Файл: Бекнев В.С. Газовая динамика газотурбинных и комбинированных установок учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 120

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 7. ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ

ИЕГО СВОЙСТВА

Выше было введено понятие о потенциальном движении и

получена структурная формула для потенциала скорости

ср.

Если известен ср, то путем дифференцирования можно найти

про­

екции скорости. Следовательно, вместо нахождения трех неизвест­ ных функций ѵх, ѵц, ѵг задачу можно свести к определению одной неизвестной функции.

Потенциал скорости есть кинематическая функция, характери­ зующая собой потенциальное движение жидкости. Каждому потенциальному потоку соответствует собственный потенциал скорости ф (.V, у, z, і), причем жидкость может быть как несжи­ маемой, так и сжимаемой.

Покажем, что потенциальное движение несжимаемой жидкости обладает рядом важных свойств. Эти свойства вытекают из того

факта, что потенциал скорости ср для

несжимаемой

жидкости

является

решением

уравнения Лапласа.

 

 

 

 

В самом деле, для несжимаемой жидкости уравнение нераз­

рывности

имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дѵх

I

дѵц_

I

_dtfe

_

ç.

 

 

 

 

дх

~ і

ду

 

dz

~

 

'

 

 

HO

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Èk.

— JL

( Ü!L\

—

 

„

г

П

 

 

dx

~

dx

\ dx J

~

dx°-

11

•

д '

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$ - ' - ^ + ^ = ^ = » -

 

Полученное уравнение называется уравнением Лапласа, а

функция

ф, удовлетворяющая

этому

 

уравнению,

гармони­

ческой функцией.

Докажем, что потенциал скорости ф для несжимаемой жидкости не может иметь экстремума внутри жидкости. Для этого покажем, что проекция скорости на любое направление равна производной от Ф по этому направлению, т. е. ѵп = дуідп.

Возьмем в жидкости произвольное направление я и вектор скорости V и составим скалярное произведение

va = ѵп = ѵх cos (il, x) -f- vy cos (л, y) - j - vz cos (п., z).

Затем продифференцируем функцию ф по п, тогда

_оф_

дер

дх

. _д_ф

ду

I

_оф_

_ô_£ _

дп

дх

дп

ду

дп

 

дг

дп

= vx

cos (п,

х) - j -

Vy cos

(n,

y)

- j - vz

cos (n, z).

40

Сравнивая полученные выражения, будем иметь

Воспользуемся формулой Остроградского — Гаусса и заменим в ней ѵп = dcp/d/7, учитывая, что div ѵ = 0, тогда

J vnds = J - ^ - ds = J divörfV = О,

s

s

1'

т. е. для несжимаемой жидкости

s

Итак, предположим, что в некоторой точке M значение ср имеет максимум. Окружим эту точку достаточно малой сферой так, чтобы вся сфера была внутри жидкости. Тогда для каждой точки сферы будем иметь

и, следовательно,

s

что противоречит условию (26). Аналогичные рассуждения можно провести и для случая минимума.

Следовательно, функция ср не может достигать экстремума внутри жидкости. Однако она может получить наибольшее или

наименьшее значение

на

границе

области, занятой

жидкостью,

но это значение не

обязательно

соответствует

аналитическому

экстремуму.

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим свойства

потенциального движения

несжимаемой

жидкости.

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Величина скорости

внутри жидкости не может иметь макси­

мума.

 

 

 

 

 

 

скорости ѵх, ѵу

Предварительно

покажем,

что

компоненты

и ѵг при потенциальном течении удовлетворяют

уравнению Лап­

ласа, т. е. являются гармоническими

функциями.

 

В самом деле, продифференцировав уравнение Лапласа по х,

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

£ < А » > - А ( - £ ) = А . , = 0.

 

 

Поступая аналогично,

будем

иметь

 

 

 

 

Аѵу

= 0;

 

àvz

= 0.

 

 

Следовательно, компоненты скорости при потенциальном тече­ нии не могут иметь экстремума внутри жидкости.

41

Посмотрим, может ли скорость иметь экстремум внутри потока жидкости.

Пусть в некоторой точке А скорость имеет максимальное зна­ чение. Помещая начало осей координат в точке А и направив

ось X по вектору ѵА, получим, что ѵхА = ѵА = i>r a a x .

