Файл: Щербинин Э.В. Струйные течения вязкой жидкости в магнитном поле.pdf

этом

казалось

целесообразным

включить

в понятие «струи» и

такие

течения,

которые,

по сути,

являются

неразвивающимися,

равномерными

по длине

течениями, но с резко выраженной не­

Включение в

уравнение движения электромагнитной силы,

величина

которой

в принципе зависит от «воли»

исследователя,

позволяет,

кроме

того, по-новому взглянуть на

моделирование

течений в пристеночных областях в гидродинамике

пользуются

представлениями теории пограничного слоя,

согласно которым,

в частности, порядки вязких и инерционных

сил в

слое одина­

ных методов, разработанных

д л я приближений Озеена и

Стокса [18].

К настоящему времени накоплен достаточно обширный и ин­

тересный материал в области

магнитной гидродинамики резко

телю составить

определенное представление о содержании и ме­

тодах исследования

неоднородных течений в магнитных полях

и о некоторых

возможностях использования описываемых эф ­

фектов в устройствах

различного назначения.

Уравнения,

описывающие

движение

электропроводящей

среды (плазмы,

жидкого металла, электролита)

в электромаг ­

нитном поле, были предметом обсуждения

во многих

работах .

Вывод уравнений магнитной гидродинамики

с анализом

краевых

и начальных условий, критериев

подобия можно

найти

в книгах

лятивистскими э ф ф е к т а м и . Кроме того, проводимость

среды по­

л о ж и м достаточно большой, чтобы электромагнитное

воздейст­

родинамики являются уравнения

Н а в ь е — С т о к с а

в

форме

- — + (V g r a d ) V =

g r a d p + v V 2 V + — j x B

(1.1)

dt

p

p

и уравнения М а к с в е л л а

.(1.2)

rot H = j ,

которые д о л ж н ы быть дополнены

законом О м а д л я

д в и ж у щ и х с я

сред:

j = a( E + V x B ) ,

(1.4)

и уравнениями

d i v j = 0, d i v H = 0,

d i v V = 0 , В = ц о Н ,

(1.5)

где |іо = 4 я - Ю - 7 Г/м

— магнитная

проницаемость

вакуума .

С в я зь

уравнений Навье — Стокса и

уравнений

М а к с в е л л а

состоит в

том, что в первые входит объемная

электромагнитная

сила

(последний

член

уравнения

(1.1)),

а

во

вторые

—

скорость

д в и ж у щ е й с я среды. В

последнем

легко

убедиться,

если

подста­

вить

j из

закона

О м а . (1.4) в (1.3),

применить

операцию

rot и

воспользоваться уравнением (1.2):

EL=

rot

( V X B ) +

— V 2 B .

(1.6)

dt

о

Уравнения

(1.1)

и

(1.6) совместно с

(1.4)

и (1.5)

обычно

и рас ­

В

стационарном

случае

= 0 j

уравнения (1.1), (1.6)

упро­

щаются .

Если

теперь

ввести

характерные

масштабы

длины

L Q , скорости ВоU0,

магнитной

индукции Во, давления

pU02 и

плот­

ности

тока

—і г -

,

то

в безразмерном

виде уравнения

(1.1)

и (1.6)

примут вид

(V g r a d ) V = -

g r a d p +

Re

V 2 V + A1 rot

B x B

;

(1.7)

V 2 B = - R e m r o t ( V x B ) ,

где

Ke

=

v

—

динамическое число

Реинольдса;

Re,n

=

U0LoiioO

—

магнитное число

Реинольдса;

В02

.

А1

=

гг-т- — число Альфвена .

Кроме

того,

в

стационарном

случае

r o t E = 0, т. е. электричес­

кое поле

потенциально

( Е = —gradcp),

так

что закон О м а

в без­

размерной форме можно записать к а к

j = R e m ( - g r a d c p + V x B ) .

