МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего образования

«Северный (Арктический) федеральный университет имени М.В. Ломоносова»

Высшая школа энергетики нефти и газа
_____________________________________________________

^{(наименование высшей школы / филиала / института / колледжа)}
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

По дисциплине/междисциплинарному курсу/модулю		Высшая математика
На тему	Дифференциальное и интегральное исчисления функции одной переменной. Дифференциальные уравнения. Вариант 8

	Выполнил (-а) обучающийся (-аяся): Заболотский Юрий Иванович
	(Ф.И.О.)
	Направление подготовки / специальность: 13.03.01 Теплоэнергетика теплотехника
	(код и наименование)
	Курс: 1
	Группа:113205
	Руководитель: Попов Василий Николаевич, профессор
	(Ф.И.О. руководителя, должность / уч. степень / звание)

Отметка о зачете
		(отметка прописью)		(дата)
Руководитель
		(подпись руководителя)		(инициалы, фамилия)

---

Архангельск 2022


Задание 1
8. а) , б) , в) .
Решение
а) .

Используя правило дифференцирования частного, правило дифференцирования сложной функции и табличные формулы, получим:



б) .

Используя правило дифференцирования произведения, правило дифференцирования сложной функции и табличные формулы, получим:



в) .

Функция задана неявно в виде .

Дифференцируем обе части данного уравнения, считая функцией от :



Выразим из уравнения :


Задание 2

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и построить ее график, используя результаты исследования.

8.
Решение

Для полного исследования функции и построения ее графика применяется следующая примерная схема:

1. 
   найти область определения функции;
   
2. 
   исследовать функцию на непрерывность и определить характер точек разрыва;
   
3. 
   исследовать функцию на четность и нечетность, периодичность;
   
4. 
   найти точки пересечения графика функции с осями координат;
   
5. 
   исследовать функцию на монотонность и экстремум;
   
6. 
   найти интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба;
   
7. 
   найти асимптоты графика функции;
   
8. 
   по полученным данным построить график функции.
   

Применим вышеуказанную схему для исследования данной функции.

---

1. 
   .
   
2. 
   Функция не определена в точке . Следовательно, есть точка разрыва функции. Исследуем характер точки разрыва, для чего найдем односторонние пределы функции в этой точке:
   

Следовательно, – точка разрыва второго рода;

3. 
   .Функция не является ни четной, ни нечетной. Функция не периодическая.
   
4. 
   
   

С осью Ох точек пересечения нет.

С осью Оу: .

Точка – точка пересечения с осью Оy.

5. 
   Находим производную.
   

при и не существует при .

Критических точек нет.




– –



–2

Функция убывает на всех .

6. 
   Находим вторую производную.
   

при и не существует при .

Критическая точка второго рода: .

---

- + +



-2,5 -2
Функция вогнута на интервалах , функция выпукла на интервале .

Точка перегиба , .

7. 
   Так как точка - точка разрыва второго рода, то прямая - вертикальная асимптота.
   

Найдем наклонные асимптоты





Тогда - горизонтальная асимптота

8. 
   По полученным данным строим график функции.
   

Задание 3

Найдите неопределенные интегралы. В п. а) и б) результаты проверить дифференцированием.

8. а) ; б) ;
в) ; г) .

Решение

а) .

Применим подстановку :



Проверка:



б) ;

Применим формулу интегрирования по частям

---

.



Проверка:



в) .

Разложим подынтегральную дробь на сумму простейших дробей:



Коэффициенты , найдем из условия:

.

Приравняем коэффициенты с одинаковыми степенями при x:

откуда

Таким образом,

.



г) ;

Для преобразования подынтегральной функции применим формулы универсальной тригонометической подстановки .


Задание 4

Вычислите определенные интегралы.

8. .

Решение

Находим интеграл с помощью формулы интегрирования по частям и применим формулу Ньютона-Лейбница:



Ответ: 0.

Задание 5

Найдите общее решение дифференциального уравнения.

8. а) ; б) .

Решение

а) .



Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Будем искать решение в виде , тогда . После подстановки и выражения для производной в уравнение получим

---

Смотрите также файлы

• Курсовой работы.docx

• Дипломный проект слушателя курсов профессиональной переподготовки по направлению Менеджмент в образовании.doc

• К арточка 1. Справка Линейное уравнение.doc

• Введение Обзор логистических систем.docx

• 3 четверть урок 39 Раздел Саки Тема урока Подвиг Ширака Учебные цели.docx