметим, что уравнение (ПБ. 1)
действительно дает ожидаемое релятивистское соотношение между |
энергией |
||||||||
и импульсом, |
так как |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
j |
з |
|
з |
|
|
|
|
Я 2 |
= |
— с 2 |
2J |
5J («У |
РА Н*- |
|
||
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
ф т с 3 |
2 |
(«./Р + |
Р Ч М ^ - Р 2 ('«C 2 ) 2 = c*p*4- ( т с 2 ) 2 |
(ПБ.2) |
||||
|
|
/=1 |
|
|
|
|
|
|
|
при условии, |
что выполняются |
коммутационные |
соотношения |
|
|||||
|
|
aj |
а й"Ф"а Ь а у = |
2 б д , |
се,- Р-ф- Р<х;- = 0, |
(ПБ.За) |
|||
и условия нормировки |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Р2 = |
1. |
|
(ПБ.Зб) |
Таким образом, а и Р образуют набор четырех эрмитовых и унитарных антикоммутирующих матриц; они должны быть, по крайней мере, матрицами
4 x 4 . Частное |
выражение для этих матриц, удовлетворяющее условиям |
(ПБ.З), имеет |
вид |
: ; ) - H J J ) -
где а—матрицы Паули 2 x 2 , т. е.
|
|
Ч > i> |
- ( I Л)- |
<™-5> |
а / |
— единичная матрица 2 X 2 . |
|
|
|
|
Можно переписать уравнение Дирака в другой форме, в которой времен |
|||
ные и пространственные производные входят более симметрично. |
Умножив |
|||
уравнение |
(ПБ.1) слева на pVftc, получим |
|
|
|
|
|
— iP«-V^p — —-ф" — J ф(г. 0 = 0 |
(ПБ.6) |
|
или* |
с |
|
|
|
где |
|
( т д ^ Г * Т " ) * ( х ) " 0 , |
( П Б - 7 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Y = — ф а , а = і р у |
7і = Р, |
(ПБ.8) |
и * 4 |
— \ct. |
Согласно (ПБ.З), у-матрицы должны удовлетворять соотношениям |
||
|
|
Y n Y v + Y v Y u = 2 S p . v . |
(ПБ.9) |
|
Они являются эрмитовыми и унитарными, и рассмотренное частное представ ление (ПБ.4) дает
/ 0 |
—із |
М- |
(ПБ.10) |
\ia |
Y « = |
||
0 |
|
|
Обратимся теперь к установлению лоренцевской инвариантности урав нения (ПБ.7). В преобразованной системе отсчета это уравнение будет иметь вид
( ^ • т ) * ' ^ ' 0 ' - - |
( П Б Л 1 ) |
|
где преобразованные координаты х^ |
связаны с исходными |
координатами х^ |
соотношением |
|
|
* i = |
V * v . |
(ПБ.12) |
Матрица преобразования должна быть ортогональной, т. е.
flMva,iP=6vP' |
a vn<W = §vP- |
(ПБ.13) |
Поэтому |
|
|
d e t ( a ) = ± l . |
(ПБ.14) |
|
* Греческие нижние индексы здесь пробегают значения 1, 2, 3, 4, в то |
||
время как латинские индексы пробегают значения |
1, 2, 3. По повторяющим |
|
ся индексам проводится суммирование. Для некоторых целей удобно ввести нулевую компоненту 4-вектора Vt= iV0.
Для преобразований, непрерывно переходящих от тождественного, матрица а
в действительности является унимодулярной, |
т. е. |
det(a) = l . |
(ПБ.15) |
Эти преобразования называются собственными и не включают отражения нечетного числа осей. Кроме того, преобразования, имеющие положительное значение величин а 4 4 , называются ортохронными. Они сохраняют направле ние временной оси. Мы будем рассматривать здесь только ортохронные пре образования.
Мы должны показать, что решение уравнения (ПБ.11) связано с решением уравнения (ПБ.7) с помощью преобразования Л, которое зависит от матрицы а. Это будет так, если существует такое Л (а), что
і)/ (x')^\ty(x), |
(ПБ.16) |
где Л должна быть матрицей 4 X 4 . Так как
6 |
' |
- ^ . |
- L . |
(ПВ .. 7, |
dxd |
дх» dxv |
(AV |
dxv |
|
то из уравнений (ПБ.7) и (ПБ.11) мы должны иметь
A - 1 Y M . A = a t l v V v . |
(ПБ.18) |
С помощью теоремы, доказанной Паули (см. [290]), можно установить, что Л должна существовать и должна быть неособенной. Действительно, если рассмо треть собственные бесконечно малые преобразования вида
a H V = 6 H V + e . u v . |
( П Б Л 9 > |
где в соответствии с (ПБ.13) 6 ^ v = — e V ( X , |то
! A = 1 ^ 7 V V |
.! |
< П Б ' 2 0 ) |
При этом Sp,v=—Svp;, Из (ПБ.18) имеем
LYn, SXv] = Y v V - V # ^ v . |
(ПБ.21) |
Для собственных ортохронных преобразований можно найти из этого уравне ния
S n v e 7 - V n V v . |
(ПБ.22) |
Тогда, рассматривая последовательность бесконечно малых |
преобразова |
ний, получаем |
|
Л = е х р (±- в ^ у ^ У |
(ПБ.23) |
Существование этой неособенной матрицы преобразования (ПБ.16) означает ковариантность уравнения Дирака при собственных ортохронных преобра зованиях.
Матрица (ПБ.23) может быть использована для проверки трансформа ционных свойств различных комбинаций матриц Дирака, умноженных слева