(1.8)

Д а л ь н е й ш е е

упрощение

системы

(1.7)

связано с

предположе­

тать

полное поле равным

приложенному внешнему

магнитному

полю

В0 . О п р е д е л я ю щ у ю

систему уравнений д л я

этого случая

П о д с т а в л я я этот ряд

в

в ы р а ж е н и я (1.7)

и (1.8), а т а к ж е

учиты­

вая, что j = rot В,

получаем

так

называемое

безындукционное

приближение:

r o t B o = 0 ;

(1.9)

(V g r a d ) V = - g r a d p +

V 2 V + N ( - g r a d cp +

+ V X B 0

) X B 0 ,

(1.10)

где потенциал электрического

поля

определяется из

уравнения

V2 cp =

div ( V x B 0 )

= B 0 r o t V ,

(1.11)

полученного после

подстановки (1.8)

в первое уравнение

(1.5), а

oB02L0

— параметр

М Г Д - в з а и м о д е й с т в и я 1 .

N = A 1 - R e , „ = — - —

ри0

(1.10) и

(1.11)

имеют вид

В размерном виде

( V

grad) V = — — grad / j + v V 2

V +

— ( -

grad ф + V x В 0

) X В 0 ;

р

Р

(1.12)

V 2

ф =

div ( V X B 0 )

,

а уравнения (1.7) при замене

В = ц 0 Н примут

вид

<V grad) V = - — g r a d p + v V 2

V +

^ - r o t

H x H

;

(1.13)

P

P

V 2 H = - 0 r o t

V x H .

(1.14)

Остановимся еще на уравнениях МГД - пограничного

слоя,

причем

ограничимся

безындукционным

приближением .

Анализ

в о з м о ж н ы х форм

этих

уравнений

проведем на примере системы

ординат:

V d V * ми

d V * мУ

d V *

1

дРм

( d 2 V * м d*V*

м

дЧ^

\

а_ /

*р

Лр

V z B

x B z _

V x

B , _

dz2

I

p

\

dz

dy

-vxBy*+vvBxBv)

•

( 1 1 5 )

1 Пренебрежение

магнитным

полем

индуцированных

токов

следует

пони­

мать в том смысле, что в выражении

для электромагнитной

силы в

(1.10)

учитывается

лишь

внешнее

магнитное

поле,

удовлетворяющее

уравнениям

•div В 0 = 0 и rot В 0 = 0 .

Следует,

однако,

иметь в виду, что само

существование

электромагнитной силы обязано именно магнитному полю индуцированных

токов

ji = Re m rot B, = R e m ( - g r a d

cp+VxB 0 ).

Г О С . П У Б Л И Ч Н А Я

2274

НАУЧНО-ТЕ'-. -^ЧГ.

К А Я

Б И Б Л И О Т Е К А О С С Р

V,

І У;

I V.

~

1

д Р

I V (

1 d 2 V V 1

"г ^д;

"

ду

г

dz

р

ду

\

дх2

ду2

+

J ^ ) + ^ B

T

_ Q B

X +

V J 3

J 3

dz2

I

р

\

дх

dz

-VyBx2-VyBz2+VzByBz);

(1.16)

dvz

„

а і / г

т /

а і / 2

і

дР

і dwz

ax

ду

dz

p

dz

x

дх2

dwz

d2vz \

о / а Ф

а Ф

+ VVBVBZ-

VZBX2+

VXBXBZ-

VzBy2

) ;

(1.17)

а з ф

a y

а^ ф

/ а у г

a v y \

ax2

a y 2

az2

* a y

а г / •

9V.

*

1

+ W

„_

(

ах

ду

dz

Введем характерные м а с ш т а б ы величин, входящих в уравне ­

ния

(1.15) — (1.19), за которые

примем скорость U внешнего по

отношению

к

пограничному

слою потока (ось х направим

в д о л ь

этой

скорости),

некоторый

характерный размер L по оси х

(вдоль

пограничного

с л о я ) ,

давление Р, потенциал Ф и индук­

цию

магнитного

поля В. З а

масштаб

длины поперек погранич­

ного

слоя

примем величину

б

— условную толщину погранич­

ного

слоя,

причем

если в

направлениях у и г толщины

слоя

будут различны, то под б будемпонимать большую

из них. М а с ­

штабы поперечных скоростей Vy

и Vz определяются в таком слу­

чае величинами

U-^-,

как это следует

из уравнения

(1.19).

о

К а к

обычно,

пограничный

слой

определим

соотношением

м е ж д у м а с ш т а б а м и

поперечных

и продольных координат в

слое:

(1.20)