Файл: Щербинин Э.В. Струйные течения вязкой жидкости в магнитном поле.pdf

Скачать файл (11,81Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 128

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

и	dw	dw	\-w	dw	Р L 2	dp	1 L 2	/ б 2	d2w	b
и		1-0	\-w	=			[-•—	I		b
	dx	dy		dz	PU2 б2	dz	'Re б 2	V L 2	dx2

d ± ( d w _ _ d v _ \ B

( 1 . 3 3 )

dy2

dz*

/ б

следует, что

в вязком пограничном слое

у~£ =

у^Г]

влияние

продольного

поля

неощутимо,

если N » l . Если

ж е

N ~ R e ,

т. е.

Н а я; Re, то

в слое возникают

существенные

поперечные

гради

енты

давления:

dp0

дфо

di/

o _ - ^ + J L ( * a - e , _ . l W ) ,

(5г

в то время

к а к основное уравнение движения

(1.30)

остается та

ким ж е , ка к и д л я немагнитного

слоя

(если P = pU2):

ди0

du0

др0

д2и0

d2u0

Щ ——\-v0-—-+w0

dz2

dy2

Рассмотрим

теперь условия,

при которых

можно

пренебречь

инерционными

членами

уравнениях

д в и ж е н и я

(1.30) — (1.32).

И з (1.30)

следует,

что д л я

этой

цели

во

всяком

случае

необхо

димо,

чтобы

L 2

Ц / Г " * " * » 1 '

но тогда в (1.31) и (1.32) поперечные градиенты давления могут уравновеситься л и ш ь электромагнитными силами . Отсюда ясно,, что величина магнитного поля д о л ж н а быть выбрана такой, чтобы обеспечить следующее соотношение м е ж д у масштабами:.

1 ^ 4	_ м _	Н а 2
~Re~6*"	~	Re '	Т - Є '

б1

— = - = ^ .		(1.35>
L	]/На

Условие (1.34) тогда означает, что H a » R e .

Т а к им образом, в сильном продольном магнитном поле урав нения пограничного слоя приобретают вид:

0 =	др0	д2и0		д*и0
0 =	—1———V-			dz2
	дх	ду2		dz2
0 =	_ ^ _ ^ і В х _ щ В х				2 .	( 1 > 3 6 )
	ду	dz
	дро	d(f0 Bx-w0Bx2
	dz	ду
	Пример использования уравнений (1.36) дл я анализа струй
ного течения		приведен в работе [12].
	В заключение		отметим, что возможны е формы уравнений
МГД - пограничного			слоя		не исчерпываются приведенными	выше.

Некоторые другие формы этих уравнений, справедливые д л я •сильных магнитных полей, даются, например, в работе [13].

§ 2. КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ

Уравнения	М а к с в е л л а справедливы, вообще говоря, л и ш ь
д л я тех точек	пространства, в окрестности которых физические

свойства среды меняются непрерывно. При переходе через гра

ницу,	отделяющую среды с различными о, е	и (і, векторы поля
т а к ж е	могут претерпевать разрывы . Вывод	условий поведения

векторов поля на поверхностях р а з р ы в а можно найти в соответ

ствующих р а з д е л а х работ	[10, 11], здесь	ж е	мы дадим лиш ь
окончательную формулировку этих условий.				с 0\,
Обозначим индексами «1» и «2» величины в			средах		є ь
Ні и аг, 82, (.12 соответственно. Пусть т а к ж е		п есть	единичный		век
тор нормал и к поверхности	раздела, т — единичный			касатель

ный вектор. Тогда при переходе через поверхность р а з р ы в а не

прерывности	среды	н о р м а л ь н а я	с о с т а в л я ю щ а я вектора		индук
ции магнитного поля		В остается непрерывной:
( В 2 - В , ) - п = 0;					(1.37)
к а с а т е л ь н а я	с о с т а в л я ю щ а я напряженности			магнитного	поля	Н
претерпевает	р а з р ы в	на величину	плотности	поверхностных		то
ков к:
п Х ( Н 2 - Н , ) = к ;					(1.38)

к а с а т е л ь н ая с о с т а в л я ю щ а я	напряженности электрического поля
Е остается непрерывной:
п Х ( Е 2 - Е 1 ) = 0 ;	(1.39)

нормальная с о с т а в л я ю щ а я индукции электрического поля D = eE претерпевает разрыв на величину поверхностной плотности за рядов р:


( D 2 - D , ) - n		= p.							(1.40)
Если проводимость обеих сред конечна,							то	поверхностные
токи невозможны			и условие		(1.38) заменяется		на
П Х ( Н 2 - Н , ) = 0 ,									(1.41)
а если	к тому ж е		магнитные проницаемости				сред	одинаковы,		т о
(1.41)	совместно		с	(1.37)	означают непрерывность вектора					Н
(или В) при переходе через					границу	раздела .
Условия		(1.37) — (1.39)			являются	основными		((1.40)	не при
меняется в магнитной гидродинамике, оно лишь служит									д л я оп
ределения плотности				з а р я д о в по найденному			Е ) , из них при не

обходимости могут быть получены дополнительные условия . Так , если поверхность разрыва представляет собой неподвижную не

проницаемую

поверхность, на которой д о л ж н ы выполняться ус

ловия

прилипания

и непроницаемости

V x = 0 ,

V n = 0,

(1.42)

то из

закона

Ома

(1.4)

и условия

(1.39)

следует

непрерывность

касательной

. Н

составляющей вектора — = r o t — :

п х (

—

— ) = 0 .

