Файл: Клемин А.И. Инженерные вероятностные расчеты при проектировании ядерных реакторов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 210
Скачиваний: 1
114]; |
наработка |
до бтказа, который наступает из-за появления |
а > |
1 пиковых |
выбросов (например, всплесков нагрузок), при ус |
ловии, что поток этих выбросов является пуассоновским с пара
метром Я[8] (кстати, эти величины как раз и будут' двумя |
парамет- |
п |
|
рами гамма-распределения); случайная величина X = 2 |
где |
все Xi имеют одно и то же экспоненциальное распределение (3.4).
Р и с . 4. Л о г а р и ф м и ч е с к и н о р м а л ь н ы й з а к о н |
п р и Мх = |
|
= М2= |
о"! = 1, а2 = 4 ~ с т і ; М о = е |
М ~ а ' - |
Дифференциальный закон для гамма-распределения
(рис. 5) |
|
|
( |
' 0 при х < О, |
|
||
/ ( ^ ) = U ( ^ ) « - 1 |
|
. . . |
^ . |
——' |
ехр(—Кх) |
при х>0; Х > 0 ; |
|
г W |
|
|
а > О, |
где Г(а) — так называемая |
гамма-функция: |
||
|
|
оо |
|
Г(а) = |
|
| х а - 1 е х р ( — x ) d x , |
|
которую можно рассматривать как обобщение понятия ла на случай дробного аргумента а[20], поскольку
Г (а) = (а — 1) Г (а — Г):
имеет вид
v(3.17)
(3.18)
факториа
(3.19)
При а — целом и положительном Г(а) = (а — 1)(а — 2) ...2-1 =
= |
(а — 1)!. |
Полезно |
помнить, |
что |
Г(1) = Г(2) = |
1; r(V2 ) = |
||||
= |
/ я ; Г(3 /2 ) |
= |
У я/2; |
0,8856< [Г(1 < |
а < |
2)] < 1. |
|
|||
|
Основные |
числовые |
характеристики |
для |
гамма-распределения: |
|||||
|
|
М |
(X) = а/к; D (X) = а/Я2 ; а = Уа/к. |
(3.20) |
||||||
Интегральный закон для |
гамма-распределения имеет |
вид |
||||||||
|
|
|
|
їх |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F (х) — [ г°~' е |
х р ( ~ z ) dz = уа |
{he), |
(3.21) |
||||
|
|
|
|
|
Г |
( а ) |
|
|
|
|
где |
Уа(и) = |
Г" |
2а — ЄХР ( |
Z) |
|
неполная |
гамма-функция, она |
|||
\ |
|
——— dz— |
||||||||
|
|
о |
Г ( а ) |
|
|
|
|
|
|
|
табулирована и приведена в табл. П.2 в приложении.
О і 2 J 4 5 6 7 S *
Р и с . 5. Г а м м а - р а с п р е д е л е н и е п р и к = 1 ; М о = ( а — 1 ) Д .
Непосредственно из рис. 5 видно, что при возрастании ос гаммараспределение приближается к нормальному закону. Например,
при а ^ 10 |
|
|
|
Р {а < X < Ь) = уа (Щ — уа(ка) s |
Уа/% |
а — ( а / Х ) |
. (3.22) |
|
J |
|
Из гамма-распределения как частные случаи получаются мно гие известные законы распределения.
1. При а — 1 — экспоненциальный закон (3.5).
2. При а — k (k — целое число) — закон Эрланга:
/ ( * ) = * . |
ехр(—Хх). |
(3.23) |
(ft—1)! |
|
|
|
величины X = |
fe |
Это закон распределения случайной |
где все |
|
|
|
«"=« |
X; подчиняются экспоненциальному закону с параметром А, (на пример, распределение промежутка времени между первым и k-м от казом сложной системы).
Р и с . 6. З а к о н р а с п р е д е л е н и я х2 ; M o = k — 2 п р и k » 3.
3. При |
а = |
£/2 (& — целое число) |
и % = V 2 |
— распределение |
|
X2 с & степенями свободы (3.25). |
|
|
|
||
Закон распределения %2 Пирсона. Рассмотрим случайную ве |
|||||
личину X, |
равную сумме квадратов |
нормально |
распределенных |
||
независимых случайных величин: |
|
|
|
||
|
|
•X = Y* + Yl + ...+Yl= |
2 У?. |
|
(3.24) |
|
|
|
(= і |
|
|
Если все |
Yt |
имеют нормированные |
(а — 1) и |
центрированные |
|
{М — 0) нормальные распределения, т. е. f(yt) — -у= |
е х Р ( — У?/2), |
||||
то случайная величина X распределена |
по закону у? с k степенями |
||||
свободы (рис. 6) |
|
|
|
|
|
|
|
[ — ї 7 о ^ ( * / 2 ) - 1 |
е х р ( — х / 2 ) . |
(3.25) |
|
Здесь х > 0, k — целое число, равное числу |
независимых |
случай |
ных величин. Для распределения х2 |
|
|
М (X) = k\ D (X) = 2k; а = |
У 2k. |
(3.26 |
Распределение х4 является устойчивым законом, так как сумма (композиция) нескольких независимых случайных величин, рас пределенных по закону %2, имеет также ^-распределение с числом степеней свободы, равным сумме степеней свободы слагаемых.
