Файл: Клемин А.И. Инженерные вероятностные расчеты при проектировании ядерных реакторов.pdf

Jnap w e

"нар —"„ар

x

p

-•нар

(12.5)

Жвп) = о-вп У 2л.

1

» \21

ЄХР

7 =

2 \

а в н

/ 2 (є) = — j -

є ехр

(12.6)

М (d n a p ) = d"ap,

М (dB H ) =

d"„.

Чтобы оценить вероятность касания рассматриваемых труб,

необходимо знать закон распределения случайной

величины А.

Это не сложно сделать, так как закон распределения

случайной ве­

личины z = (dnav

— dBH)!2

является композицией двух нормальных

законов, т. е. тоже нормальным законом:

/ і

(2) =

—

ехр

(12.7)

, Т / 2 я

где

° z =

V D

("2"d "a v )+ D

і ~

\ d ^

=

Т ^ 0 " а р + о | , , :

гп

= М {y(dHap)-f-

7W ( -

у dB 1 I )

=

- у № Р - ^ ™ ) -

І 1 2 - 8 )

случайной

величины;

є ^

0. Тогда искомый

дифференциальный

закон, согласно формуле

(2.3), примет вид

/ ( Д ) = / " ( Л ) = 5 M e + A)/a (e)de =

exp

8+ Д-

—

•є exp

de =

.)

az-\/2n

2

о

Оє

о2 "|72я

2

1

_ »ї

2

\

a

a z

X

о

) .

X (zH —A) exp

- Д \2

(12.9)

2

где

а 2 = а |

+ о| .

Математически

(формально) условие

касания

можно

записать

в виде А ^

0. Поэтому искомая вероятность касания труб по фор-

'муле

(2.8) равна

р=

\ /(Д)4Д = 0 , 5 - ф ( - ^ - )

+

exp

2

2

0,5+

Ф

(12.10)

CFz + OV

Применение дистанционирующих

устройств для

предотвращения

только

среднего

квадратического

отклонения для эксцентриситета

о-8.

Из формулы

(12.10)

видно,

что при а 8

0 р

уменьшается,

стремясь

к р =

0,5—Ф (2H /az ).

Однако, поскольку сами дистан-

ционирующие

устройства

имеют

погрешности

изготовления,

а 8

хотя

и снижается, но практически всегда остается

отличной

от

нуля. Величины

az и оЕ можно оценить по формулам:

az

= (1/2) 1/онор + о1нМ1/6)Кб|,р + б!„,

[(12.11).

где би а г)

и

б в н

— половины допусков

соответственно

ДЛЯ fifjнар

и dBa

[использованы формулы (12.8) и

(3.12)],

и

где е ы

•— максимально

к°£ ^

е м а к с / 3 , 7 ,

(12.12)

а к с

возможный эксцентриситет для конкрет-

ВОЗМОЖНЫЙ ЭКСЦ1

ши) [115]. Ниже рассмотрены

некоторые положения этой теории

и даны примеры использования

ее в задачах реакторостроения.

кое состояние из

S0 , Slt

Sm

имеет

место. Предположив, что

объект находится

в состоянии

S.;,

можно

проверить эту гипотезу,

та S0 ,

Sj,

Sm, набор соответствующих им

решений уа, у1г

ут

-относительно

истинности этих состояний и

выборку с элементами

хг, х2,

хп,

представляющую собой п повторных эксперименталь­

о состоянии объекта Sj. Ситуация наиболее проста при двух

взаимо­

исключающих состояниях 50

и Si.

В этих условиях можно выдвинуть

две гипотезы: Я 0

— о том,

что

объект находится в состоянии S0

и ее альтернативу

Я 3 —• объект

находится в состоянии Sx.

Таким

Проверка проводится по следующему правилу

[см. выражение

(4.46) ]. Если конкретная выборка 2 = (хи

х2<,

хп)

попадает в об­

ласть приемки G0

= 0 1 ф , то принимается

решение у0

о справедливо­

сти гипотезы Н0

(объект находится в состоянии S0):

(х1г х2

хп)

€ Go^-yo-

Если

же точка

г = {хг,

х2,

хп)

попадает в критиче­

скую область Gx

=

0,.р , то принимается решение ух

о справедливости

гипотезы

Нх:

( х ь

х2,

хп)

£G1-+yl.

ранее [см. выражение

При

такой проверке, как уже отмечалось

(4.47)], возможны ошибки первого и второго

рода. Обозначим П 1 0

потери,

например экономические, при ошибке первого-рода (примем

гипотезу Hlt

когда справедлива Я 0 ), а П 0 і

при ошибке второго рода

(принимаем гипотезу Н0,

когда справедлива

Нг).

Обозначая далее

П 0 0

и

П п

выигрыши

(«отрица­

Т а б л и ц а

13.1

тельные

потери»

П 0 0

< О,

П . і < 0 ) ,

получаемые

при

пра­

П л а т е ж н а я

м а т р и ц а

вильных решениях, можно запи­

Гипотезы

сать

так

называемую

таблицу

Решения

я„

я ,

потерь

(или

платежную

матри­

цу)

(табл.

13.1).

в

том,

То

П 0 0

Поі

Задача

заключается

чтобы найти способ выбора об­

Ті

Пю

ластей G0

и Glt учитывающий ве­

личины этих

потерь. При выборе областей О п р

и 0 к р

в § 4.3 вопрос

о потерях

полностью

игнорировался.

Если

найдем

указанный

выше способ, то

получим

искомое

правило

для

выбора

решения.

Бейесовское правило выбора. Предположим, имеются состояния

Sj> І =

0> 1» •••> т

1 1

соответствующие им решения yh,

k — 0, 1,

т.

Если

наряду

с

таблицей

потерь

Ukj

известны

и априорные ве­

роятности

состояний pj

=

P{Sj),

то для

выбора

решения

можно

минимизации так называемой

средней функции

риска

R. Послед­

няя

представляет собой

среднее

по

всем возможным

состояниям

Sj

значение (математическое ожидание)

риска:

т

m

m

R = 2

Р]Г}= 2

РІ 2

n f t i

х

і = 0

/ = 0

= 0

(13.1)

хР{(хг,х2,

...,хп)

Є

Gk/Sj},

где Г} — условный риск для состояния Sj

(математическое ожидание

потерь); Р {(хъ х2,

xn)£Gk/Sj]

—условная

вероятность по­

падания выборки (хъ х2,

хп)

в область Gh,

если в действитель­

ности имеет место состояние

Sj.

Для двух взаимоисключающих событий средняя функция риска

(13.1)

R =

р < / о

+

р л -

(13.2)