(1.43)

И з

уравнения

div j = 0,

которое,

свою

очередь,

является

след

ствием применения операции div

к уравнению j = r o t H , по

ана

логии

с условием

(1.37) можно получить

условие

непрерывности

нормальной

составляющей плотности тока':

( j 2 - j i ) - n

= 0,

(rot H a - r o t H , ) - 1 1 = 0,

(1.44)

или, через

градиент потенциала

электрического поля,

O i — — = о 2 — ? - .

(1.45

дп

Сведения

о других

вариантах

краевых

условий

можно

найти

в работе

[6]. Здесь

ж е

мы упомянем лишь

условия

д л я электро-

магнитного	поля на бесконечности (имеется в виду		бесконечно
у д а л е н н а я	от струйного пограничного слоя область) . Если ско
рость спутного		потока есть V T C и внешнее магнитное	поле	на бес
конечности	есть	Boo, то электрическое поле в этой области		будем

определять из условия равенства нулю тока вне струйного по граничного слоя. Тогда

E 0 0 = - ( V X B )	оо	(1.46)
В частности,	д л я струи, распространяющейся	в покоящейся
среде,
Есо —0.		(1.47)

П р и анализе струйных течений помимо (1.42), (1.46), (1.47) применяются еще т а к н а з ы в а е м ы е интегральные условия сохра нения. Подробнее о них будет сказано в главе I I I .

П. НЕКОТОРЫЕ ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ

В МАГНИТНОЙ ГИДРОДИНАМИКЕ

К а к и в немагнитной гидродинамике, нелинейность					уравнении
Н а в ь е — С т о к с а — М а к с в е л л а			и вызванные этим трудности мате
матического х а р а к т е р а являются причиной				того, что	число	точ
ных	решений	в магнитной	гидродинамике	крайне	ограничено.
П о д	точным	решением будем понимать такое справедливое				в о

всем пространстве и д л я всех моментов времени решение, кото

рое получено при сохранении всех членов в определяющих			урав
нениях. Д и а п а з о н значений определяющих	параметров	(напри
мер, числа Рейнольдса) может быть как	конечным, так	и	бес

конечным. Вообще говоря, к таким решениям приводит рассмот рение течений двух типов:

а) течений, инвариантных вдоль некоторого направления в пространстве;

б) течений, для описания которых можно перейти от исход ной системы уравнений в частных производных к обыкновенным


дифференциальным			уравнениям .
К	первому	типу	относятся течения		с п а р а л л е л ь н ы м и	лини
ями	тока, где	к а ж д ы й		нелинейный член тождественно		равен
нулю.	П р и м е р а м и таких			течений могут	служить течение	Куэтта,.

одномерные течения в трубах, неустановившееся течение у бес конечной пластины, установившееся течение у бесконечной плас тины с равномерным отсосом или в поперечном магнитном поле,

продольное обтекание бесконечного цилиндра в поперечном				поле
и т. д.
Во втором типе	течений	нелинейные члены не равны		нулю.
П р и м е р а м и могут	служить	плоское и осесимметричное	течения
в окрестности критической точки, течение у бесконечного			враща
ющегося диска, струйные течения типа Л а н д а у , течение			в	плос

ком д и ф ф у з о р е (течение	Гамеля)	и т. д.
К точным решениям	иногда относят решения, в которых нели
нейные инерционные члены по		отдельности не равны нулю, но

взаимно уничтожают друг друга . Определенное из этого условия поле скоростей служит д л я точного н а х о ж д е н и я магнитного поля. Физически подобный подход предполагает м а л у ю вязкость жид -

костей и медленно меняющийся во времени процесс. Модели та ких течений привлекаются д л я объяснения в основном астрофи зических явлений [1].

В настоящей главе рассмотрение точных решений обоих типов будет ограничено з а д а ч а м и , в той или иной мере имеющими от ношение к струйным течениям. В § 1 будет приведен один из при меров решения первого типа с необычным д л я немагнитной гид родинамики эффектом возникновения равномерного (неразви вающегося по длине) струйного слоя при течении в магнитном поле; в § 2 исследован класс точных решений второго типа.

§ 1. ТЕЧЕНИЕ В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ТРУБЕ СО СТЕНКАМИ Р А З Л И Ч Н О Й Э Л Е К Т Р О П Р О В О Д Н О С Т И В НАКЛОННОМ ПОПЕРЕЧНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ

Рассмотрим равномерное течение электропроводной ж и д кости с постоянными физическими свойствами в трубе, ось ко торой совпадает с осью х, в магнитном поле с составляющими

индукции		By	= B0cosa		и B z = 5 0 s i n a		(рис. 2.1). Такое		течение
описывается			следующей системой			уравнений:
0 =	дР			(	дНх	дНх	\		(2.1)
0 =	дХ	+ В0		( c o s a — - ^ - + s i n a — - р -				)+pvVWx;	(2.1)
	дХ	+ В0		( c o s a — - ^ - + s i n a — - р -				)+pvVWx;
	z			0 = У 2 Я : С і - \| - а В о		^cos	а - ^ у - + sma~gz~/		;
			І	Q =	42HX„