Файл: Клемин А.И. Инженерные вероятностные расчеты при проектировании ядерных реакторов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 230

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Условные риски /'о и 1\ для состояний S0 и Sx вычисляются соот­ ветственно по формулам:

'о = П 0 0 (1 -

+ П 1 0 6 і ;

 

'і = n 0 1 p 3

+

n u (1 -

p2 ), jj

(13.3)

где

 

 

 

 

Xn)

eGi/So} -

P {Vi/Яо};

.(13.4)

Xr,)

6 Go/S,} =

P {yjH,}

 

вероятности ошибок соответственно первого и второго рода (4.47).

Таким образом,

 

 

 

R = р 0 П 0 0 + р г П и +

РоРх (П 1 0 - П0 0 ) + р , 6 2 (П 0 1

-

П п ) . (13.5)

Чтобы минимизировать R, необходимо знать Вх и В2 . Эти вероят­

ности можно найти, если известен закон распределения

/ (х) слу­

чайной величины X,

выборку из которой хи х2,

хп

рассматри­

ваем. Обычно закон / (х) является нормальным, так как определяет­ ся случайными погрешностями измерений. Можно записать:

р\

=

f ... \ L

(xlt

х2,

 

xn/S0)xdx1,

dx2,

 

dxn;

)

 

 

G>

 

(XU

X.2,

 

xn/Sy)

X dxu

dx2,

 

dxn,

(13.6)

B2

=

j" ... J L

 

 

 

 

 

G0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

>

где L (xx,

x2,

xJSj)

— условный

закон

распределения системы

случайных величин хи

х2,

 

хп при условии, что имеет место со­

стояние

Sj. Поскольку Xi

независимы,

 

 

 

 

 

 

L

(хи

х2,

 

xJSj)

= hf(Xi/Sj).

 

 

(13.7)

Это есть функция правдоподобия для выборки хи

х2,

Хп при

условии, что 5 =

Sj.

Условный закон / {ХІ/SJ)

представляет собой

закон f (х) при 5

= 5;, х — xt (і =

1, 2,

п; j

= 0,

1). Подста­

вим выражения (13.6) в формулу для R (13.5), изменив в выражении

для В2 область интегрирования,

 

 

 

 

 

 

В2

= 1 — J ... J L (xlt

х2,

xJSj

dxlt

dx2,

dxn.

 

 

 

 

°i

 

.

•

 

 

 

 

 

Получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

=

РоПоо +

 

РіП 0 1 — j ... J [Pi (П 0 1 —

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о.

 

 

 

 

 

 

— П п ) L (xit

 

x2,

xr i /S1 ) — p 0

(П 1 0 —

 

 

 

Поо) ^ C*-i> x2,

 

xn/Sg)] dxy, dx2,

 

dxn.

Средняя функция риска минимальна, когда подынтегральная функ­ ция не отрицательна. Иными словами, в критическую область Glt где бракуется гипотеза Я 0 , следует отнести все выборки, для кото­ рых

 

L

(xi,

х%,..

•, xn/S{)

^ П1 0 —П0 0

_ Ро __ с

 

(13 8)

 

L

(Хі,

хг

 

xn/S0)

П0 і—П1 Х

рх

 

 

Отношение, стоящее в левой части неравенства, называется

отноше­

нием правдоподобия.

Это

есть частное

от

деления

вероятностей

получить данную выборку (xlt

х2,

хп)

в случае 5 =

Sx и 5 = 5 0

соответственно.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Итак, бейесовское правило выбора одного из двух взаимоисклю­

чающих

решений у0

и ух состоит в следующем. Если на опыте полу­

чена выборка xlt

х2,

 

хп;

для которой отношение правдоподобия

(13.8) не меньше с, то выбирается решение уг

о справедливости гипо­

тезы #х (гипотеза

# 0

отвергается) и наоборот. Так что область при­

емки гипотезы Н0

G0

=

(— оо, с), а критическая область Gx = (с, оо).

Правило выбора по максимуму апостериорной вероятности. Это

правило

выбора

решения

является

частным случаем

бейесов-

ского, когда потери (см. табл.

13.1)

Цю == П 0 ь П 0 0 =

П п .

Таким

образом, процедура выбора решения остается прежней [см. соот­

ношение (13.8)], изменяется лишь порог с:

 

с = p0/Pl

= pol{\ — ро).

(13.9)

Используя формулу Бейеса

(1.10), легко показать,

что такой спо­

соб выбора отвечает максимуму апостериорной вероятности состоя­

ния 5 Ь

т. е. вероятности

состояния

после измерений

величины

X:

X\i

ХП.

 

 

 

 

Правило выбора по максимуму правдоподобия. Можно условить­

ся считать гипотезу Нх

справедливой (т. е. принять

решение

ух

о том, что имеет место состояние SJ,

если функция правдоподобия

выборки

(13.7)

 

 

 

 

 

L (xlt X.,,

xJSJ > L

(хх, х2, .... xJSQ).

• (13.10)

Такое правило выбора решения также является частным случаем

общего бейесовского правила

(13.8) при равных потерях Пю =

П 0 1 ,

П0 о = П Ц

И вероятностях

состояний ро = Pi = 0,5.

В этом

слу­

чае

порог

с = 1.

 

 

 

 

 

 

Минимаксное правило. Оно также является частным случаем

бейесовского (13.8) и используется при неизвестных

априорных

вероятностях состояний ро и Pi =

1 — р 0 . При этом в качестве ве­

роятностей

ро и Pi в соотношении

(13.8) подставляют так называе­

мые минимаксные значения

р*™,

рм х м = 1 — р м 0 м .

