Файл: Либов Р. Введение в теорию кинетических уравнений.pdf

L

\

Р. ЛИБОВ

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ КИНЕТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Перевод с английского О. И. ТКАЧЕНКО

Под редакцией Л. П. СМИРНОВА

Издательство «Мир»

Москва11974

Интерес к кинетическим уравнениям связан с возмож­ ностью их применения в различных областях механики и физи­ ки — в кинетической теории газа, механике взвешенных частиц, плазме, астрофизике, теории реакторов. Книга Р. Либова написана как учебник повышенного типа. В ней дано ясное изложение основ теории кинетических уравнений, обсуж­ даются методы анализа уравнения Больцмана, рассмотрены вопросы о приближении к равновесному состоянию, о соотно­ шении между микро- и макросостояниями. Устанавливается связь между известными теориями и обсуждаются области их применимости.

Богатство содержания и методические достоинства книги делают ее весьма ценной для различных специалистов по при­ кладной математике, механике, физике. Она может служить учебником повышенного типа для студентов и аспирантов физико-технических специальностей.

Редакция литературы по математическим наукам

20302-044

Л 041(01)-74 44-74 © Перевод на русский язык, «Мир», 1974

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

Вниманию читателя предлагается весьма своеобразная по содер­ жанию и построению книга Р. Либова, посвященная кинетическим уравнениям, их обоснованиям, выводу при различных условиях

иполучающимся из них следствиям.

Внастоящее время метод кинетических уравнений получил широкое развитие и применение в механике жидких и газообраз­ ных сред, при исследованиях плазмы, в задачах о движении газовых смесей при наличии протекающих в них релаксационных или химических процессов. Делаются более или менее удачные попытки использовать кинетические методы также в механике аэрозолей, при изучении дисперсных и многофазных сред. Вопро­ сы обоснования применяемых макроскопических уравнений наи­ более удобно и просто разрешаются путем обращения к методам, истоки которых лежат в основополагающих работах Больцмана по кинетической теории газа. Вычисление коэффициентов пере­

носа (коэффициентов вязкости, теплопроводности, диффузии) для простых и сложных систем также является прерогативой кинетических подходов.

Несомненно, что значение и место кинетических методов в со­ временной механике газоподобных и жидких сред требует при обращении к ним хорошей ориентировки в вопросах о пределах их применимости, их обоснованиях, связях между различными модификациями кинетических уравнений и возможностями исполь­ зования при встречающихся условиях. Задачу освещения этих вопросов поставил перед собой автор настоящей книги и довольно успешно решил ее. В этой книге собраны воедино сведения о раз­ личных кинетических уравнениях и подходах и дано их сопостав­ ление.

В первой главе автор дает краткий обзор основных положений аналитической динамики, включая лагранжевы и гамильтоновы уравнения, скобки Пуассона, канонические преобразования, тео­ рию Гамильтона — Якоби и интегральных инвариантов Пуан­ каре. Эта вводная глава позволит читателю, не обращаясь к спе­ циальной литературе, освежить в памяти имеющиеся у него сведе­ ния по аналитической механике и акцентирует внимание читателя

6 Предисловие редактора перевода

на тех положениях динамики, которые лежат в основе вывода кинетических уравнений.

Во второй главе рассматривается концепция ансамбля, уравне­ ние Лиувилля и его решение, а также различные виды функций распределения. Здесь же дается представление о цепочке ББКГИуравнений и об уравнении Чепмена — Колмогорова. Большое внимание уделено анализу уравнения Лиувилля, проведенному Пригожиным.

В третьей главе рассматриваются взаимоотношения между кинетическими уравнениями и гидродинамикой, в первую очередь на основе одночастичной функции распределения. Читатель зна­ комится с анализом Боголюбова цепочки ББКГИ-уравнений, а также с другим подходом, связанным с введением корреляцион­ ных функций и групповых разложений. В зависимости от зна­ чений определяющих параметров, связанных с близкоили даль­ нодействием наложенных силовых полей, степенью разреженно­ сти газа, его температурой и интенсивностью взаимодействий молекул, изучаются различные случаи получения соответствую­ щей цепочки уравнений и их решения. Здесь же в качестве при­ мера кинетического уравнения рассматривается уравнение Вла­ сова. Особо обсуждается радиальная функция распределения

иполучающееся при ее использовании уравнение состояния.

Всамой обширной четвертой главе приводятся различные выводы уравнения Больцмана, начиная с выводов самого Больц­ мана, причем подчеркиваются все допущения, лежащие в основе вывода. Далее рассматриваются выводы уравнения Больцмана, которые даны Трэдом и Кирквудом. Еще раньше, в гл. Ill, ко­

ротко был намечен вывод уравнения Больцмана, вытекающий из анализа Боголюбова. Сопоставление и анализ всех этих выво­ дов основного кинетического уравнения интересны и поучительны. В качестве следствий, вытекающих из уравнения Больцмана, рас­ сматриваются гидродинамические уравнения сохранения, а затем ©^-теорема Больцмана и условия равновесия, приводящие к рас­ пределению Максвелла. Далее приводятся некоторые обоснова­

Чепмена — Энскога и выводятся гидродинамические уравнения, вытекающие из приближений различного порядка. Получаются выражения для коэффициентов вязкости и теплопроводности. Далее подробно рассматриваются свойства линеаризованного оператора Больцмана, а затем автор переходит к изложению мето­ да моментов Трэда, дающего возможность получить одно из наи­ более общих решений уравнения Больцмана путем использова­ ния разложений по полиномам Эрмита и вывести при определен­ ных предположениях замкнутую систему гидродинамических уравнений.

