Файл: Бекнев В.С. Газовая динамика газотурбинных и комбинированных установок учеб. пособие.pdf

Рассуждая аналогично для отрезков dy и dz, имеем скорости относительных линейных деформаций отрезков в направлении осей у и z:

Следовательно, частные производные от проекций скоро­ стей по одноименным координатам представляют собой скорости относительных линейных деформаций отрезков в направлениях, соответствующих осей.

25-

или, пренебрегая в знаменателях бесконечно малыми величинами второго порядка малости, будем иметь

Скорость изменения прямого угла в плоскости хОу выразится

.формулой

Следовательно, сумма частных производных от проекций ско­ ростей по разноименным координатам представляет собой удвоен­ ную скорость изменения прямого угла в соответствующей пло­ скости.

Вращательное движение частицы без изменения формы

Как уже было сказано, движение жидкой частицы отличается от движения твердого тела наличием деформаций.

Рассмотренные выше скорости деформационного движения можно ввести в выражения для проекций скорости произвольной точки частицы жидкости.

Тогда прибавляя и вычитая члены ^ " ( " ^ j " ) 1 ! и ~іг(~~^")£ из первой строчки выражений (9), получим

•26

Первое слагаемое ѵх0 представляет собой проекцию на ось к скорости поступательного движения частицы жидкости как твер­ дого тела.

Слагаемые типа ъх\ - f + Ѳгг| представляют собой проекции на оси координат скоростей деформационного движения, состоя­ щего из растяжения (сжатия) отрезка длиной \ и изменений пря­

могут выражать собой только скорость вращательного движения частицы жидкости как твердого тела, так как деформационное движение уже учтено.

Покажем, что выражение типа (12) представляет собой проек­ цию на ось X скорости произвольной точки частицы жидкости при вращении ее как твердого тела вокруг оси, проходящей череа

т. е. выражения типа (12) представляют собой проекции скорости вращательного движения «жидкой» частицы, что и требовалось показать.

27

Поступая аналогично для осей і/ и z, получим

2 V дх

Следовательно, скорость произвольной точки частицы жидко­ сти можно записать в виде

Ѵх — Ѵх о " h Ѵх д е ф + <-'л пр-

Пользуясь круговой подстановкой, получим для проекций скорости на оси у и z:

или в векторной форме

Полученный результат формулируется в виде теоремы Гельмгольца, т. е. произвольное движение бесконечно малой частицы жидкости можно разложить на три движения: поступательное движение вместе с выбранным полюсом; вращательное движение вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс, и деформацион­ ное движение, состоящее из линейной деформации и деформации скошения прямого угла.

§ 5. КЛАССИФИКАЦИЯ ДВИЖЕНИЙ ЖИДКОСТИ

На основании доказанной выше теоремы Гельмгольца, рассма­ тривая внутреннюю структуру движения частицы, можно выде­ лить важный класс движений жидкости — безвихревое или потенциальное движение.

Потенциальным движением называется такое движение жид­ кости, при котором во всем потоке или за исключением отдельных •его областей отсутствует вращение частиц жидкости. Математи­

28

В тех областях потока, где со Ф 0, движение называется вихре­ вым или непотенциальным,

При потенциальном установившемся движении существует некоторая функ­ ция координат ф (х, у, г), называемая потенциалом скорости, производные от ^которой по координатам дают проекции скорости на оси координат, т. е.

Подчеркнем, что величины е и 0 в этих выражениях постоянны и относятся ж полюсу частицы. Координаты точки £, г), Ç заменены на А', (/, г.

Для построения функции ф проинтегрируем первую строку выражений (16)

Теперь продифференцируем полученное выражение для ф по у и z и, исполь­

зуя выражения (16) и (17), найдем

Откуда

jjjj = fi/O + Byy -f ѲЛг; -^- = ад + ег г -f Ѳ^.

или, интегрируя, получим

/ = ѴуОУ + \ - ЪуУ~ + Ѳд-zf/ + f1 (г) ;

f = адг + ~ sz z2 + Ѳ.ѵ(/г + ^ (у),

что дает

ѴуОУ + 4 ~ ey<r — /а (У) = "гог + -^- ег г2 — /х (г).

Таким образом, имеем равенство двух функций разных аргументов. Следо­ вательно, каждая из них равна постоянной, т. е.

Ѵуоу + -^- бу(/2 — /а (у) = — с,

29