Интегральный закон распределения %2 имеет вид:
JVA/2) exp ( — х / 2 ) dx
|
T ( A / 2 ) - 2 * / s |
1-&{х, |
k), |
(3.27) |
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
SF>(x, A ) - |
x(*/2 >-' exp |
Г (й/2)-2k/2 |
||
j |
(—x/2)dx |
|
|
|
функция, называемая |
интегралом |
вероятности %2, |
она |
приведена |
в табл. П.З в приложении. Очевидно, что SF>iO,.k)= 1, 5а(оо,- -k)~ 0.
Величина $>{х = |
10, А = 6) изображена на рис.. 6 заштрихованной |
||
площадью. |
|
|
|
В соответствии с теоремой |
А. М. Ляпунова (3.7) случайная ве |
||
личина х2 (3-24) |
при больших |
k(k |
20) распределена практически |
нормально с М = k и а = У2k, т. е.
|
|
9*Qc,k)s*0,5 |
|
— <b[(x — k)/V2kl |
|
(3.28) |
|||||||
Закон распределения эксцентриситета (закон Рэлея). Закону |
|||||||||||||
Рэлея |
подчиняется |
|
случайная |
величина |
эксцентриситета е = |
||||||||
= \/ X2 |
•+ Y2, рис. 7 |
(величина |
смещения центров |
коаксиальных |
|||||||||
цилиндров, отверстий |
и т. п.), при условии, что X и. Y распределе |
||||||||||||
ны нормально с М(Х) |
= |
M{Y) |
= 0 и о(Х) = |
o(Y) = |
о. |
|
|||||||
Закон |
распределения |
эксцентриситета |
имеет вид (рис. 8) |
|
|||||||||
|
|
|
/(е) = |
•еехр |
|
е |
^ 2 |
|
(3.29) |
||||
|
|
|
|
а |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При этом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М(е) |
= |
аУя/2; |
D (є) = |
а2 |
(2 — я/2); |
|
(3.30) |
||||
|
|
• |
а (є) = |
а К 2 — л/2! - |
|
• ; |
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
^ ( е ) • = |
1 _ е х р (—е2 /2а2 ).- |
|
(3.31) |
|||||||
Закон |
распределения |
Стьюдента. |
Ему подчиняется .случайная |
||||||||||
величина |
• . |
.'. і |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
/ |
= |
YlV-Xlk, |
\ , |
і ; ! І І - \ . - . . 0 |
(3.32) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2Ь
где |
Y — случайная |
величина, распределенная |
по нормированному |
|||
и центрированному |
нормальному закону |
(т. е. а = 1 и М = 0 ) , |
||||
а X — по закону %2 (3.25) с k |
степенями |
свободы, причем X и Y |
||||
независимы между |
собой. |
|
|
|
||
Закон распределения Стыодента с k степенями свободы имеет |
||||||
вид |
(рис. 9) |
|
|
|
|
|
f |
( Л |
Г [ ( А - Н ) / 2 ] |
|
|
1 + |
£ ч - « + „ / . _ ( 3 3 3 ) |
/ h |
U |
VnkT(k/2) |
|
|
|
|
Области возможных значений: — |
оо < ^ < с о ; k |
> 1 — целое. Кри |
||||
вая |
fh(t) |
значительно медленнее |
спадает к оси t, чем нормальное |
|||
|
|
|
|
распределение. Однако это спра |
||
|
|
|
|
ведливо лишь при малых k. При |
||
|
|
|
|
k >- оо (k ^ |
30) закон Стьюдента |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
46 С |
Р и с . |
7. |
Э к с ц е н т р и с и т е т |
осей к о а к |
Р и с . |
8. З а к о н р а с п р е д е л е н и я э к с |
|||
|
с и а л ь н ы х ц и л и н д р о в . |
|
ц е н т р и с и т е т а ; М о = а . |
|||||
очень близок к центрированному |
и нормированному |
нормальному |
||||||
закону |
(фактически |
не |
зависит |
от k). |
Для закона Стьюдента |
|||
М |
(t) = 0; D (t) = |
|
— 2) (при k > |
2), а = |
— 2). (3.34) |
|||
В случаях А = 1 и А = |
2 дисперсия D(^) = оо. |
|
||||||
Интегральный |
закон |
имеет вид |
|
|
||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
F(t)=Bk\[l+-r) |
|
|
.dt = -[l+cc(t,k)], |
(3.35) |
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а (*, ft) = |
| м * ) Л = 2 Я Л | ( і + - |
(3.36) |
||||
|
|
|
- < |
|
|
о |
|
|
— вероятность, что случайная величина, распределенная по за кону Стьюдента, попадает в интервал (— t, t). В инженерных при ложениях обычно бывает нужным отыскивать не вероятность а по заданным t и k, а величину t, соответствующую заданным а и k.