Файл: Бекнев В.С. Газовая динамика газотурбинных и комбинированных установок учеб. пособие.pdf

Направление вращения жидкости принимаем против часовой стрелки, если смотреть на нить от а к Ь. Обозначим боковую поверхность нити через s, внутрен­ нюю нормаль к ней через п, единичный вектор нормали п, единичный вектор каса­ тельной к оси нити j .

Будем искать скорость_в начале координат 0, индуцированную элементарным отрезком вихревой нити dl.

Для несжимаемой жидкости при потенциальном установившемся течении компоненты скорости удовлетворяют уравнению Лапласа

Аѵх = At'y = kvz О,

s

позволяющая найти значение гармонической функции ѵ в произвольной точке объема по ее значениям на границе s этого объема.

На рис. 27 показано сечение нити и дана плоскость векторов г, j . Элемент поверхности

50

Очевидно, скорость ѵ. можно записать как

где (нХу) —• векторное произведение единичных векторов п и /. Пользуясь рис. 27, определим значения

•или

тѣ = Vr2 + е2 — 2ге sin Ѳ cos а

Ввиду малости s, пренебрегая s2 , имеем

r . s r ^ 1 - 2 - 1 sin Ѳ cos аяа г — Б sin Ѳ cos а.

Далее учитывая, что drs/dn = — drsldz, получим

Замечая, что., направление скорости ѵ не изменяется при перемещении по нормали, получим, что вектор дѵ/дп будет совпадать по направлению с вектором ѵ; следовательно,

(35)

Подставляя выражения (34) и (35) в выражение (33), имеем

Выразим единичный вектор п через орты і и g, тогда

Единичный вектор / в пределах длины dl можно считать постоянным. Подставляя значение п из выражения (37) в (36), разобьем интеграл на два

слагаемых, помня, что Ѳ и г в этом интеграле постоянны. Первое слагаемое дает вектор

В последнем выражении отброшено слагаемое

2я

J — (icos a + gsin a) da = 0.

но так как плоскости (i', /) и (г, j) совпадают и, кроме того, из рис. 27 следует, что

— (Г X J) г sin Ѳ = (г X 7)- окончательно получаем так называемую формулу Бно—Савара 1

1 Изложенный вывод формулы Био—Савара принадлежит проф. В. В. Уварову.

52

Классификация сил, действующих в жидкой среде, может быть произведена как по их физическим свойствам, так и по особенно­ стям, представляющим удобство для теоретического анализа.

По физической природе различают: силы тяжести (гравитацион­ ные); силы вязкости (силы трения), действующие как внутри жид­ кости, так и на окружающих ее твердых границах; пондеромоторные силы электромагнитного поля, существующие в движущейся электропроводной жидкости.

Различают также силы внутренние и внешние; поверхностные и объемные (массовые); нормальные и касательные.

Общей особенностью всех действующих в жидкой среде сил является их непрерывная распределенность, обусловленная боль­ шой подвижностью частиц, составляющих жидкость.

Для рассмотрения внешних и внутренних сил выделим внутри жидкости объем А У. Внешними силами по отношению к рассма­ триваемому объему ДУ являются силы воздействия на частицы, входящие в этот объем, от всех частиц жидкости, окружающих объем, или от внешних причин (например, от действия внешнего электромагнитного поля). Внутренними силами по отношению к рассматриваемому объему ДУ являются силы взаимодействия между частицами, входящими в объем.

Массовые (объемные) силы. На каждый объем ДУ, выделенный в жидкости и имеющий массу Am = р А У, действует внешняя сила AF той или иной физической природы. Если считать, что эта •сила действует на массу частиц, составляющих объем, то сила будет называться массовой. Если относить ее действие на геоме­ трическое пространство, образующее объем частиц, то сила будет называться объемной.

Рассматривая окрестность выделенной точки используют поня­ тие вектора плотности массовой силы

f — lim а г " '

Am->0 û m