Файл: Щербинин Э.В. Струйные течения вязкой жидкости в магнитном поле.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 130

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

•и введем безразмерные

величины:

 

 

 

 

 

 

 

IT

ТГ

 

US

 

US

Г

/

 

„

/

г. ,

'

Vx=Uu,

Vy=—j—v,

Vz=—j—w,

x = Lx',

y = 8y ,

2 = 62',

 

 

 

p^Pp',

Ві = ВВ'і ,

ф =

ф ф ' .

 

 

 

 

 

 

Обратимся

прежде

всего

к уравнению

(1.18). Используя ус­

л о в и е

(1.20)

и опуская

штрихи у

безразмерных

величин,

полу­

чаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

д2д>

 

д2ю

UB8

I ди •

ди_

\

UB82

t

dw

dv

\

dy2+~dz*~~

ф

\~dz

у~~ду

z ' +

cDL

\ ~ду~

~ ~dz'

x'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1-21)

•откуда следует, что м а с ш т а б потенциала может быть определен двояким образом в зависимости от приложенного магнитного поля: 1) если ВуФО, Bz=^=0, то Ф = иВ8 и вторым слагаемым в (1.21) можно пренебречь согласно (1.20); 2) если BY — Bz=0,

В х Ф 0 , т о Ф = ^

.

В первом случае имеем следующую систему уравнений:

ди

ди

 

ди

 

 

Р dp

 

 

1 L 2

І б2

д2и

 

д2и

 

д2и \

и

1-и

\-w

 

=

 

 

 

—Ч

 

 

 

1

 

 

1

 

1

) Ч-

дх

• ду

 

dz

 

 

p t / 3

 

дх

Re

б 2

V L 2

дх2

 

ду2

 

dz2 I

 

+

N ( - ^ -

B

V -

^ - B

Z

- U B

2

- U

B V

2 )

;

 

 

 

 

(1.22)

 

 

 

dz

у

 

ду

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dv

dv

 

dv

 

 

Р L 2

dp

 

 

1 L 2

І б 2

d2v

 

d2v

дх

ду

 

dz

 

 

pU2

 

б2

ду

 

Re

б 2

*\

L 2

дх2

 

ду2

 

 

d2v

)

^ ^ ( и В

 

В

у -

- ^ В х ) ;

 

 

 

 

 

(1.23)

 

 

 

х

 

 

 

 

 

dw

dw

 

dw _

 

P L 2

dp ^ 1 L 2 / б 2

d2w

 

U ^ + V ^ + W ^ ~ ~ ' 9

^ ~ ¥ ~ d z ~ + ^ ~ ¥ ' ^ i y

дх2

+

 

 

d2w

 

d2w \

 

 

LI

 

 

 

dw „ \

 

 

 

 

 

ду2

 

dz2

і

 

 

б x

 

 

 

ду

I

 

 

 

 

которая допускает различные формы уравнений МГД - погранич - ного слоя в зависимости от роли электромагнитного члена.

Так, если электромагнитная сила одного порядка с инерцион­ ной и вязкой силами, можно получить форму уравнений, кото-

р ая

описывает

в я з к и й пограничный

слой. И з равенства

поряд ­

ков

вязкого и

инерционного членов следует классическое соот­

ношение

между

м а с ш т а б а м и

поперечных и

продольного

р а з м е -

 

 

б

—

1

 

 

 

 

 

 

р о в с л о я : - г - =

_ ( R e > > l ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

^

VRe

 

 

 

 

 

 

 

П р и м е м величину -j- за малый параметр

и, следуя

Л о й ц я н -

скому [8], представим искомые функции в

(1.22) — (1.24)

соот­

ветствующим

рядом по степеням

этого

п а р а м е т р а :

 

f=fo+

Ч — J = . f i + . . .

. Уравнения д л я нулевого приближения

(при д о -

полнительном

предположении

P =

pU2)

 

 

 

 

 

ди0

~ди0

 

ди0

др0

д%и0

д2ий

 

 

 

ox

ay

 

oz

ox

ay2

oz2

 

 

+ N ( ^ B y - ^ B z - u Q B z 2 - u 0 B y 2 ) ;

ду

]/Re

x

dz

1

0 = - ^

+ _ ^

( Ы о а д +

^ - 5 х ) ;

(1.25)

dy2

du0 dx

H — ^

n r - = — — By—-—DZ

;

dz2

dz "

dy

 

dvo

dwo

 

 

dy

dz

 

 

и будут

составлять

уравнения

в я з к о г о трехмерного

погранич­

ного слоя. И з этих

уравнений

следует,

 

что

если N = 0(1),

то

при

наличии

продольного магнитного

поля

(Вхф0)

поперечные

гра-

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

диенты

 

давления

 

имеют порядок — = ,

в

отличие

от

случая

Вх = 0,

 

 

 

 

 

YRe

 

 

 

 

 

 

где, как и

в немагнитном

слое,

поперечный

градиент

д а в ­

ления

на

порядок

ниже

~ 0

( ^ ё )

