Файл: Либов Р. Введение в теорию кинетических уравнений.pdf

«усилители». Они служат для разработки подобластей теории, вытекающих из ее более широких разделов, отмечаемых в рамоч­ ках, расположенных левее. Например, теория ББКГИ уравнений (обсуждаемая в гл. II) является малой частью темы «Уравнение Лиувилля...», помещенной в верхней рамочке. Двигаясь вниз, мы переходим ко все менее детальному описанию физических явлений.

На этой диаграмме теория кинетических уравнений находится между двумя крайними областями — задачей N -тел и гидро­ динамикой. Так оно и есть на самом деле. Для того чтобы понять этот факт, необходимо достичь некоторой ясности по всему кругу вопросов, относящихся к «соседним» областям. В соответствии с этим наша книга состоит из трех главных разделов: 1) уравнение Лиувилля, 2) кинетические уравнения и 3) уравнения сохране­ ния. В качестве подготовки к исследованию уравнения Лиувилля совершим экскурс в классическую механику.

1.2. Формализм Лагранжа

Говорят, что система имеет N степеней свободы, если не менее чем N переменных единственным образом определяют положение и ориентацию системы в физическом пространстве. Эквивалентное утверждение состоит в том, что данная система имеет N и только N обобщенных координат.

При выборе надлежащей последовательности обобщенных координат необходимо удостовериться, что они независимы. Наличие функционального соотношения между переменными (либо фиксирование одной из переменных, например х = 3 см) делает их зависимыми. Такое соотношение является математиче­ ским выражением связи. Если, например, движение шарика огра­ ничено жесткой проволокой, имеющей форму окружности радиуса а, то декартовы координаты этого шарика будут связаны соот­ ношением X2 + у2 = а2. Шарик имеет только одну степень сво­ боды, и «система» имеет только одну обобщенную координату.

Задача 1.1. Определить число степеней свободы каждой из следующих систем и найти совокупность переменных, которые можно принять за обобщенные координаты.

а) Шарик, движущийся по круговому обручу, положение ко­ торого фиксировано.

б) Шарик, перемещающийся по неподвижной винтовой пру­ жине постоянного шага и радиуса.

в) Прямолинейный стержень конечной длины, движущийся в плоскости.

г) Прямолинейный стержень, движущийся в трехмерном про­ странстве.

д) Растяжимая одномерная пружина, движущаяся в плоско­ сти.

е) «Ножницы», движущиеся в плоскости.

ж) «Точечная» частица, движущаяся в трехмерном простран­ стве.

з) Две частицы, движущиеся в трехмерном пространстве. и) N частиц, движущихся в трехмерном пространстве.

к) Твердое тело произвольной формы, движущееся в трех­ мерном пространстве.

л) Твердое тело произвольной формы с одной неподвижной точкой, движущееся в трехмерном пространстве.

Рассмотрим систему с N обобщенными координатами. Пусть (gt, g2, ■■., дЛт) = q, так что символом q обозначается ІѴ-мерный вектор. Отсюда следует, что кинетическая энергия системы, вооб­

Изменение «действия» S, обусловленное такими вариациями, должно равняться нулю, поскольку q (t) сообщает S экстремум:

(1.5)

бS =

Здесь мы проинтегрировали последний член второй строки по частям х). Проинтегрированная часть равна нулю согласно условию (1.4). Так как оставшийся интеграл должен обращаться в нуль при любой произвольной (бесконечно малой) вариации öq, то необходимо, чтобы

4 ( f ) ~ & = ° - (*•«)

Здесь мы вернулись к записи через компоненты (дг). В (1.5) каждое произведение скалярное, так что производится суммиро­ вание по компонентам вектора q. Дифференциальное уравнение (1.6) представляет необходимое и достаточное условие того, что

öS = 0 2)* .

В вариационном исчислении уравнения (1.6) известны как уравнения Эйлера и могут быть применены при решении всевоз­ можных вариационных задач. Ниже дано несколько соответст­ вующих примеров.

за нулевой интервал времени и допускаемое наложенными на систему свя­ зями.

механики известно, что движение частицы определяется ее начальными положением и скоростью. Однако фактически принцип Гамильтона позво­ ляет однозначно определить динамическую траекторию системы. Поскольку уравнения движения (уравнения Лагранжа) имеют второй порядок по вре­ мени, то для их решения надо задать два условия. Эти условия не обязатель­ но должны быть начальными данными. В задаче о наикратчайшем расстоя­ нии между двумя точками на плоскости (х, у) соответствующие уравнения

Задача 1.2. Показать, что наикратчайшее расстояние между двумя точками на плоскости есть прямая линия.

Задача 1.3. Пусть поверхность образована вращением вокруг оси у кривой, проходящей через точки (хі, Уі) и (х2, уг)- Показать, что кривая у = а Arch (х/а) + Ъ порождает поверхность с мини­ мальной площадью.

В динамике уравнения (1.6) называются уравнениями Лагранжа. Ими удобно пользоваться для получения соответст­ вующих уравнений движения, выражающих закон F = та. При этом задача полностью формализуется, и вся трудность сводится к тому, чтобы получить правильное выражение для кинетической энергии системы.

Задача 1.4. Найти уравнение движения шарика по прямой жесткой проволоке, конец которой фиксирован, а сама она вра­ щается в плоскости с угловой скоростью со.

Ответ. Поскольку потенциальная энергия в задачу не входит, то L = Т. Кинетическая энергия определяется равенством

где А и В — произвольные постоянные, определяемые из началь­ ных условий.

Отметим, что выражение для кинетической энергии также мо­ жет быть получено формальным путем. Для каждой из частиц,

Самым важным вопросом при построении лагранжиана является выбор такой совокупности переменных, которая наиболее тесно связана с геометрией задачи.