Однако в силу доказанного ранее в жидкости найдется точка В, где ѵхВ > ѵхА. Следовательно,

ѵв = У ѵхВ + v2yB + ѵ\в

^ ѵхВ > ѵхА = ѵА,

 

 

т. е. при потенциальном течении

скорость не может

иметь

макси­

мума внутри потока жидкости.

 

 

 

Относительно минимума таких рассуждений провести

нельзя.

В самом деле, допустив минимум скорости в точке А , получим

для соседней точки В ѵхВ •< ѵхА

= ѵА.

 

 

Но вследствие существования

компонентов ѵуВ

и ѵгВ

можем

получить ѵв > ѵА, т. е. минимум возможен.

Поскольку минимум величины скорости это нуль, то, следова­

тельно, внутри

потока скорость

может иметь нулевое

значение.

2. Свойство

единственности

потенциала скорости.

Докажем,

что значение функции ф внутри какой-то замкнутой области опре­

деляется:

1) единственным

образом,

если на границах

области

заданы значения

функции

ср, 2) с точностью до произвольной по­

стоянной,

если

на границах области

заданы значения

где

п — внешняя нормаль

к контуру.

 

 

Для доказательства

этого свойства

воспользуемся интегралом

 

J [ ( * ) ' + ( f ) " + ( * ) > = J * * * .

m

где

V

s

 

ф—гармоническая

функция.

 

Рассмотрим первую

часть свойства.

 

Пусть на контуре

поверхности s задано значение

функции

Ф =

ф5 . Предположим, что внутри области имеются два решения q>1

и ф2 , но на поверхности они совпадают, т. е. ф 1 5 = cp2s. Рассмотрим новую функцию ср3 = ср1 — ф2 , причем на поверх­

ности s значение ф 3 з = 0, и применим к ней равенство (28). Правая часть равенства равна нулю, так как ф3 5 = 0, а значит, равна нулю и левая часть. Но подынтегральное выражение представляет собой сумму квадратов, следовательно, каждое слагаемое должно

быть

равно

нулю:

 

 

 

 

 

дфз

дфз _

дфз _ _

g

 

 

дх

ду

dz

'

т. е. фз = const по всей области.

 

Но на поверхности ср3

= 0, следовательно, const = 0 и ф х =

= ф 2

по всей

области течения жидкости.

доказана.

Таким образом, первая

часть

свойства

При доказательстве второй части свойства также рассмотрим новую функцию

 

 

Фз = Фі — Фа-

 

 

На этот раз на границе задано значение производной

Тогда

дфі

дф2

получим, что на поверхности

 

 

 

Un

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дфз

_

Q

 

 

 

 

 

 

дп

s

 

 

 

 

Правая

часть равенства

(28) опять обращается в нуль, но уже

вследствие того, что <5сра/<3/г = 0. Тогда

будет равна

нулю и левая

часть:

 

 

 

 

 

q

 

 

 

 

дфз _

дфз _

дфз

 

 

 

 

дх

ду

 

dz

'

 

 

т. е. ф 3 = const

и, следовательно,

ц>1

= Ф2 + const.

 

Таким образом, доказана и вторая

часть свойства.

 

3. Кинетическая энергия массы несжимаемой

жидкости при

потенциальном

движении

минимальна. Докажем,

что кинетиче­

ская энергия Т массы жидкости при потенциальном течении меньше кинетической энергии Т' при любом непотенциальном течении, т. е. Г' — Т >> 0 при условии, что нормальные составляющие ско­

рости к поверхности выделенного объема в обоих случаях

равны:

^ - = vn = v'n = v'xcos[n, X) - j - v'y cos(ii, y) - j - v'zcos(n,

z).

Кинетическая энергия массы при потенциальном потоке

г - J ' 4 " - - И [ ( £ ) * + ( £ ) ' + ( £ ) > .

 

V

V

 

Для

вихревого

потока

 

 

Г

= ±\(ѵ? + ѵ* +

ѵ?)аѴ,

 

 

V

 

откуда

их разность

запишется в виде

)'+*-(-£)']dV-

г-т = цp-(^)4^-(f

 

 

 

(29)

Как известно, уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости при любом течении имеет вид div ѵ = 0, т. е. для вихре­ вого потока

дѵ'

дѵ'„

дѵ,

—— -\

£- -1

= 0

дх '

ду *

dz

43

Смотрите также файлы