'

^ е м

 

 

 

 

не учитываться.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введем число

Гартмана Ha = BL

" | / ~

 

^ N =

~]=f£~j •

Тогда

условие равенства порядков электромагнитной силы и сил инер­

ции

в вязком

слое можно сформулировать ка к H a 2 « R e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ д

 

п

 

В частном

случае

плоского пограничного слоя

І ^ ^ О * ш о =

 

 

магнитного

поля,

ориентированного

по

оси у,

электри ­

ческое п о л е = c o n s t = BY

и уравнения

(1.25) запишутся в

сле­

дующем

виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ди0

ди0

др0

д2ііо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ду

 

дх

ду>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дх

ду

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Иную

форму

уравнениям слоя

можно

придать

при N » l , т. е.

' при Н а 2 » R e . Тогда инерционными

членами в

(1.22) можно

пре­

небречь,

а электромагнитный

и вязкий члены

д о л ж н ы

быть

од-

ного порядка:

^ - r ^

= N =

Re

. Отсюда

имеем [9]

 

 

 

 

 

 

 

Re б 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 --RT

( H a * , ) -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 1 ' 2 7 >

При этом оказывается, что в (1.23) и (1.24)

электромагнитный,

член на порядок выше вязкого (первый имеет

порядок

N - H a „

второй — N ) . Таким образом, электромагнитные силы

в

этих

уравнениях могут быть уравновешены лишь

силами

д а в л е н и я .

Это

определяет

масштаб

давления

следующим

образом:

Р =

 

На

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= p J 7 2 — . Н о тогда продольный градиент

давлення в (1.22)

ста-

 

 

 

 

 

 

б

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

новится

пропорциональным

-j-

 

и им

можно

пренебречь.

 

 

Р а з л а г а я

искомые

функции

в р я д по малому параметру Н а ~ ' „

получаем уравнения МГД - пограничного слоя

в сильных

магнит­

ных

полях в

форме:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

д*цр

дЬ0

дщ

д(р0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

° = ^ + - d ¥ - + ^ B * - J y - B z - U < > B * - U o B * "

Q = - l P ду± + U O B X B V - ^ - dzB X - ,

(1.28)

0 = - 1 EdzL + U Q B X B Z +ду^ B X ,

а уравнение

д л я потенциала

и уравнение

неразрывности оста­

ются такими же, что и в предыдущем случае

(1.25). Возникнове­

ние при N » l

существенного

поперечного

градиента давления

означает, что для пограничного слоя на пластине, например, при лродольном ее обтекании возникает подъемная сила, с р а в н и м а я с силой трения [9]. Разумеется, для этого необходимо, чтобы по

крайней мере две составляющие магнитного поля, включая

ВХ,

были отличны от нуля.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Своеобразная

ситуация

возникает,

если

в уравнениях

(1.23)

и (1.24)

электромагнитные

и вязкие члены

имеют один

и тот

ж е

порядок

/

 

1

L 2

м

L \

 

 

8

1

 

 

 

 

ус-

 

—

- , - = N —

. Тогда - . - =

-т -т — п единственным

 

\Re

б2

 

б /

 

 

L

Н а 2

 

 

 

 

J

ловпем

существования

такого

слоя

является

условие

Н а 2

» 1 .

Если при этом Ha2 ;ssRe,

то

вязкий член порядка N - H a 2 в урав ­

нении

(1.22)

может

уравновеситься

лишь градиентом д а в л е ­

ния (электромагнитный член в этом

уравнении —• 0 ( N ) ) .

От­

сюда P = pU2N-Ha2.

 

Но

в таком случае поперечные

градиенты

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1дР

п

I 1

\

давления

 

становятся

пренеорежимо

м а л ы м и

ду

 

1 \ Н а 1

 

\ ~ ~ 0

 

 

= 0

\ Н г й ) ) ' 3

Р а з л о ж е

н п е

ФУ н к Шій в

ряд

по малому

пара ­

метру Н а - 2

приводит

к одному

уравнению:

 

 

 

 

 

вкоторое электромагнитная сила непосредственно не входит.

Влияние

последней сказывается

на

величине 4^

,

создаваемой

на

границе

слоя.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обратимся теперь ко

второму

случаю, когда

из

всех состав­

л я ю щ и х

внешнего

магнитного

поля

присутствует

лишь

продоль­

ная .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

И з системы уравнений д л я

этого

случая

 

 

 

 

 

ди

ди

ди

_

Р

dp

\

L 2 І ^_дЧі_

 

d2u

| д2и

\

U l

^ + V l

f

y + W l t

e ~ ~

^

l t

e +

^ l

? \ l J l № +

 

ду2+д~&

Г

 

 

 

 

_

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.30)

 

dv

dv

dv

Р

L 2

dp_

 

 

 

 

 

U l I + V ^ + W J F ~ ~ ^ U 2 ~ ~ ¥ ' d y ' + R ^ ' 8 T ^

L 2

dy2 +

Смотрите также файлы