В последней части пятой главы обсуждается с различных то­ чек зрения приближение системы к положению равновесия и свя­ занная с этим процессом проблема необратимости макроскопиче­ ских явлений. Этого вопроса автор касался уже в предыдущих главах. Вводятся понятия о микро- и макросостояниях и о «круп­ нозернистом» разбиении фазового пространства. Используется принцип равных априорных вероятностей и другие положения статистической механики и термодинамики, в частности различ­ ные аспекты понятия энтропии. Выводится знаменитая формула Больцмана для энтропии, распределение Больцмана для наибо­ лее вероятного макросостояния. Дается представление о трех видах канонических ансамблей в статистической механике, о ста­ тистических суммах и связях этих понятий с энтропией и другими термодинамическими функциями системы. Наконец, применяются понятия о флуктуациях и среднеквадратичном отклонении.

Кроме априорного, рассматривается также и апостериорный подход к проблеме необратимости макроскопических явлений, свя­ занный с эргодической гипотезой, с помощью которой вопросы необратимости могут быть наиболее чистым образом сопоставлены с обратимыми динамическими законами. Проблема связи необра­ тимых макроскопических процессов с обратимыми динамическими законами имеет исключительно важное принципиальное значение в физике, и настоящая книга, привлекающая внимание читателя к этим вопросам и дающая достаточно подробную их трактовку, приобретает тем самым дополнительную ценность.

По манере изложения материала книга имеет характер учеб­ ника и вполне может рассматриваться как таковой, имеющий впрочем повышенный уровень и требующий для усвоения мате­ риала определенных усилий и проработки. Этому способствуют, однако, предлагаемые читателю многочисленные задачи, вкрап­ ленные в основное содержание книги, и обширные списки литера­ туры, сопровождающие каждую главу книги. К спискам, пред­ ложенным автором, добавлены некоторые не упомянутые им

работы советских исследователей.

Проведенный здесь обзор содержания книги показывает широ­ кий охват ею многочисленных вопросов теории и приложений

кинетических методов. Она может служить хорошим путеводите­ лем, освещающим основы применяемых подходов и связи между ними. Несомненно, что книга будет полезна студентам, аспиран­ там и научным работникам, интересующимся возможностями, которые открывает перед исследователем метод кинетических уравнений, и желающим более отчетливо представить себе место, занимаемое этим методом в общем плане построения науки, вклю­ чающем динамические и статистические закономерности.

Перевод книги сделан О. Ң. Ткаченко, которая хорошо спра­ вилась с не всегда легким, живым языком автора книги.

Л. П. Смирнов

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящая книга возникла из курса лекций по статистиче­ ской механике, который был мною прочитан в Нью-Йоркском университете в 1964 г. В наши дни среди физиков вновь пробу­ дился интерес к уравнению Больцмана, хотя полвека о нем почти не вспоминали. Выражение «кинетическое уравнение» стало частью словаря таких разделов физики, как физика плазмы, теория реакто­ ров, астрофизика. В аэродинамике кинетическая теория давно уже привлекается для исследования сложной проблемы, касаю­ щейся структуры ударной волны. Кроме того, становится все оче­ виднее увеличивающийся разрыв между материалом, излагае­ мым в стандартных курсах по статистической механике, и новыми оригинальными работами по кинетическим уравнениям, которые начали появляться в литературе. Это побудило меня включить в курс несколько лекций на данную тему.

Когда в 1965 г. я приехал в Корнелл, было целесообразно предложить вниманию аудитории двухгодичный курс по физике плазмы, охватывающий дисциплины, которые примыкают к тео­ рии кинетических уравнений. Этот курс лекций предназначался для студентов, специализирующихся в области аэромеханики, механики, электротехники, космических исследований и некото­ рых других областях физики.

Недавно мне довелось прочесть курс, основанный на материале данной книги, и я нахожу, что при трех часах лекций в неделю легко можно изложить за год почти три четверти всего материала.

Необходимо отметить, что предлагаемую вниманию читателя книгу можно было назвать «Введение в теорию классической неравновесной статистической механики», поскольку теория кине­ тических уравнений является частью более широкой области неравновесной статистической механики.

Я пытался, насколько это возможно, представить материал в замкнутой форме, не требующей чтения дополнительной литера­ туры. Введение в динамику в гл. I служит этой цели и, кроме того, является хорошим обзором для студентов инженерных спе­ циальностей. Концепция Г-пространства, также встречающаяся в гл. I, подводит нас к уравнению Лиувилля, которое детально исследуется во второй главе. В этой же главе обсуждается цепочка