Вычисление ве­

личины

рм 0

м достаточно трудоемко [115, 116]. Поэтому, когда нет

никакой

информации относительно величин р 0 и р ъ

более разумно

использовать бейесовское правило (13.8), положив в нем р 0 = P

l =

=

0,5.

 

 

 

 

 

 

 

9 Зак: 1282

241

Таким образом, процедура выбора решения по всем рассмотрен­ ным правилам единообразна и заключается в сравнении отношения правдоподобия (13.8) с порогом с, соответствующим применяемому правилу.

Выбор на основе последовательного анализа. Рассмотренные пра­ вила применяются для выборок л*!, х2, ... , хп определенного объема п. Если каждое измерение xt связано со значительными трудностя­ ми, то решение целесообразно выбирать с помощью методов после­ довательного анализа (анализа Вальда, [117]), позволяющего мини­

мизировать среднее значение объема п

выборки

(но, правда, не

учитывающего потерь при ошибочных

решениях).

В этом случае пространство выборок

делится

на три области:

G0 , Gx и промежуточную область Gn p0 M- Если выборка объемом п = 1 (одно измерение) попадет в область G0 , то гипотеза Я 0 принимается; она отвергается при попадании выборки в область Gx. Если же вы­ борка попадает в область G n p o M , то наблюдения должны быть про­ должены, т. е. необходимо произвести второе измерение и провер­ ку начать заново. Используя такое правило выбора решения, будем всякий раз проводить минимум измерений (опытов) п по сравнению с другими методами выбора решения.

Когда вероятности ошибок первого и второго рода р\ и р 2 не превышают 0,5, что, как правило, всегда выполняется в практиче­

ских задачах, рассматриваемое правило выбора

состоит в

сравнении

отношения

правдоподобия

с двумя

порогами [116, 117]. Если при

п-и

измерении

(п ^

2)

выполняются неравенства

 

 

 

 

 

Рз

^-

L (хх, Х2, . . . ,

Xji/Sj)

1 —Рг

/то

i i \

 

 

 

1—Рх

 

L(xl,x2,...,xh/S0)l

 

 

р

 

 

где

k = 1,

2,

.... п —

1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

(jti,

х2,

• • • , xn/S{)

. Рз

^

j

(13

12)

 

 

 

L

(*!,

х2,

. . . , xn/S0)

1—PJ

 

 

 

 

то принимается решение Y0 (при п = 1 достаточно выполнения одного второго неравенства). Решение ух принимается, если выполняется неравенство (13.11) и неравенство:

L (xi, х2,

. . •', xnIS-i)

^ 1-—Рг^ j

(13 13)

L(xltx2,

..:,xnlS0)

[Pi

 

Пример проверки простой гипотезы против простой альтернати­ вы. Для выяснения возможности форсирования мощности каналь­ ного реактора с кипящей водой в качестве теплоносителя был прове­ ден эксперимент по определению критической плотности теплового потока д к р в наиболее напряженном канале активной зоны. В ре­ зультате п повторных опытов (при одних и тех же режимных пара­ метрах канала) получена выборка значений qKp

(13.14)

Предварительные

расчеты показали, что если истинное

значение

(математическое ожидание) qKp

для

канала

равно

q°

т о ф 0 р

сировать мощность

реактора можно

(гипотеза Я 0 ,

состояние

S0,

решение у0). Если

же это значение

равно

q}ip < ;

 

то подни­

мать мощность нельзя (гипотеза

Ht,

состояние St ,

решение

у{).

Требуется на основе экспериментальных данных (13.14) выбрать

одно

из двух

решений.

 

 

 

 

 

 

Предположим, что средняя квадратическая погрешность опытных

данны-х (13.14) известна и равна а. Закон распределения

резуль­

татов

эксперимента

/ (q1{p)

можно

считать

 

нормальным.

Тогда,

подставляя

в

неравенство • (13.8) функцию

 

правдоподобия

(13.7),

где f(xt/Sj)

=

f (qKpi/Sj),

несложно

получить

 

 

 

 

L

(?крі> ?кр2, • • • • ?крп/^і)

 

 

 

 

 

 

L

(Якрі<

?кр2> • • • і

ЯкрпІ^о) - ' » П

 

/ (?Kpi/so)

 

 

 

 

 

 

 

 

1= 1

 

 

 

 

 

 

ехр

(?крі — ? к р ) 2

~|

 

 

 

 

 

 

 

2а2

?кр—?кр

 

 

 

 

ІП

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

1кр і

 

 

 

 

 

_

ІЯкрі— ?кр)2

а

 

 

1=11

 

 

 

 

ехр

 

2а2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n\{qlPf-(qlPf]

> І П С.

2а

2

 

Отсюда правило выбора решения следующее: если выполняется не­ равенство

п

2

*

n ( ^ P - ^ p )

'

j = 1

 

 

 

 

то принимается решение yt,

если

не

выполняется

у0 . Величина

с рассчитывается в соответствии с принятым правилом выбора ре­ шения.

§ 13.2. Выбор решения на основе проверки сложной гипотезы

В практических задачах часто необходимо проверить

гипотезу

о том, что некоторый параметр х объекта лежит в заданной

области

возможных значений [а, Ь]. В общем случае каждому

отдельному

значению параметра х соответствует свое состояние

объекта S.

Следовательно, значениям параметра внутри упомянутой области отвечает уже не одно состояние, как в случае простой гипотезы, а множество — континуум.. Так, если проверяется гипотеза, что па­ раметр х = х0, против альтернативы х < xQ, то гипотеза будет простой (одно состояние), а альтернатива сложной (континуум сос­ тояний). Если же проверяется гипотеза Н0, что х ^ х 0 , против

9*

243

Смотрите также файлы