Файл: Клемин А.И. Инженерные вероятностные расчеты при проектировании ядерных реакторов.pdf

чений (замеров) некоторого определяющего параметра

объекта

при прочих постоянных условиях:

л'х, х2,

хп.

(13.15)

Если отсутствуют случайные

факторы, сопровождающие изме­

М(х).

Будем говорить, что объект находится

в состоянии S, если

математическое

ожидание

определяющего

параметра

объекта

М{х)

=

S.

Допустим, что величина S может попасть в один

из двух непере­

секающихся интервалов на оси х:

S0 в [а0, Ь0] и S1

в [alt bt]*

и известны априорные вероятности попадания S

в эти

интервалы

ро и

Обозначим Но гипотезу о том, что 5

находится в нулевом

интервале, a Ht — в первом интервале. Требуется

сформулировать

правило,

которое

позволит,

основываясь на данных

эксперимента

(13.15),

выбрать

решение

у0

или yi

относительно

справедливости

гипотезы Н0 или

Ht.

получить

(по аналогии с

рассмотренным

Такое правило можно

риска

(13.1).

Бейесовское правило выбора решения теперь формулируется

так:

принимается

решение yt (отвергается гипотеза Н0),

если вы­

полняется условие

ГФІ (S)L(XUX2

xN/S)

dS

?i

> п 1 0 - п 0 0 , _pp_^c ;

( 1 3 Л 6 )

І Фо (S) L (xlt

x2

xn/S)dS

П 0 1 — П п

px

решение

уо принимается

(справедлива гипотеза Н0), если выпол­

няется

противоположное

неравенство. Здесь

ср0 (5) и

cp^S) —

мер,

как частный

случай

получается

неравенство

(13.8). Пороги

с для

бейесовского

выбора

решения

и для выбора

по критерию

*

В о б щ е м с л у ч а е эт и и н т е р в а л ы м о г у т б ы т ь с а м ы м и п р о и з в о л ь н ы м и , н а ­

ч и н а я

о т п о л у б е с к о н е ч н ы х [ — о о , х0] и [х0, оо - j - ] и к о н ч а я в к л ю ч а ю щ и м и в се ­

хн ^ Д], то законы распределения

cp0(S) и cp^S) отдельно для

интервалов S0 и 5Х можно

записать

Ф(5)

при S Е 5 0 ;

Ф о (S)

Ф (S) dS

д-—д О

при 5 6 Si-,

(13.19)

н + д ( 5 )

при S 6 Si;

«Pi(S) =

"\

<P(S)dS

О

при 5 6 50 .

р 0 = Р { Л Г ( * ) < х н } = J cp(S)dS =

^ - Д = 0,5; P

l = l - p 0 = 0 , 5 .

(13.20)

Для проверки гипотезы Я 1

необходимо пороговое

значение,

согласно формуле (13.16) и табл.

13.1 и 13.2,

100—0

20

(13.21)

5 - 0

j

cp1(S)L(x1,x2,...,xn/S)dS

л, =

.(13.22)

J"

фо (S) L (xlt x 2 , . . . , xn/S)

dS

L(Xi, х2, ...,xn/S)=

Y\

ехр

1 /

Xi-S\2

а У 2л

i = l

гТ/2я ехр

2

С^У

Подставляя

это выражение, а также %(S) = Фх(5) = 1/А в фор­

мулу (13.22)

и учитывая, что

2

л (5

-xf

(13.23)

где л и а 2 вычисляются

по формулам

(4.6) при п = 30,

получаем

( S - x ) a

dS

2 а 2

Jit '

Є Х

Р

— ( 5 - х ) 2

Д

2 а 2 V

J - Хд-^Д- Л

- Ф

/ х н — х

Ф

(13.24)

ф

• Ф

а/Уп

а/у nj

\

Здесь

а — генеральное

среднее

квадратическое

отклонение

за­

грузки для партии 5000 каналов. Его можно

оценить по формуле

_

і

3 0

(4.9). По выборке (13.18)

находим

х =

зб2>,-

=100,43;

а «

1,38.

Тогда,

подставляя х н =

100 и

А = 2,

получаем

(см. табл. П.1)

Ф ( 6 , 2 ) - Ф ( - 1 , 7 1 )

0,5 + 0,456

22.

(13.25)

Я-1

Ф ( — 1 , 7 1 ) — Ф ( — 9 , 6 )

0 , 5 — 0 , 4 5 6

Следовательно, я х > с =

20, т. е. гипотеза

Я х

(Л1(х) >• хн ) прини­

мается.

2. Рассмотрим второй случай, который часто встречается на

практике: М(х) с большей вероятностью

оказывается

меньше

но­

минального значения. Это будет, например, если М(х)

=

S распре­

делено в пределах допуска по закону

0

при x n + A < S < x H

—А;

* „ • + Д — S

при х „ — A < S < x H

+ A

(13.26)

Ф ( 5 ) =

2 Д 2

(плотность вероятности линейно

падает

от

ср =

1/А в точке

5 =

= х н — А до 0 в точке 5 = х н +

А). По формулам

(13.20) находим