Файл: Бекнев В.С. Газовая динамика газотурбинных и комбинированных установок учеб. пособие.pdf

_ Пусть площади с ечений s± и s2 настолько малы, что векторы

w1 и со g можно считать постоянными для всех точек сечений. Применим теперь к выделенному объему V формулу Остро­

градского — Гаусса

J cods = J àivwdV,

где ds— элемент поверх­ ности, .который имеет на­ правление, соответствую­ щее внешней нормали.

Вычислим

т. е. дивергенция вектора вихря всегда равна нулю. Такое вектор­ ное поле называется соленоидальным.

Рис. 21. Отрезок вихревого шнура

Следовательно, из формулы Остроградского — Гаусса полу­ чаем, что

со ds = 0.

Для вихревого шнура получим

CùjSi -f- co2s2 = 0

или, учитывая направления внешних нормалей к сечениям SJ.II s2,

так как интеграл по боковой поверхности шнура равен нулю в силу

Из равенства (20) видно, что вдоль тонкого вихревого шнура произведение из величины угловой скорости вихря на площадь нормального сечения остается постоянным. Это произведение назы­ вается интенсивностью вихревого шнура. Отсюда же следует, что шнур не может ни начаться в жидкости, ни закончиться в ней.

устойчивой картиной линий тока. Такое движение можно наблю­ дать, например, с помощью введенных в поток струек подкрашен­ ной жидкости. Ламинарное движение может быть как устано­

между слоями определяется силами трения. Напряжение трения

шимся движением, для которого характерен интенсивный массообмен в поперечном направлении. Твердые границы задают лишь направление осредненного движения, на которое наложены пуль­ сации скорости по всем трем осям.

Поперечные скорости способствуют существенному возраста­ нию силы взаимодействия одного слоя жидкости с другим; сила сопротивления при этом возрастает.

В практических расчетах обычно нет необходимости знать мгновенные значения параметров потока, достаточно знать их осредненные по времени значения. Таким образом, изучение неустановившегося движения сводится к изучению осредненного,

ционной скорости или произведения двух величин пульсационных скоростей, то в общем случае получим произведение, не равное

нулю, т. е. ѵ'хѵ'у =h 0.

36

Следовательно, будем иметь

J L dt 1 div (pv) dV = 0.

Последнее равенство действительно для любого, произвольно взятого объема, а следовательно, подынтегральная функция должна быть тождественно равна нулю для любой точки поля тече­ ния, т. е.

Это и есть один из видов уравнения неразрывности. Развернем div (pu), тогда

Следовательно, для несжимаемой жидкости скорость измене­ ния элементарного объема жидкости равна нулю, иначе говоря,

кости по потоку. Для несжимаемой жидкости уравнение нераз­ рывности устанавливает соотношение между изменениями проек­ ций скорости по координатным осям, при котором не нарушается основная гипотеза о сплошности потока жидкой среды.

Уравнение неразрывности является одним из основных уравне­ ний гидрогазодинамики как непроводящей, так и проводящей жид­ кой среды, без которого нельзя решить ни одной задачи о течении сплошной среды.

Втехнических задачах часто приходится иметь дело с течением

вканалах, причем считают, что скорости по сечению канала оди­ наковые (осредненные). В этом случае вместо уравнения нераз­ рывности пользуются уравнением расхода.

•38

Уравнение расхода

Рассмотрим произвольный установившийся поток жидкости и выделим в нем элементарный контур сх (рис. 23). Пусть через точки этого контура проходят линии тока, образующие так называемую

Если для сечения s± скорость составляет тупой угол с внешней нормалью, т. е. ѵп > 0, то для сечения s2 u„ > 0 и наоборот.

Итак, для двух произвольных сечений струйки тока:

Таким образом получено равенство массовых расходов жидко­ сти через произвольные сечения струйки тока.

Если параметры жидкости в сечении s струйки тока считать постоянными (осредненными), то получим уравнение расхода в виде

PlönlSl = P2ö,i2S2 = PönS = COnst.

В практике под сечением s всегда понимают проходное сечение канала, перпендикулярное вектору скорости, и вместо ѵп всегда берут V, т. е. уравнение расхода будет иметь вид

39